關(guān)于整函數(shù)差分乘積的一個結(jié)果證明

摘 要 利用亞純函數(shù)的Nevanlinna 值分布理論，證明了一個關(guān)于整函數(shù)差分乘積零點的結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】超越整函數(shù)；值分布；差分多項式

1 引言與主要結(jié)果

Nevanlinna 理論的不斷自我完善和發(fā)展，使得它已被廣泛應(yīng)用到復(fù)分析的很多領(lǐng)域，如復(fù)微分方程和復(fù)差分方程，位勢理論，多復(fù)變理論等。1959年，Hayman 獲得并證明了下述定理。

定理A 設(shè)A（z）為可積德超越亞純函數(shù)，n≥2為正整數(shù)，則f（z）nf （z）取任一非零復(fù)數(shù)無窮多次。定理B 設(shè)f（z）為有窮級的超越整函數(shù)，c為非零復(fù)常數(shù)，n為正整數(shù)，那么對任意的 n≥2 f（z）nf（z+c）取任一非零復(fù)數(shù)a無窮多次。其中p（z）為關(guān)于z的非零多項式。2009年，劉凱和楊連忠對定理A和定理B做進(jìn)一步的完善和推廣得到了下面兩個結(jié)果。定理C 假設(shè)f（z） 為有窮級的超越整函數(shù)，c為非零復(fù)常數(shù)，n為正整數(shù)，那么對任意的n≥2 f（z）nf（z+c）-p（z）有無窮多個零點。其中p（z）為關(guān)于z的非零多項式。定理D 假設(shè)f（z） 為有窮級的超越整函數(shù)，c為非零復(fù)常數(shù)，n為正整數(shù)，△f（z）=f（z+c）-f（z）0，那么對任意的n≥2，f（z）n△f（z）-p（z）有無窮多個零點。其中p（z）為關(guān)于z的非零多項式。對于定理D，劉和楊只是給出了結(jié)果并未證明，本文針對定理D 給出了一個詳細(xì)的證明過程。

2 引理

參考文獻(xiàn)

[1]Hayman WK.Picardvalue of meromorphic function and their derivative[J]. Ann Math.1959，70.

[2]Clunie J.On a result of Hayman[J] London.Math.Soc，1967，42.

作者簡介

張石梅（1984-），女，漢族，河南省睢縣人。碩士學(xué)位。現(xiàn)為貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院助教。研究方向為函數(shù)論方向。

作者單位

貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 貴州省貴陽市 550001