超視距防空導(dǎo)彈中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率研究

劉少波，趙良玉

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京　100081；2.北京電子工程總體研究所，北京　100854；3.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京　100081)

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超視距防空導(dǎo)彈中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率研究

劉少波1,2，趙良玉1,3

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081；2.北京電子工程總體研究所，北京100854；3.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081)

中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率是超視距防空導(dǎo)彈作戰(zhàn)過(guò)程中的一個(gè)重要指標(biāo)。為了快速計(jì)算中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率，通過(guò)將導(dǎo)彈和目標(biāo)的三維空間散布轉(zhuǎn)換為視線坐標(biāo)系下彈目相對(duì)位置向量的均值和方差，建立了一種紅外導(dǎo)引頭中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率解析計(jì)算模型，并利用蒙特卡洛方法驗(yàn)證了其有效性。以此模型為基礎(chǔ)，采用正交試驗(yàn)方法完成了目標(biāo)捕獲概率的靈敏度分析，極差和方差分析結(jié)果均表明，導(dǎo)引頭視場(chǎng)角對(duì)目標(biāo)捕獲概率的影響最顯著，彈目相對(duì)位置向量在視線坐標(biāo)系OyL軸和OzL軸上投影的方差次之。

防空導(dǎo)彈；中末制導(dǎo)交接班；目標(biāo)捕獲概率；正交試驗(yàn)；方差分析

0　引言

在新軍事變革的牽引和推動(dòng)下，超視距作戰(zhàn)將是當(dāng)下及未來(lái)防空導(dǎo)彈的重要模式和發(fā)展趨勢(shì)，近年來(lái)的多次局部戰(zhàn)爭(zhēng)也很好地證明了超視距防空作戰(zhàn)的必要性。復(fù)合制導(dǎo)是防空導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)超視距作戰(zhàn)的重要基礎(chǔ)，其基本思想是在導(dǎo)彈成功發(fā)射后，依據(jù)設(shè)定的中制導(dǎo)律接近并捕獲目標(biāo)，繼而轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)飛行最終成功擊毀目標(biāo)。導(dǎo)引頭在中末制導(dǎo)交接班時(shí)對(duì)目標(biāo)的可靠捕獲是末制導(dǎo)得以順利實(shí)施的關(guān)鍵[1]，如何準(zhǔn)確評(píng)估中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率(也稱為目標(biāo)截獲概率)是復(fù)合制導(dǎo)體制中的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容[2]。

采用蒙特卡洛方法進(jìn)行大量的制導(dǎo)控制彈道仿真無(wú)疑是求取目標(biāo)捕獲概率的途徑之一[3]，但這種方法需要建立完整的制導(dǎo)控制系統(tǒng)仿真模型，以及成千上萬(wàn)次的重復(fù)仿真才能得到較為可靠的結(jié)果。如文獻(xiàn)[4]，針對(duì)不同的初始條件對(duì)導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)過(guò)程進(jìn)行蒙特卡洛仿真，根據(jù)置信水平選取仿真次數(shù)，并通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析得到導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)概率。制導(dǎo)控制系統(tǒng)完整模型在導(dǎo)彈總體方案設(shè)計(jì)階段的不完備及其巨大的計(jì)算量一定程度上限制了該方法的應(yīng)用范圍。為了彌補(bǔ)蒙特卡洛方法計(jì)算目標(biāo)捕獲概率的不足，可采用目標(biāo)指示誤差來(lái)描述影響目標(biāo)捕獲概率的主要誤差源，從而利用各誤差的概率分布特點(diǎn)，通過(guò)一次彈道計(jì)算來(lái)獲得目標(biāo)捕獲概率[5]。如文獻(xiàn)[6]，假設(shè)目標(biāo)指示誤差服從瑞利分布，建立了導(dǎo)引頭的角度捕獲概率模型，并借助誤差傳遞模型解算目標(biāo)捕獲概率。同樣也可將影響目標(biāo)捕獲概率的各種誤差源等效為導(dǎo)彈位置的散布和偏差，從而推導(dǎo)得到導(dǎo)引頭開機(jī)捕獲概率的計(jì)算模型和簡(jiǎn)化模型[7]。

