深度剖析數(shù)學教材，助力學生構建模型思想

孫雙雙

[摘 要]模型思想是課程標準新增的核心概念。問題情境——建立模型——求解驗證的數(shù)學活動過程體現(xiàn)了課程標準中模型思想的基本要求，讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”和“再創(chuàng)造”的自我實踐過程，感悟模型思想的本質(zhì)。“例題建?！钡闹攸c在于“建模”，教師應從多個角度對例題進行教學設計，從而為“建模”教學找到事實原點、生成適宜環(huán)境和破解數(shù)學結(jié)構。

[關鍵詞]小學數(shù)學 例題教學 數(shù)學建模 思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）29-061

課堂教學是一種師生的互動過程，是學生走向自主探索、合作交流和實踐創(chuàng)新的發(fā)展過程。在這個過程中，教師由單純的知識傳遞者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者，學生從單純的知識接受者轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學學習的主人。模型思想的重點在于模型構建，課本例題只是教材提供的問題材料，猶如瓦匠蓋房子一樣，是由一塊磚、一抹泥、一標尺、一踱步摸索出來的，傾注實踐者一思維、一行動的全部經(jīng)歷，是自身智慧勞動的成果，從初始的構思到活動的過程再到成功的創(chuàng)作都是自己的親身經(jīng)歷，日后運用起來才能得心應手。

一、例題盤活，還原數(shù)學起點

蘇教版數(shù)學課本教學材料雖趨于靈活，但與“鮮活”還有一定距離，究其原因，主客觀的因素都有。主觀因素在于，從編者編寫到教者教學已有一段時間跨度，這期間，時、空、物都發(fā)生了變化，編者無法左右?？陀^因素在于，教材施用的范圍較廣，做不到因地制宜、因人而異。其實，教材上的東西只是平面的、靜態(tài)的材料，真的要活躍紙上，由“死”變“活”，還需要教師的藝術加工。

1.多媒體課件還原真實

現(xiàn)代教育技術為教學活動提供了很大的便利，甚至以往無法實現(xiàn)、僅憑想象的空間變化圖形，通過多媒體課件制作，能逼真清晰地演示變化過程，給學生“運動”的數(shù)學思維。

例如，在教學“平面圖形的鏈接、轉(zhuǎn)化以及長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積之間的關系演變”“圖形密鋪的奧秘揭示”“立體圖形、球體、渠道的剖面圖”“平行四邊形有無數(shù)條高”“角度的大小變化”“行程類應用題的相遇與追擊的路線變化”“展示數(shù)學文化史”時，這些知識點在現(xiàn)實生活中很難再現(xiàn)，畫平面圖相對繁瑣且立體感不強，想象的東西學生又不好捉摸，最關鍵的是難以給學生運動變化的視覺。而通過多媒體課件能給學生“鮮活”的演繹、歸納，得出抽象的定義、定理、定律。

2.簡單教具直觀現(xiàn)象

視覺給人的是運動的路線，觸覺給人的是差異的感受。教學方法沒有好壞之分，教具學具也沒有優(yōu)劣之分，主要看學生是否能深入其中，把知識和實驗聯(lián)系起來理解。

例如，在教學“角的頂點”時，可以讓學生摸摸桌角、書角，感受角是尖尖的；在教學“正方體的6個面、8個頂點、12條棱”時，不妨給每個學生發(fā)一個小正方體，讓他們自己去找、去摸、去數(shù)，特別是分析透視圖形、平面展開圖形時，更需要利用小方木的疊加觀察和拼接圖形的模型圖展開演示；在教學“數(shù)位以及進位加、退位減”時，計算器是最直觀的教具；在教學“建立圓周率公式的模型”時，圓形360度平均拆、拼成近似長方形或平行四邊形是最好的方法；在教學“1～10數(shù)字”時，數(shù)小棒是簡易而不簡單的教學方法，不僅得出數(shù)字，還得出這個數(shù)字在序列中的位置，是動手、動嘴、動眼、動腦的最好教具。

