基于分形理論的圓弧齒輪法向接觸剛度模型

陳 建，侯 力，魏永峭，馬登秋

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

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基于分形理論的圓弧齒輪法向接觸剛度模型

陳 建，侯 力，魏永峭，馬登秋

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

剛度是影響圓弧齒線圓柱齒輪接觸動(dòng)力學(xué)的重要參數(shù)之一。文章基于分形理論，提出表面修正系數(shù)修正了微凸體分布函數(shù)，建立了圓弧齒線圓柱齒輪法向接觸剛度的分形模型。通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬分析，論證了表面修正系數(shù)構(gòu)造的合理性，揭示了結(jié)合面各個(gè)參數(shù)對(duì)法向接觸剛度的影響。結(jié)果表明，圓弧齒線圓柱齒輪法向接觸剛度隨著載荷、材料特性參數(shù)、表面接觸系數(shù)的增大而增大；隨著分形維數(shù)的增大先增大后減小;隨著特征尺度系數(shù)的增大而減小。該模型的建立為研究圓弧齒線圓柱齒輪法向接觸剛度提供了理論依據(jù)。

分形理論；法向剛度；圓弧齒輪；接觸模型

0 引言

目前，有關(guān)接觸的問題均采用經(jīng)典的Hertz理論模型[1]。Hertz模型從接觸體的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和邊界條件等宏觀特性出發(fā)求解兩接觸體間的接觸強(qiáng)度。然而該模型不能很好的反映接觸體的微觀特性，如微觀形貌及表面粗糙度等對(duì)接觸強(qiáng)度的影響。

現(xiàn)在，研究接觸體微觀特性的分形模型逐漸發(fā)展起來，主要以M-B分形模型[2-4]為代表。該模型從微觀角度出發(fā)，建立了法向接觸剛度關(guān)于結(jié)合面載荷的分形模型。但是，M-B模型沒有考慮到接觸體的某些宏觀特性，如接觸體的幾何形狀和接觸方式[5]。因此，黃康等提出表面接觸系數(shù)建立了圓柱面接觸的分形模型[6]。目前，還沒有系統(tǒng)的理論研究方法來分析圓弧齒輪接觸剛度。因此，為研究圓弧齒線半徑對(duì)齒輪嚙合時(shí)法向剛度的影響，建立研究圓弧齒輪接觸狀態(tài)的分形模型就顯得尤為重要。

本文基于Hertz接觸理論和修正后的M-B接觸模型，從宏觀和微觀相結(jié)合的角度，建立了適用于圓弧齒輪的分形模型，并通過數(shù)值仿真探討有關(guān)參數(shù)對(duì)結(jié)合面法向剛度的影響，為后續(xù)分析圓弧齒輪接觸問題奠定了理論基礎(chǔ)。

1 圓弧齒輪剛度分形模型建立

分形理論表面微凸體的分布函數(shù)為[7]：

(1)

式中：D為分形維數(shù)；ψ為分形區(qū)域擴(kuò)展系數(shù)；A為微凸體接觸面積；Al為最大微凸體接觸面積，Ar為真實(shí)接觸面積。

該分形理論是基于兩個(gè)接觸體在無限大平面的接觸模型。顯然，當(dāng)兩個(gè)接觸體的接觸面是曲面時(shí)，接觸面上微凸體的個(gè)數(shù)n將有所不同。理論上隨著曲面半徑的增大，接觸面積將增大，兩接觸面之間的接觸點(diǎn)增多，但其值始終是小于并接近無限平面接觸點(diǎn)n(A)。因此，接觸表面的形式對(duì)微凸體的個(gè)數(shù)n是有影響。

1.1 分布函數(shù)的修正

設(shè)兩接觸體質(zhì)地均勻且各向同性，當(dāng)其中一個(gè)平面以無限大的半徑慢慢縮小時(shí)，兩接觸體的實(shí)際接觸面積也會(huì)慢慢減小，這時(shí)微凸體的數(shù)量也會(huì)減小。因此必須修正分布函數(shù)，設(shè)分布函數(shù)滿足下式：

(2)

式中：λ是反映兩個(gè)接觸體接觸點(diǎn)的影響因子，可稱為表面接觸系數(shù)，由于接觸面上微凸體的個(gè)數(shù)n是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，本文也假設(shè)表面接觸系數(shù)λ為指數(shù)形式[6]。