本文以某型采用紅外導(dǎo)引頭的超視距防空導(dǎo)彈為研究對(duì)象，首先由彈目相對(duì)位置關(guān)系建立了目標(biāo)捕獲模型；接著給出了目標(biāo)捕獲概率的解析式近似計(jì)算模型，并采用蒙特卡洛方法驗(yàn)證了所建立模型的有效性；最后以此模型為基礎(chǔ)對(duì)目標(biāo)捕獲概率進(jìn)行了靈敏度分析。結(jié)果表明，紅外導(dǎo)引頭的視場(chǎng)角對(duì)目標(biāo)捕獲概率影響最顯著，彈目相對(duì)位置向量在視線坐標(biāo)系OyL軸和OzL軸投影的方差次之。

1　目標(biāo)捕獲誤差及捕獲條件

對(duì)于采用紅外導(dǎo)引頭作為敏感裝置的末制導(dǎo)體制而言，目標(biāo)捕獲只需考慮角度捕獲和距離捕獲即可[8]。超視距防空導(dǎo)彈在中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率主要受以下不確定因素的影響[7]：

(1)導(dǎo)彈位置、姿態(tài)和速度的不確定性：導(dǎo)彈初始值裝定誤差、慣導(dǎo)儀器測(cè)量誤差、指令的延遲等均可能造成中末制導(dǎo)交接班時(shí)的導(dǎo)彈位置、姿態(tài)和速度偏差。

(2)目標(biāo)位置、姿態(tài)和速度的不確定性：地面觀測(cè)站的測(cè)量誤差、目標(biāo)的機(jī)動(dòng)飛行、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)誤差等因素將造成中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)位置、姿態(tài)和速度偏差。

(3)導(dǎo)引頭指向不確定性：導(dǎo)引頭的安裝誤差、陀螺漂移誤差及光學(xué)系統(tǒng)測(cè)量誤差、伺服機(jī)構(gòu)誤差和導(dǎo)引頭內(nèi)部各部件的不一致等因素將造成中末制導(dǎo)交接班時(shí)的導(dǎo)引頭指向存在一定偏差。

綜合考慮以上偏差，中末制導(dǎo)交接班時(shí)的導(dǎo)引頭目標(biāo)捕獲模型可示于圖1，圖中X、μ分別為彈目相對(duì)位置的向量及其期望，D0為導(dǎo)引頭的指向分布中心向量，D為導(dǎo)引頭實(shí)際指向向量，εL為彈目視線誤差角，εd為導(dǎo)引頭實(shí)際指向和實(shí)際彈目相對(duì)位置向量的夾角，φd為導(dǎo)引頭指向誤差角，φdd0為導(dǎo)引頭實(shí)際指向與導(dǎo)引頭指向向量分布中心向量的夾角。

圖1　導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)示意圖

將導(dǎo)彈和目標(biāo)在地面坐標(biāo)系下的實(shí)際位置向量XM和XT分別為

導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置分布中心μM和μT分別為

將紅外導(dǎo)引頭在中末制導(dǎo)交接班時(shí)成功捕獲目標(biāo)需要滿足的距離捕獲和角度捕獲條件描述如下：

(1)距離捕獲：彈目間的距離R小于等于導(dǎo)引頭最大捕獲距離Rsmax；

(2)角度捕獲：εd小于等于導(dǎo)引頭視場(chǎng)角αf。

2　目標(biāo)捕獲概率模型

為了便于建立目標(biāo)捕獲概率的解析式模型，基于圖1做如下合理假設(shè)：

(1)導(dǎo)彈和目標(biāo)在空間中服從三維正態(tài)分布；

(2)假設(shè)導(dǎo)引頭自身的伺服系統(tǒng)可修正其指向誤差，即假設(shè)εd=εL。

則由紅外導(dǎo)引頭中末制導(dǎo)交接班時(shí)的捕獲條件可得目標(biāo)捕獲概率為

(1)

將導(dǎo)彈和目標(biāo)所服從三維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)分別寫為

式中BM和BT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)位置的誤差協(xié)方差矩陣。

由正態(tài)分布的性質(zhì)，彈目相對(duì)位置向量X也將服從正態(tài)分布，且其均值μ和協(xié)方差矩陣B可分別寫為

則彈目相對(duì)位置向量X的概率密度函數(shù)為

(2)

將式(2)代入式(1)，即得紅外導(dǎo)引頭的目標(biāo)捕獲概率表達(dá)式為

從式(3)和積分性質(zhì)可知，當(dāng)αf或者Rsmax增大時(shí)，積分區(qū)域變大，式(3)的積分結(jié)果也會(huì)變大，即捕獲概率P和αf、Rsmax正相關(guān)。

