近三年數(shù)學(xué)高考理科卷向量命題結(jié)構(gòu)和綜合難度分析

彭鋒　鄒超

【摘要】以2014—2016年具有代表性的數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)理科卷為例，從歷年高考向量內(nèi)容命題數(shù)量和分值、考查形式和內(nèi)容、綜合難度等方面進(jìn)行對(duì)比分析，得出高考向量命題的特點(diǎn)，以期對(duì)教師教學(xué)產(chǎn)生一定的影響.

【關(guān)鍵詞】向量；命題結(jié)構(gòu)；綜合難題

1前言

我們知道向量是既有大小又有方向的量，“大小”說明向量具備代數(shù)的特點(diǎn)可運(yùn)算， “方向”說明向量除了大小以外，還具有幾何圖形的特點(diǎn).因此，向量內(nèi)容既可和代數(shù)知識(shí)聯(lián)系，還可和幾何知識(shí)結(jié)合，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一，是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁[1].因此，我們有必要探討向量在新課程標(biāo)準(zhǔn)下的高考如何體現(xiàn).

從2016年起，全國大多數(shù)省份都使用全國卷，只有少部分省份自主命題.因此本文選取有代表性的新課標(biāo)全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、北京卷、天津卷、江蘇卷和浙江卷，對(duì)2014—2016三年共18套理科試題進(jìn)行比較研究，比較出新課改后向量內(nèi)容在高考中的命題數(shù)量和分值、考查形式和內(nèi)容、綜合難度等方面的變化，并得出高考向量命題的特點(diǎn)，以期對(duì)教師教學(xué)產(chǎn)生一定的影響.

2三年高考向量結(jié)構(gòu)對(duì)比分析

2.12014年六套高考向量命題數(shù)量和分值上的比較表12014年六套高考向量命題數(shù)量和分值上的比較

卷別選擇題分值填空題分值解答題分值題號(hào)總分值比值全國Ⅰ卷551210、15、19221467%全國Ⅱ卷100123、11、18221467%北京卷55147、10、172416%天津卷50138、171812%江蘇卷051412、14191188%浙江卷50158、20201333%由表1知，天津卷、江蘇卷和浙江卷有兩道向量有關(guān)的題且所占比值較低，其他三套試題都出現(xiàn)了三道與向量有關(guān)的題，相對(duì)而言全國卷和北京卷更加注重對(duì)向量的考查.

2.11考查形式和內(nèi)容的比較

對(duì)比六套高考試題發(fā)現(xiàn)，單純對(duì)向量命題的有全國Ⅰ卷第15題，全國Ⅱ卷第3題，北京卷第10題，天津卷第8題和江蘇卷第12題.全國Ⅰ卷主要考查平面向量的運(yùn)算法則及幾何意義；全國Ⅱ卷主要考查向量的模長公式及數(shù)量積；北京卷主要考查向量的模長公式；天津卷和江蘇卷不謀而合，主要考查平面向量的基本定理，向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于選取哪兩個(gè)向量為基底，計(jì)算量較大.其他題目的命題方式為與其他知識(shí)的聯(lián)合命制，其中每套題均有一道空間向量與立體幾何相結(jié)合的綜合性大題，著重考查向量的應(yīng)用，向量數(shù)量積等內(nèi)容，進(jìn)而考查學(xué)生空間想象和運(yùn)算求解能力.

2.12總結(jié)2014年六套試題命題情況

總體來看每套試題都有向量知識(shí)的體現(xiàn)，其中以北京卷分值最高，考查的題量都是二至三道.知識(shí)點(diǎn)上一類是單純的對(duì)向量知識(shí)命題，另一類除全國Ⅰ卷第10題與解析幾何聯(lián)合命題、浙江卷第8題與新定義聯(lián)合命題外，其他則是與立體幾何聯(lián)合命題，出題類型較單一.