圖1 圓弧齒線圓柱齒輪

本文以采用平行連桿式旋轉(zhuǎn)大刀盤切削加工的圓弧齒線圓柱齒輪為研究對(duì)象，該方法加工出來的圓弧齒輪具有的特點(diǎn)是：齒線圓弧的一部分，齒廓為漸開線，且平行于齒輪中截面的不同平面上的周向槽寬和齒厚均相等，如圖1所示[8]。

本文設(shè)表面接觸系數(shù)λ的形式如下：

(3)

式中[9]：

——端面重合度，z為齒數(shù)，αa為端面齒頂壓力角；

綜上，λ的具體式子如下：

(4)

圖2 表面系數(shù)λ與d2、F、RT的關(guān)系

通過數(shù)值模擬得到λ與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系。其中當(dāng)F=1000N，B=40 mm，RT=55 mm，d1=130 mm，E=2×1011Pa時(shí)，得到λ-d2的關(guān)系曲線如圖2a所示，隨著d2的增大，λ趨近且小于1，與本文前面所做的分析相吻合，接觸微凸體的個(gè)數(shù)是小于n的。圖2b為其他條件不變，d2=180 mm時(shí)，λ-F的關(guān)系曲線。可知λ隨著載荷F的增大而增大，但始終小于1，原因是接觸面上始終存在微凸體，兩個(gè)接觸體不可能完全無間隙的貼合。圖2c為其他條件不變時(shí)λ-RT關(guān)系曲線，可知λ隨著齒線半徑RT的增大而增大，當(dāng)RT→∞時(shí)，齒面接觸系數(shù)始終還是小于1，與本文關(guān)于λ的極限取值一致。綜上所述，λ的選擇是合理的。

基于上述λ的合理性分析，本文將式(4)代入式(2)，提出修正后的微凸體分布函數(shù)為：

(5)

1.2 圓弧齒輪法向接觸剛度

根據(jù)文獻(xiàn)[10]得，機(jī)械結(jié)合面微凸體的法向剛度為：

(6)

因此圓弧齒輪接觸面的法向接觸剛度Kn為：

(7)

將式(1)、(2)、(6)代入(7)得：

(8)

將式(8)量綱一化，得到法向接觸剛度為：

(9)

合谷穴：位于手背虎口部位，第二掌骨中點(diǎn)，向食指骨側(cè)按壓酸脹處。三陰交穴：位于足內(nèi)踝尖上3寸，在脛骨后凹陷處。血海穴：屈膝，在大腿內(nèi)側(cè)，髕底內(nèi)側(cè)端上2寸，當(dāng)股四頭肌內(nèi)側(cè)頭的隆起處。陰陵泉穴：位于小腿內(nèi)側(cè)，脛骨內(nèi)側(cè)髁后下方的凹陷處。魚際穴：手掌面，在第一掌指關(guān)節(jié)后，掌骨中點(diǎn)的赤白肉際處。尺澤穴：微屈肘，肘部橫紋偏外側(cè)上，肱二頭肌腱的橈側(cè)緣。曲池穴：在肘橫紋外側(cè)端，屈肘，當(dāng)尺澤與肱骨外上髁連線中點(diǎn)。

由文獻(xiàn)[3,11]知，結(jié)合面的法向載荷與接觸面積之間有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)Al>Ac，接觸點(diǎn)發(fā)生彈塑性變形，則總載荷為

(10)

其中第一項(xiàng)為彈性接觸載荷；第二項(xiàng)為塑性接觸載荷；

(2)當(dāng)Al

(11)

引入修正后，結(jié)合面的法向載荷與接觸面積之間的關(guān)系如下：

(1)當(dāng)Al>Ac，接觸點(diǎn)發(fā)生彈塑性變形，此時(shí)分為[12-13]：

①D≠1.5

(12)

②D=1.5

(13)

(2)當(dāng)Al

(14)

2 圓弧齒輪接觸剛度分形模型預(yù)測(cè)