例題被盤活了，其實就是還原數(shù)學原點，是合情推理，是在運動中建立數(shù)學模型，是最自然的定理、定律。

二、例題改造，生成適宜場景

數(shù)學本身具有抽象性，它是對事物、現(xiàn)象的高度概括、提煉，抽象出可供實踐的步驟、方法?？捎^的、可摸的、有形的事實是不多的，數(shù)學教材中的資料，更多的是粗線條的、提示性的數(shù)字信息和問題，一般獨立存在，很難深層展現(xiàn)相互間的聯(lián)系，學生要透徹理解還是比較困難的，數(shù)學模型建構又談何容易？因此，教師要對比較抽象的問題適當進行改造，給原本的例題輔以情境，使其具有現(xiàn)實性、趣味性或挑戰(zhàn)性。

1.數(shù)學生活化，增強現(xiàn)實性

生活是數(shù)學的原型，知識模型的獲得離不開生活。倘若將例題轉(zhuǎn)變成生活情景，不僅可以激發(fā)學生參與的熱情，還能發(fā)揮學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力。

【課堂實錄】比較數(shù)的大小

師：課間老師看到很多同學在跳繩，這節(jié)課，老師想找兩個同學比一比，看半分鐘內(nèi)誰跳得最多。（請一個同學上來）老師計時，大家一起數(shù)（42個），板書：42。再請一個同學（36個），板書：36。一個同學跳了42個，另一個同學跳了36個，他倆誰跳得多？（42個多）。為什么呢？

生：因為42比36大。

師：對，比較他們兩人誰跳得多，其實就是比較42和36的大小。

從學生的課間活動——跳繩來引出兩個需要比較的數(shù)字，既自然又貼近學生的生活，能讓學生積極參與到課堂教學中來。而教材中設計的讓小松鼠和小兔拾貝殼的例題，脫離學生的生活，不現(xiàn)實。

2.激發(fā)好奇心，增強趣味性

在教學蘇教版小學數(shù)學二年級“統(tǒng)計”時，教材中設計了動物運動會的情境，根據(jù)動物和參賽項目的不同來進行分類統(tǒng)計。但是這種有關動物的主題圖在一年級時已經(jīng)用過，圖片上的動物種類也顯得單調(diào)，學生很難提起興趣，又何談去探索“模型”呢？

【課堂實錄】兩位數(shù)加兩位數(shù)（進位加）

教師先給學生復習百以內(nèi)的加法，如：27+41=？接著出示教材中的例題：56+18=？并結(jié)合生活實際設計了學生喜歡的玩具圖片展示在黑板上：小汽車18元，飛機56元，手槍5元，狗熊34元，洋娃娃25元。教師讓學生提出加法問題，并嘗試計算，再請學生對列出的算式進行分類，抽取其中一例進位加法算式展開討論，思考用哪種算法最簡便。將學習內(nèi)容趣味化，不但激發(fā)了學生的學習興趣，還調(diào)動了學生的積極性和主動性，兩位數(shù)加兩位數(shù)（進位加）模型很快得到建構。

3.預設層次感，增強挑戰(zhàn)性

挑戰(zhàn)可以激發(fā)人的思維發(fā)展，促進人對問題的深入思考，從中獲得成功的快感。在教學中，教師在課堂上也會提出許多問題，這些問題之間環(huán)環(huán)相扣，學生一步一步跟著走下來，答案就在眼前。因為知識模型是由教師建立或是由教師牽著學生建立的，所以學生普遍缺乏思考能力。

學生的發(fā)展在一定程度上取決于他是否具有思考的能力。數(shù)學學科的特殊價值就在于培養(yǎng)學生數(shù)學的思考能力和運用數(shù)學解決問題的能力。如“這節(jié)課我們要來研究成反比例的量。你認為成反比例的量會有怎樣的變化特點？”“你能把這兩個例子中反比例的例子找出來嗎？”這些問題的提出就具有一定的挑戰(zhàn)性，需要學生去深入思考、實際操作。

