分離產(chǎn)生美
——例談分離技巧中的數(shù)學美

安徽省蕪湖市沈巷中學　(241012)

何業(yè)亮

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分離產(chǎn)生美
——例談分離技巧中的數(shù)學美

安徽省蕪湖市沈巷中學(241012)

何業(yè)亮

無論是詩人杜牧筆下的“蠟燭有心還惜別，替人垂淚到天明”，還是宋詞《雨霖鈴》中的“多情自古傷離別，更那堪冷落清秋”．無不體現(xiàn)出人們對“分離”的情感認知——悲憤和傷感．但在數(shù)學解題中，“分離”有時不僅能使解決問題變得簡單，而且能給人以美的享受．

1.分離常數(shù)產(chǎn)生和諧美

分離常數(shù)，就是把分子分母中都有的未知數(shù)的式子變成分子和分母中有且只有一個含未知數(shù)的式子與一個常數(shù)的和．

解：∵x>-1，∴x+1>0.∴f(x)=

2.分離參數(shù)產(chǎn)生簡潔美

分離參數(shù)，就是在含參數(shù)的方程或不等式的變形過程中，將參數(shù)分離出來，使方程或不等式的一端化為只含參數(shù)的解析式，而另一端化為與參數(shù)方程無關的主變元函數(shù)．

例3若關于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在區(qū)間[0,2]上有解，則實數(shù)m的取值范圍為．

解法一：(分類討論)設f(x)=x2+(m-1)x+1，x∈[0,2].

(2)當方程f(x)=0在區(qū)間[0,2]上有兩解時,

綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1].

解法一：(分類討論)f′(x)=

(1)當a≤1時,∵x≥1,∴f′(x)≥0,∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).∴f(x)min=f(1)=3+a,∵若對于x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立,∴3+a>0,即a>-3,結合a≤1，得-3

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(-3,+∞)

解法二:(分離參數(shù))∵對于x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，∴對于x∈[1,+∞)，x2+2x+a>0，即a>-x2-2x恒成立.∵x≥1,∴(-x2-2x)max=-3,∴a>-3.故實數(shù)a的取值范圍為(-3,+∞)

賞析：數(shù)學家希爾伯特說：“數(shù)學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著．”可以說，數(shù)學中的簡潔美來自于對數(shù)學問題深入的分析及恰當?shù)霓D(zhuǎn)化．由例3和例4的解答可知，在處理含參數(shù)的方程(不等式)有解問題或不等式恒成立問題時，若進行分類討論，固然能解決問題，但有時顯得比較復雜，實踐更能證明：對參數(shù)進行討論時，容易出現(xiàn)討論不全面或運算不準確的錯誤．若進行分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為處理不含參數(shù)函數(shù)的最值問題，則很容易上手，且計算量較?。毤毱肺?，數(shù)學的“簡潔美”展現(xiàn)的淋漓盡致，使人由衷地感嘆：“分離參數(shù)，美哉，妙哉”．

3.分離函數(shù)產(chǎn)生奇異美

分離函數(shù)，就是處理指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等比較復雜的函數(shù)與較為簡單的函數(shù)的和或商時，將ex或lnx分離出來．

(后續(xù)工作不再贅述，留給讀者完成．不難發(fā)現(xiàn)，g′(x)形式非常復雜，即便再次求導，符號也很難判斷，問題解決陷入僵局．)

例6設f(x)=(x-1)2ex，判斷并證明是否存在區(qū)間[a,b](a>1)，使函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b]．

(若按常規(guī)做法，接下來就是構造函數(shù)，求導，再構造函數(shù)，再求導，過程復雜，計算量大，留給讀者完成．下面另辟蹊徑——分離函數(shù))

賞析：數(shù)學家徐利治教授說過：“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美．”從某種程度上講，數(shù)學領域中的一些新的觀念、新的方法的產(chǎn)生，就是來自對奇異美的追求．在處理例5和例6時，若按常規(guī)解法，面臨的是極其繁瑣的過程，甚至是無法解答的無奈，勢必會導致思維受阻，望“題”興嘆．若巧妙地分離參數(shù)，一條“陽光大道”即刻呈現(xiàn)眼前．我們在感慨“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的同時，已然置身奇異的美境之中，為之愉悅，為之贊美，充分感受到數(shù)學的奇異美，并為之驚嘆，為之陶醉．

4.結語

亞里士多德曾說過：“雖然數(shù)學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學完全分離．”在多數(shù)人認為枯燥的數(shù)學解題中，分離小技巧蘊涵豐富的和諧美、簡潔美和奇異美．其實，數(shù)學美無處不在，正如古希臘數(shù)學家普洛克拉斯所言：“哪里有數(shù)，哪里就有美．”筆者堅信：數(shù)學美不是空談，而是要去體驗、去感受、去欣賞．愿我們都有一雙慧眼，能多角度地欣賞到更多的數(shù)學美！

[1]張奠宙．數(shù)學欣賞：一片等待開發(fā)的沃土[J]．中學數(shù)學教學參考(上旬)，2014(1/2).

[2]文衛(wèi)星．文衛(wèi)星數(shù)學課賞析[M]．上海：華東師范大學出版社，2012.

[3]吳成強．例談一種分離函數(shù)技巧的應用[J]．中學數(shù)學教學參考(上旬)，2013(9).

[4]新青年數(shù)學教師工作室．當代中學數(shù)學教育名言解讀[M]．上海：上海教育出版社，2015.

[5]甘志國．證明含“l(fā)nx”的不等式的一個小技巧——分離出“l(fā)nx”[J]．中學數(shù)學教學，2015(2).

[6]浦靜芬．不等式很成立問題的解法探究[J]．中學數(shù)學月刊，2015(3).