立體幾何“動態(tài)”問題處理策略

吳樂軍

(四川省成都市中和中學，610212)

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立體幾何“動態(tài)”問題處理策略

吳樂軍

(四川省成都市中和中學，610212)

立體幾何中涉及空間點線面變動的問題,對空間想象力要求較高,學生難于把握,普遍感到無從下手.現(xiàn)舉數(shù)例,對此類空間動態(tài)問題的處理策略進行提煉,但愿能助力大家對此類問題的理解．

策略1化空間動態(tài)為平面動態(tài)

策略2依據(jù)“運動的相對性”化繁為簡

策略3納入空間坐標，利用多變量設(shè)而不求轉(zhuǎn)化

分析當MN為內(nèi)切球的直徑時，其長度最長，此時MN=2.建立如圖6所示的空間直角坐標系，易知內(nèi)切球的圓心為(1，1，1).由于MN可動，故設(shè)M(a,b,c),則N(2-a,2-b,2-c).設(shè)正方體表面的動點P(x,y,z)，則

+(b-y)(2-b-y)

+(c-z)(2-c-z)

=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2

-[(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2].

策略4依托空間基底，探究變量的相互關(guān)系

(A)存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

(B)存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

(C)存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

(D)對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

策略5恰當引入變量，視變量為常數(shù)尋求恒定關(guān)系建立函數(shù)獲解

分析當正四棱錐V-ABCD繞著AB任意旋轉(zhuǎn)時，它相對于平面α的位置可以通過平面VAB與平面α所成的銳二面角θ(30°≤θ≤90°)來體現(xiàn).設(shè)線段CD的中點為M，線段AB的中點為N，當|CO|取得最大值時，V，C在平面α上的投影位于AB的異側(cè).

在Rt?VON中，

|NO|=|NV|cos θ=2cos θ.

在Rt?CMO中，

|MO|2=|MN|2+|NO|2

-2|MN||NO|cos(θ+60°)

故|CO|2=|CM|2+|MO|2

策略6以動制靜，以靜解動

例6已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則與平面ABCD平行的直線MN有()

(A)0條(B)1條

(C)2條(D)無數(shù)條

分析如圖9，將底面ABCD向上平移，與線段D1E，C1F必有交點，則兩個交點的連線必與面ABCD平行，因此這樣的直線有無數(shù)條，故選D.

例7正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線AA1,BD,C1D1同時相交的直線有()

(A)1條(B)2條

(C)3條(D)無數(shù)條

分析如圖10，在線段A1A的延長線上任取一點P，則直線C1D1與點P確定一平面α，α與平面ABCD相交于直線QR，與直線BD交于點R.易知C1D1∥QR，而C1D1與PR必然相交，故在平面α內(nèi)，存在直線PR能與直線AA1,BD,C1D1同時相交.當所取點P在線段A1P的延長線上變動時，將出現(xiàn)不同的直線PR，故符合條件的直線有無數(shù)條，選D.

策略7利用交軌法轉(zhuǎn)化

例8(2015年浙江高考題)如圖11，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是()

(A)直線(B)拋物線

(C)橢圓(D)雙曲線的一支

分析在空間中，假設(shè)AB垂直平面α，則滿足條件的AP繞AB旋轉(zhuǎn)形成一個圓錐，用一個與圓錐成60°角的平面截圓錐，所得圖形為橢圓，故選C.

a·3n+1-a·3n=2a·3n=3n,