挑戰(zhàn)性問題的實質(zhì)在于激起學生強烈的思維活動，通過思維活動促進外部知識與內(nèi)部認知結(jié)構之間產(chǎn)生實質(zhì)性的互動，從而促進認知結(jié)構、認知能力不斷發(fā)展。教師只有巧妙地設計挑戰(zhàn)，才能更有效地組織學生進行探究。在探究過程中，外顯的是學生的積極參與、主動探究、動態(tài)生成，內(nèi)隱的是學生思維的不斷深刻發(fā)展和知識模型的建立。

例題改造了，也就是給問題找到適合的生存環(huán)境，使學生易于接受、樂于接受，并把問題引向深入，提高思考能力，形成屬于自己的數(shù)學模型。

三、例題遷移，破解數(shù)學結(jié)構

課程標準要求“不同的學生學有不同的數(shù)學”。數(shù)學教科書中提供的是普適材料，也是原材料，雖然經(jīng)過外環(huán)境的優(yōu)化能讓大部分學生易于接受，但要讓潛能生吃飽、優(yōu)等生吃好，還需要對例題的本質(zhì)做適當改變，細化、整合內(nèi)部結(jié)構。即通過“分解”“解剖”“拷貝”，給予不同學生不同的口味，享有不同的營養(yǎng)，殊途同歸，最終形成屬于自己的數(shù)學模型。

【例證分析】建立“兩步計算解決實際問題”的數(shù)學模型

1.“分解”，平面劃分模型

老猴說：“我采了3筐桃子，每筐12個?！毙『镎f：“我采了6個?！眴枺簝芍缓镒右还膊闪硕嗌賯€桃子？

這是“兩步列式，兩步計算”的模型。它是一步列式計算到三步列式計算的過渡，是以一步為基礎、以三步為目標，同時也是分步列式計算的起始。因此，這個模型既是基礎的關鍵，也是過渡的關鍵。

教學時，平面“分解”既可以解決關鍵，又可以照顧到潛能生。首先，分解問題：①老猴采了多少個桃子？小猴呢？②老猴和小猴一共采了多少個桃子？其次，分步解答：①老猴：12×3=36（個）。②小猴：6（個）。再次，解決問題：老猴+小猴=36+6=42（個）。最后，寫出答案：兩只猴子一共采了42個桃子。

因為這些問題的分解、分步的解答都是學生獨立完成的，所以在學生的頭腦中清晰地留下模型的階級結(jié)構。為了加深對“線性模型”的把握，也為以后“三步計算解決實際問題”的學習做好鋪墊，還可以向后延伸：如果小猴采了2筐呢？逐步提高學生的思維深度。

2.“解剖”，立體切割模型

對于一種模型，線性的屬直線思維，因為前、后有內(nèi)在聯(lián)系，一般教師稍加引導，學生就能順著方向思考。但其本身就帶有啟發(fā)性，容易形成慣性思維。要想克服慣性，培養(yǎng)變異思維，就要將問題向左、右打開，形成本質(zhì)相同，形式多樣的并列模型，經(jīng)過反復比較，加深理解，鞏固模型結(jié)構，實現(xiàn)靈活應用。

●第一題例題。老猴說：“我采了3筐桃子，每筐12個?！毙『镎f：“我采了6個?！眴枺簝芍缓镒右还膊闪硕嗌賯€桃子？

解：12×3=36（個），36+6=42（個）。

●第二題練習。小明、小華一共要澆4行樹苗，每行14棵。小華已經(jīng)澆了38棵。還有多少棵沒有澆？

解：14×4=56（棵），56-38=18（棵）。

●第三題拓展。大白兔已經(jīng)拔了2籃蘿卜，每籃16個。小白兔先拔了10個，休息一會兒后又拔了9個。問：①兩只兔子一共拔了多少個？②小白兔比大白兔少拔了多少個？

解：2×16=32（個），10+9=19（個），32+19=51（個）；

2×16=32（個），10+9=19（個），32-19=13（個）。

教師將題目并列展開，比較歸納，學生逐步形成“兩步”概念，拓展了思維寬度。

建立數(shù)學模型，是一個把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學結(jié)構的過程。建模思想的有效應用，能夠使學生的創(chuàng)新思維能力、合作交流能力和實踐探究能力得到有效的培養(yǎng)，學會以數(shù)學的理論和方法去分析和解決問題。

（責編 李琪琦）