需要指出的是，在式(3)的推導(dǎo)過(guò)程中，設(shè)計(jì)者需要知道的信息為中末制導(dǎo)交接班時(shí)的導(dǎo)彈散布信息和目標(biāo)散布信息。其中，導(dǎo)彈的散布信息由研制人員提供，可保證準(zhǔn)確性；而目標(biāo)的散布信息取決于攻擊方對(duì)其性能的了解程度及對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的監(jiān)測(cè)和預(yù)測(cè)精度，難免存在一些偏差，但從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)講，可適當(dāng)放寬方差的要求，對(duì)獲得較為可靠的目標(biāo)捕獲概率計(jì)算結(jié)果影響較小。

為求取積分(3)，可用面積相等的橢圓域

考慮一般情況下存在σyL≈σzL，可將式(3)最終寫為

(4)

其中

式(4)即為本文推導(dǎo)得到的紅外導(dǎo)引頭在中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率解析表達(dá)式。為書寫方便，下文略去下標(biāo)L。和蒙特卡洛方法計(jì)算目標(biāo)捕獲概率相比，完成一次目標(biāo)捕獲概率的解算可能需要進(jìn)行多達(dá)800次的導(dǎo)彈攻擊過(guò)程蒙特卡洛仿真[4]，而本文提出的解析模型只需要知道μx、σx、σy、σz、αf、Rsmax的值即可通過(guò)式(4)求得目標(biāo)捕獲概率，大大減少了計(jì)算量。

圖2　視線坐標(biāo)系下的積分區(qū)域

同時(shí)，由式(4)可看出，影響目標(biāo)捕獲概率的因素主要包括μx、σx、σy、σz、αf、Rsmax，但由于式(4)是高度非線性的，很難直觀判斷各因素對(duì)其影響的顯著程度，下面在完成該計(jì)算模型的驗(yàn)證后將通過(guò)數(shù)值仿真方法來(lái)分析各因素對(duì)目標(biāo)捕獲概的影響程度。

3　目標(biāo)捕獲概率模型驗(yàn)證

和基于制導(dǎo)控制彈道計(jì)算目標(biāo)捕獲概率的蒙特卡洛方法不同，將用于驗(yàn)證式(4)有效性的蒙特卡洛仿真方法描述如下：依據(jù)給定分布的μx、σx、σy、σz，可生成n個(gè)服從三維正態(tài)分布的向量，若該向量落在指定區(qū)域內(nèi)的次數(shù)為m，則導(dǎo)引頭的目標(biāo)捕獲概率為

取αf=3°、Rsmax=8 km、σy=σz=120 m、μx=6 km，當(dāng)σx從1 m取到500 m，分別采用蒙特卡洛方法(結(jié)果記為P1)和式(4)計(jì)算目標(biāo)捕獲概率(結(jié)果記為P2)。其中，蒙特卡洛方法在每一個(gè)σx處進(jìn)行100 000次的數(shù)學(xué)仿真，2種計(jì)算方法的結(jié)果如圖3所示，圖4為本文建立的目標(biāo)捕獲概率近似模型與蒙特卡洛方法的計(jì)算結(jié)果殘差。從圖3和圖4可見(jiàn)，式(4)的計(jì)算結(jié)果和由蒙特卡洛方法獲得的計(jì)算結(jié)果趨勢(shì)相同，2種方法的殘差數(shù)量級(jí)為10-3，解析表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性可以接受。

圖3　蒙特卡洛方法和解析式計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖4　蒙特卡洛方法和解析式計(jì)算結(jié)果的殘差

圖5是其他變量不變時(shí)目標(biāo)捕獲概率P分別隨αf、Rsmax、μx、σy的變化趨勢(shì)，其中蒙特卡洛方法的計(jì)算結(jié)果記為P1，式(4)的計(jì)算結(jié)果記為P2。從圖5可見(jiàn)，一方面，2種方法的計(jì)算結(jié)果相差不大，證明了式(4)的正確性，另一方面可結(jié)合圖4定性分析各因素對(duì)目標(biāo)捕獲概率的影響情況：位置誤差σx、σy、σz的增大會(huì)導(dǎo)致P減小，且σy、σz的(其中σz的影響等同于σy，圖5中不再列出)影響明顯大于σx；隨著μx增大P先增大，但當(dāng)μx大于最大捕獲距離后，P急劇減??；當(dāng)最大捕獲距離在μx的3σ之內(nèi)時(shí)，P隨Rsmax增大而增大，在此范圍外基本不受影響；P隨αf增大而增大并趨近于1.0。

