NOD隨機(jī)變量陣列的q階矩完全收斂性的充分條件

王 韋 霞

(安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 蕪湖 241003)

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NOD隨機(jī)變量陣列的q階矩完全收斂性的充分條件

王 韋 霞

(安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 蕪湖 241003)

利用Rosenthal不等式及截尾法，給出了1≤q≤2和q>2兩種情形下NOD(negativelyorthantdependent)隨機(jī)變量陣列q階矩完全收斂性的充分條件，推廣了已有的結(jié)論。

NOD隨機(jī)變量；q階矩；完全收斂； 截尾法

Joag-Dev等[1- 2]引入了NOD(negatively orthant dependent)序列概念，并指出NOD是嚴(yán)格弱于NA(negatively association dependent)的，而NA在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。由于完全收斂蘊(yùn)含幾乎處處收斂，矩完全收斂又蘊(yùn)含完全收斂，因而研究NOD矩完全收斂受到統(tǒng)計(jì)研究者的重視。目前，關(guān)于完全收斂已有不少成果， Wu[3]討論NOD陣列加權(quán)和完全收斂性的充要條件，Guo等[4]給出了NA陣列矩完全收斂性的充分條件，Liang等[5]建立了獨(dú)立同分布NA陣列的q階矩完全收斂性的充要條件。本文將文獻(xiàn)[4-5]的結(jié)論推廣到NOD陣列，建立了1≤q≤2和q>2兩種情形下NOD陣列q階矩完全收斂性的充分條件。

在給出本文結(jié)論之前，先介紹相關(guān)的定義及引理，其中，這些引理建立了NOD隨機(jī)變量陣列的Rosenthal不等式。

定義1稱隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn是NUOD(negativelyupperorthantdependent)的，如果對任意的實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，有

定義2稱隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn是NLOD(negativelylowerorthantdependent)的，如果對任意的實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，有

若隨機(jī)變量{X1,X2,…,Xn}既是NUOD，又是NLOD的，則稱該隨機(jī)變量是NOD。

引理1設(shè){X1,X2,…,Xn}是NOD隨機(jī)變量陣列，EXi=0，E|Xi|s<∞(1≤i≤n,1≤s≤2)，則存在僅依賴于s的正常數(shù)C(與n無關(guān))，有

引理2設(shè){X1,X2,…,Xn}是NOD隨機(jī)變量陣列，EXi=0，E|Xi|s<∞(1≤i≤n,s>2)，則存在僅依賴于s的正常數(shù)C(與n無關(guān))，有

引理3設(shè)X是隨機(jī)變量，β>0，γ>0，s≥0，則下列3個(gè)條件等價(jià)：

(i)E|X|γ+(α+1)/βlogs|X|<∞；

引理4設(shè)X是隨機(jī)變量α<-1，β>0，γ>0，則下列3個(gè)條件等價(jià)：

(i)E|X|γ+(α+1)/βlogs|X|<∞；

下面給出本文的主要結(jié)論及其證明。

(2)E|X″ni-EX″ni|r≤CE|Xni|rI(|Xni|>1)

(3)

由條件(i)，(ii)可知定理1得證。

本次物探測區(qū)巖礦電性參數(shù)通過標(biāo)本測定獲取，標(biāo)本主要采集于鉆孔巖心、露頭及坑道，共采集標(biāo)本307塊。利用加拿大產(chǎn)GDD-SCIP型電性參數(shù)儀測試，采用恒壓模式，測試時(shí)記錄標(biāo)本長度，標(biāo)本截面積等數(shù)據(jù)，將其輸入儀器，測量視電阻率、視極化率參數(shù)。測試結(jié)果見表1。

證明運(yùn)用定理1的截尾法和(1)-(3)式及引理2，有

結(jié)合已知條件，定理得證。

定理3設(shè){X,Xn,n≥1}是同分布的行為NOD陣列，且EX=0，r≥1，p>1/2，q≥1，r/p≥1，若

(4)

要證明結(jié)論成立，只要證明I1<∞，I2<∞，I3<∞。首先證I1<∞成立。

下面證明I2<∞成立，分2種情形討論[8-10]。

情形1當(dāng)max{q,r/p}≤2時(shí)，由(4)式蘊(yùn)含E|X|r/p<∞，注意到r-1-2p<-1，由引理4及s>2，有

E|X|r/q<∞；

最后證明I3成立，由(4)式蘊(yùn)含EX2<∞，取充分大的s>r/p，使得r-2+(1-2p)s/2<-1，從而有

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Sufficient Conditions for Complete qthMoment Convergence of NOD Random Variables

WANG wei-xia

(Department of Basic Course,Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu, Anhui 241003, China)

By using Rosenthal inequality and truncated method, we establish the sufficient conditions of complete qthmoment convergence of negatively orthant random variables by two kinds of cases： 1≤q≤2 and q>2.The conclusions enrich the known results.

arrays of NOD; qthmoment; complete moment convergence; truncated method sufficient conditions

2016-01-08

安徽省教育廳自然科學(xué)基金(KJ2015A418，KJ2015A441)。

王韋霞，女，廣西崇左人，碩士，安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部講師，研究方向?yàn)殡S機(jī)極限理論。E-mail: ahjdwwx@126.com

時(shí)間：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.008.html

O211.4

A

1007-4260(2016)03-0025-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.008