“相等”來搭橋　天塹變通途
——談不等式等號成立條件的簡單應用

黃旭東

(湖北省黃石市第一中學，435000)

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“相等”來搭橋天塹變通途
——談不等式等號成立條件的簡單應用

黃旭東

(湖北省黃石市第一中學，435000)

在中學階段,常常利用一些基本不等式或一些重要不等式進行證明或求最值,其應用相當廣泛．而在實際運用過程中,一些同學常常忽視了不等式等號成立的條件,進而造成了一些錯誤,甚至造成一些題目無法獲解．實際上,基本不等式與重要不等式等號成立的條件應用相當廣泛,甚至在一些較難題目中,靈活運用“相等”來搭橋,天塹也會變通途!

一、證明不等式

由a2+b2+c2=1，得

故原不等式成立.

評注對于一些輪換條件不等式,等號成立當且僅當各參數(shù)值相等;對一些非輪換條件不等式，有時可考慮用比例法取等號，再結合均值不等式等號成立條件配相應因子,從而使問題向所證目標順利轉(zhuǎn)化．

二、巧解方程與不定方程

例3求方程3(ab+bc+ac)=2abc的所有正整數(shù)解.

7≤b≤12,b∈N*.

又由c∈N*,可得

由(1)(2)(3)知,滿足條件的解集為{(2,7,42),(2,8,24),(2,9,18),(2,10,15),(2,12,12),(3,4,12),(3,5,15),(3,6,6),(4,3,12),(4,4,6)}.

評注一些表面很繁雜的方程有時暗含某些基本不等式或一些重要不等式等號成立的條件,若能有效觀察出,問題將輕易獲解.例2便是暗含柯西不等式等號成立條件;而有些復雜的不定方程,有時通過不等式等號成立條件使變量放縮,縮小變量范圍,再逐步討論解出.

三、巧求多變量參數(shù)

解4a2-2ab+4b2-c

=(2a+b)2-6ab+3b2-c

=(2a+b)2-3b(2a-b)-c

等號成立條件為2b=2a-b，即3b=2a.

此時c=(3b)2-3b·b+4b2=10b2,

評注一些多變量不等式中求其值,往往考慮不等式等號成立條件或兩邊夾思想．

四、在三角中的應用

例5函數(shù)y=7sin x-24cos x取最小值時，sin x=______.

解y2=(7sin x-24cos x)2≤[72+(-24)2](sin2x+cos2x)=625,則有

|y|≤25,ymin=-25,

等號成立條件為

故有-25=7×7k-24(-24k)=625k，

例6已知?ABC中,AC=8,AB=c,且S?ABC=4+c2,求?ABC內(nèi)切圓半徑.

五、在幾何中的應用

解由

=2 0162，

知不等式等號成立,故有

得a2+b2=2 016(a≥0,b≥0).

①

又3=AD+BC+AC

故有AD·BC·AC≤2.

②

評注不等式等號成立條件在幾何中的應用充分體現(xiàn)了數(shù)學世界中“動靜”互變,“不等”中含“等”的獨特魅力!同時也充分驗證了代數(shù)與幾何是兩個孿生兄弟的格言!

可以看出，上面的f(x)滿足的條件中x的系數(shù)一個為1，另一個為-1時,函數(shù)f(x)存在對稱中心.