4　目標(biāo)捕獲概率靈敏度分析

4.1正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為進(jìn)一步定量分析μx、σx、σy、σz、αf、Rsmax對(duì)中末制導(dǎo)交接班時(shí)目標(biāo)捕獲概率的影響，找出影響最顯著的因素，設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)來(lái)進(jìn)行仿真和靈敏度分析[9]。以某型采用紅外導(dǎo)引頭的超視距防空導(dǎo)彈為例，將上述每個(gè)因素取5水平，得到因素水平表如表1所示。

本實(shí)驗(yàn)為6因素5水平實(shí)驗(yàn)，可選用L25(56)標(biāo)準(zhǔn)正交表[10]。正交表和采用近似目標(biāo)捕獲概率計(jì)算模型式(4)計(jì)算得到的目標(biāo)捕獲概率如表2所示。

表1　因素水平表

表2　正交試驗(yàn)結(jié)果

圖5　目標(biāo)捕獲概率的變化趨勢(shì)

4.2極差分析

極差R反映了各因素水平變動(dòng)時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)的變動(dòng)幅度，R越大，則這個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響也越大。故可依據(jù)R的大小，來(lái)判斷影響因素的主次[11]。

設(shè)因素μx所在列為Ti(1)，且ti(1)(i=1,2,3,4,5)的計(jì)算公式為

(5)

則極差的計(jì)算公式為

(6)

式中μxi代表μx第i個(gè)水平的取值；j代表第j個(gè)因素。

μx、σx、σy、σz、αf、Rsmax利用式(5)和式(6)可計(jì)算得到表3。由表3最后一行的數(shù)據(jù)可看出，αf對(duì)目標(biāo)捕獲概率的影響最大，其次是σy和σz，μx和σx更次之，Rsmax對(duì)目標(biāo)捕獲概率的影響最小。各因素與捕獲概率的趨勢(shì)如圖6所示，可看出αf越大，捕獲概率越大；αy和σz越大，捕獲概率越小。各因素的最優(yōu)水平分別為5、1、1、1、5、3，對(duì)應(yīng)各因素的值分別為μx=7.5 km、σx=200 m、σy=σz=120 m、αf=5°、Rsmax=10 km。

圖6　各因素水平與捕獲概率的變化圖

μxσxσyσzαfRsmaxT(1～6)14.13364.59904.88444.88453.87144.3877T(1～6)24.25424.13314.58134.46344.22234.410T(1～6)34.55504.43744.48694.46574.44514.4832T(1～6)44.49624.44724.15844.28694.62824.2951T(1～6)54.60604.42833.93393.94464.87804.4680t(1～6)10.82670.91980.97690.97690.77430.8775t(1～6)20.85080.82660.91630.89270.84450.8822t(1～6)30.91100.88750.89740.89310.88900.8966t(1～6)40.89920.88940.83170.85740.92560.8590t(1～6)50.92120.88570.78680.78890.97560.8936R(1～6)0.09450.09320.19010.18800.20130.0376

4.3方差分析

極差分析簡(jiǎn)單有效，但它不能估計(jì)誤差的大小，即不能精確的估計(jì)哪些因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響，特別是對(duì)于水平數(shù)大于等于3且需要考慮交互作用的試驗(yàn)，極差分析法有其局限性[11]。方差分析可用于檢驗(yàn)多組樣本均值間的差異是否具有統(tǒng)計(jì)意義，以彌補(bǔ)極差分析的不足。

方差分析的基本原理是用總偏差平方和SST來(lái)表征25組樣本間的捕獲概率與其總均值偏差的和，總偏差平方和的計(jì)算公式和總自由度f(wàn)T分別為

式中r為任一列上各水平出現(xiàn)的次數(shù)；m為各因素水平數(shù)。

二是誤差平方和，為25組樣本的目標(biāo)捕獲概率與其相應(yīng)水平的目標(biāo)捕獲概率均值偏差的和，用于表征組內(nèi)差異，其計(jì)算方法和自由度f(wàn)e為