2.1 載荷與剛度的關(guān)系

圖3 法向接觸剛度隨載荷P*關(guān)系曲線

2.2 分形維數(shù)與剛度的關(guān)系

圖4 法向接觸剛度隨分形維數(shù)D關(guān)系曲線

2.3 特征尺度系數(shù)與剛度的關(guān)系

圖5 法向接觸剛度隨特征尺度系數(shù)G*關(guān)系曲線

2.4 材料特性參數(shù)與剛度之間的關(guān)系

圖6 法向接觸剛度隨材料特性系數(shù)φ關(guān)系曲線

2.5k與剛度之間的關(guān)系

圖7 法向接觸剛度隨剛度系數(shù)k關(guān)系曲線

2.6 表面接觸系數(shù)與剛度的關(guān)系

圖8 法向接觸剛度隨表面接觸系數(shù)λ關(guān)系曲線

3 與其他模型的比較

圖9 本文分形模型與其他模型的對(duì)比

基于文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[16]，取D=1.55，k=0.1，φ=0.1和G*=10-10，得到圖9所示的分形模型對(duì)比圖。從圖中可知，在其他參數(shù)相等的情況下，本文分形模型的剛度比文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[16]中分形模型的剛度均要大。這是由于相同參數(shù)下圓弧齒線圓柱齒輪接觸線比漸開線直齒圓柱齒輪長，接觸的微凸體多，真實(shí)接觸面積大，故其剛度較大。

4 結(jié)論

(1)基于分形理論，提出了圓弧齒線圓柱齒輪的表面接觸系數(shù)λ，建立了圓弧齒輪接觸剛度的分形模型。該模型用于計(jì)算圓弧齒輪法向接觸剛度，同時(shí)具有尺度的獨(dú)立性，在微觀上與測(cè)量取樣長度無關(guān)。

(2)在所建立的模型中，通過MATLAB進(jìn)行理論計(jì)算，結(jié)果表明：表面形貌一定時(shí)，增加齒輪法向載荷，可以提高接觸面的法向接觸剛度；載荷一定時(shí)，接觸剛度隨著特征尺度系數(shù)的增大而減小，隨著表面接觸系數(shù)、k值、材料特性參數(shù)的增大而增大，但表面接觸系數(shù)的變化對(duì)結(jié)合面法向接觸剛度的影響不大；而剛度隨著分形維數(shù)的增大，其變化情況較為復(fù)雜，具體表現(xiàn)為：隨著分形維數(shù)D的增大，剛度先增大后減小。

(3)通過對(duì)比分析，可知圓弧齒輪的分形模型與相關(guān)文獻(xiàn)[5,10,16]的模型具有高度的一致性和合理性。同時(shí)驗(yàn)證了圓弧齒輪接觸強(qiáng)度優(yōu)于直齒輪，為圓弧齒輪的接觸剛度計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，也為圓弧齒輪接觸動(dòng)力學(xué)的研究提供了新方法。

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(編輯 李秀敏)

Contact Stiffness Mechanics Model of the Involute Arc Cylindrical Gear Based on Fractal Theory

CHEN Jian,HOU Li, WEI Yong-qiao,MA Deng-qiu

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Normal contact stiffness is one of the most important parameters affecting the contact dynamics performances of involute arc cylindrical gear. Based on the fractal theory, the surface modification coefficient was put forward to correct the micro-convex body distribution function and establish the fractal model of the involute arc cylindrical gear’s normal contact stiffness. Numerical simulations demonstrated the reasonability of surface modification coefficient and revealed the influence of the joint surface parameters on the normal contact stiffness by MATLAB. The results showed that the involute arc cylindrical gear’s normal contact stiffness increased with the increase of the load, the material properties parameters and surface contact coefficient; the normal contact stiffness increased at first and then decreases with the increase of fractal dimension and decreased with the increase of characteristic length scale. The establishment of the model provides a theoretical basis to study the involute arc cylindrical gear’s normal contact stiffness.

fractal theory;normal contact stiffness;involute arc; contact mode

1001-2265(2016)10-0008-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.10.003

2015-12-16；

2016-01-17

國家自然科學(xué)基金：新型圓弧曲線圓柱齒輪傳動(dòng)應(yīng)用基礎(chǔ)研究(51375320)

陳建(1992—)，男，重慶綦江人，四川大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)，(E-mail)chenjianmail@163.com;通訊作者：侯力(1956—)，男，四川雅安人，四川大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)，(E-mail)houli@163.com

TH506;TG659

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