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    破解直線與圓中“定”的問題

    2016-11-08 10:11:46安徽省太和中學(xué)韓長峰
    青蘋果 2016年20期
    關(guān)鍵詞:圓心交點定點

    安徽省太和中學(xué) 岳 峻 韓長峰

    破解直線與圓中“定”的問題

    安徽省太和中學(xué)岳峻韓長峰

    直線與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,是高考必考考點之一,考題中往往涉及定點、定直線、定圓等“定”的問題,其本質(zhì)就是曲線系,蘊含著數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等。在解答此類問題的探索過程中,同學(xué)們常常找不到解題的切入點。為此,我們需弄清此類問題的實質(zhì),切實掌握其解決方法。

    一、定點問題

    我們對于過定點的直線系并不陌生,如y=kx是過定點O(0,0)的直線系,y=kx+b(b是常數(shù))是過定點(0,b)的直線系,y=k(x-a)+b(a、b是常數(shù))是過定點(a,b)的直線系,等等,那么,如何才能快速地找到直線所過的定點呢?

    例1平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(1+4k)x-(2-3k)y-3-12k=0恒過一定點P,而直線mx+y-6=0也過點P,則m=_______。

    解法1直線(1+4k)x-(2-3k)y-3-12k=0,

    整理得k(4x+3y-12)+(x-2y-3)=0,

    代入直線mx+y-6=0,得m=2。

    所以直線(1+4k)x-(2-3k)y-3-12k=0必過直線y=0與直線x=3的交點(3,0),顯然P(3,0),代入直線mx+y-6=0,得m=2。

    點評含有參數(shù)的直線Ax+By+C=0過定點時,只需將含有參數(shù)的部分整理到一起,不含參數(shù)的部分整理到一起,把求定點問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點問題。

    變式1設(shè)m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y),則|PA|+|PB|的取值范圍是()。

    答案B

    例2已知圓C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0(k≠-1),則圓C過定點 _______。

    解法1圓C的方程可變形為(x2+y2+10y+20)+k(2x+4y+10)=0,所以圓C必過x2+y2+10y+20=0與2x+4y+10=0的交點。

    答案為(1,-3)。

    圓C所過的定點必是曲線x2+y2+10y+20=0與x2+y2-5x-5=0的交點。

    點評解決直線與圓的定點問題,要善于從運動中尋求不變的特性,挖掘出曲線方程與哪些參數(shù)取值無關(guān)。常見的方法有兩種:其一,直接按參數(shù)分離變量,進而解出定點坐標(biāo);其二,取特殊值求出定點,再證這個定點與參數(shù)取值無關(guān)。

    變式2若圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離最大,則a=()。

    答案A

    二、定直線問題

    定直線往往指的是動點所在的定直線、動圓的定切線。這類問題參數(shù)多,幾何特征不明顯,解決時常常不知從何入手,此時,須緊扣等量關(guān)系恒成立,應(yīng)用待定系數(shù)法來處理。

    例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知半徑為r的⊙M的圓心M在直線y=2x+3上,且在y軸右側(cè),⊙M在y軸上的弦長為。

    (1)求⊙M的方程。

    (2)當(dāng)r變化時,是否存在定直線l與⊙M均相切?如果存在,求出定直線l的方程;如果不存在,說明理由。

    解析 (1)設(shè)M(a,2a+3)(a>0),則⊙M的方程為(x-a)2+(y-2a-3)2=r2,

    (2)假設(shè)存在定直線l,當(dāng)r變化時與⊙M均相切,若定直線l的斜率不存在,顯然不合題意。

    所以存在兩條定直線y=3和4x+3y-9=0與動圓⊙M相切。

    點評本題中動圓的圓心與半徑都在變化,其幾何特征不明顯,故直接論證dM-l=r恒成立。解決含有多個參數(shù)的等量關(guān)系恒成立問題時,必須緊扣等式的成立與r的取值無關(guān)這一條件。

    變式3已知圓C1:(x+2)2+(y-3m-2)2=4m2(m≠0),直線l:y=x+m+2,圓C1關(guān)于直線l對稱的圓為C2。

    (1)證明:當(dāng)m變化時,C2的圓心在一條定直線上。

    (2)求C2所表示的一系列圓的公切線方程。

    答案 (1)證明略,圓心所在的直線為x-2y=0(2)3x+4y=0或x=0

    三、定圓問題

    動直線與定圓相切,則d弦心距=r恒成立,或者聯(lián)立方程組消元后得到的一元二次方程Δ=0恒成立,再按參數(shù)整理,得到方程組,最后解方程組求出圓心與半徑。

    整理得(t2-1)a-4t2=r(t2+1),或4t2-(t2-1)a=r(t2+1),

    所以(a-r-4)t2-a-r=0,或(a+r-4)t2-a+r=0恒成立,

    因此直線PQ恒與一個圓心在x軸上的圓M相切,圓M的方程為(x-2)2+y2=4。

    點評解答題解題步驟是:設(shè)圓的方程→化簡d弦心距=r或Δ=0恒成立→變量分離→求圓心與半徑→寫出定圓方程。如果是客觀題,則用特例法比較方便。

    變式4已知直線l:2mx+(1-m2)y-4m-4=0總與一個定圓相切,則該定圓方程為_______。

    答案 (x-2)2+(y-2)2=4

    綜上,破解直線與圓中的“定”,關(guān)鍵是抓住“定”中蘊含著的與參數(shù)取值無關(guān)的恒成立思想,另外也可以取特殊的參數(shù)值,巧妙地避開參數(shù)的干擾。

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