式中k為因素個(gè)數(shù)。

本試驗(yàn)次數(shù)n=25，總自由度f(wàn)T=24，各因素及誤差自由度分別為4和0。為估計(jì)試驗(yàn)誤差，增加一組試驗(yàn)：σy=σz=600 m、σx=600 m、αf=3°、Rsmax=8 km、μx=7.5 km，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)捕獲概率為0.482 1。則總試驗(yàn)次數(shù)變?yōu)?6，各因素及誤差自由度分別變?yōu)?和1，得方差分析結(jié)果如表4所示。

表4　方差分析結(jié)果

根據(jù)各因素的偏差平方和可知，各因素影響重要程度排序?yàn)棣羏>σy>σz>μx>σx>Rsmax。方差分析結(jié)果與極差分析結(jié)果一致。

從方差分析結(jié)果還可看出，視線坐標(biāo)系下彈目相對(duì)位置向量的均值、其在OxL方向的方差及導(dǎo)引頭的最大捕獲距離這3個(gè)因素對(duì)應(yīng)的均方差很小，說(shuō)明對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響很小，這些小的均方差通?？勺鳛檎`差處理，同時(shí)將相應(yīng)的自由度也并入誤差自由度，從而提高誤差估計(jì)的精度。將μx、σx、Rsmax并入誤差，得到誤差e′。根據(jù)顯著性分布表得F0.05(4,13)=3.18，可看出導(dǎo)引頭視場(chǎng)角和彈目相對(duì)位置向量在OyL方向的方差是顯著因子，即它們對(duì)目標(biāo)捕獲概率的影響顯著。

5　結(jié)論

(1)通過(guò)將導(dǎo)彈和目標(biāo)的三維空間散布轉(zhuǎn)換為視線坐標(biāo)系下彈目相對(duì)位置向量的均值和方差，建立了一類超視距防空導(dǎo)彈中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率解析計(jì)算模型，利用蒙特卡洛方法驗(yàn)證了其有效性。該解析模型大幅度降低了目標(biāo)捕獲概率的計(jì)算量，可用于工程實(shí)踐中快速計(jì)算中末制導(dǎo)交接班時(shí)的目標(biāo)捕獲概率。

(2)以本文建立的目標(biāo)捕獲概率模型為基礎(chǔ)，采用正交試驗(yàn)方法完成了目標(biāo)捕獲概率的靈敏度分析，極差和方差分析結(jié)果均表明，導(dǎo)引頭視場(chǎng)角對(duì)目標(biāo)捕獲概率的影響最顯著，彈目相對(duì)位置向量在視線坐標(biāo)系OyL軸和OzL軸上投影的方差次之，彈目相對(duì)位置向量的均值、其在OxL方向的方差及導(dǎo)引頭的最大捕獲距離的影響較小。

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(編輯：呂耀輝)

Target acquisition probability at hand-off from midcourse to terminal guidance of a BVR air defense missile

LIU Shao-bo1,2，ZHAO Liang-yu1,3

(1.School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing100081, China; 2.Beijing Institute of Electronic System Engineering, Beijing100854, China;3.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle, Ministry of Education, Beijing100081, China)

The target acquisition probability is an important parameter at hand-off from midcourse to terminal guidance of a beyond visual range (BVR) air defense missile. In order to calculate the target acquisition probability with low computational cost, the distributions of the missile and the target in three-dimensional space were transformed to the mean and variance of relative range vector in line-of-sight coordinate firstly, and then an analytical model was established to calculate the target acquisition probability of a kind of missile with an infrared seeker. After the analytical model was verified by the Monte Carlo method, it was employed to investigate the sensitivity of the target acquisition probability by means of orthogonal experiments. The results of range analysis and variance analysis both prove that the influence of seeker field angle on the target acquisition probability is dominated, and influences of variances of projections of relative range vector alongOyLandOzLdirection in line-of-sight coordinate are the second.

air defense missile；hand-off from midcourse to terminal guidance；target acquisition probability；orthogonal experiment；variance analysis

2015-06-19；

2015-07-20。

國(guó)家自然科學(xué)基金(11202023)。

劉少波(1994—)，男，碩士生，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。E-mail:1120113088@bit.edu.cn

趙良玉(1981—)，男，博士/副教授，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。E-mail:zhaoly@bit.edu.cn

V448

A

1006-2793(2016)05-0723-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.05.022