2.21考查形式和內(nèi)容的比較

考查形式上看，單獨(dú)對(duì)向量命題的題目為全國Ⅰ卷第7題，全國Ⅱ卷第13題，北京卷第13題，江蘇卷第6題.其中全國Ⅰ卷和北京卷主要考查平面向量的線性運(yùn)算，全國Ⅱ卷主要考查向量共線定理，江蘇卷主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，這些命題主要以運(yùn)算為主，思維要求不高.而其它題主要結(jié)合其他內(nèi)容，除了常見的和空間立體幾何結(jié)合外，還包括與解析幾何結(jié)合如全國Ⅰ卷第5題，與基本不等式結(jié)合求最值如天津卷第14題，與三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合如江蘇卷第14題，與函數(shù)最值結(jié)合的浙江卷第15題.

2.22總結(jié)2015年六套試題命題情況

2015年高考向量命題無論從分?jǐn)?shù)和題數(shù)上看還是占很大比例的，讓我們從高考題目的命制中看到了向量在高中與其劇增的地位與作用.這些試卷中體現(xiàn)出來的與其他內(nèi)容聯(lián)合命制的出題方式讓我們看到了高考向量命題的活力與創(chuàng)新思維品質(zhì).

2.32016年六套高考向量命題數(shù)量和分值上的比較

2.31考查形式和內(nèi)容的比較

單獨(dú)對(duì)向量命題的有全國Ⅰ卷第13題，主要考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算；全國Ⅱ卷第3題不僅考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，還考查了向量垂直的充要條件；天津卷第7題與前兩年一樣考查了平面向量的基本定理、線性運(yùn)算及數(shù)量積；江蘇卷第13題考查了向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積.空間向量的內(nèi)容主要與空間幾何聯(lián)系，通過立體幾何題型考查向量知識(shí)運(yùn)用，充分體現(xiàn)向量知識(shí)的工具作用；除了和立體幾何知識(shí)聯(lián)系外，向量知識(shí)還和充要條件結(jié)合，如北京卷第4題；與平面解析幾何結(jié)合，如江蘇卷第18題；還與不等式相結(jié)合，如浙江卷第15題.

2.32總結(jié)2016年六套試題命題情況

從命題數(shù)量和分值上看，向量命題逐漸趨于穩(wěn)定，體現(xiàn)了向量在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的重要性.從命題方式上看，能與其他知識(shí)聯(lián)合命題，提高了命題的質(zhì)量，讓學(xué)生充分感受向量的工具作用，讓向量更好地為高考服務(wù).

3近三年高考向量試題綜合難度的對(duì)比分析

本節(jié)將采用由張欣[2]修改的鮑建生[3]建立的五個(gè)維度來評(píng)價(jià)高考向量考查的綜合難度，即知識(shí)水平，背景水平，運(yùn)算水平，推理水平及知識(shí)含量.以此評(píng)價(jià)模式說明近三年向量命題的綜合難度，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)每年高考向量難度的變化趨勢(shì).

3.1知識(shí)水平

根據(jù)18套試題近三年知識(shí)水平的變化情況，特制如下統(tǒng)計(jì)圖：

從圖看出18套試題近三年對(duì)向量的命題主要集中在理解和應(yīng)用水平上，2015年對(duì)識(shí)記水平的考查最高，但還是以應(yīng)用水平為主，理解水平維持較平穩(wěn)的比重.從圖可以明確看出高考向量考查沒有達(dá)到探究的高度，只是從低層次水平命題，這主要因?yàn)橄蛄靠偸亲鳛楣ぞ呤侄纬霈F(xiàn)，單獨(dú)命題較少.結(jié)合圖看出知識(shí)水平的考查綜合難度以2016年稍高，但是與前兩年相比沒有多大的變化.從不同試卷看，浙江、江蘇卷對(duì)向量的命題難度稍高.3.2背景水平

根據(jù)18套試題近三年背景水平的變化情況，特制如下統(tǒng)計(jì)圖：

從圖可以清楚看到，對(duì)于向量命題幾乎沒有任何公共生活背景和科學(xué)情境，這是因?yàn)樵诟咧械南蛄繉W(xué)習(xí)中，它始終作為工具來體現(xiàn)，也就是為了解決其他數(shù)學(xué)問題才引入的，因此學(xué)科內(nèi)的數(shù)學(xué)問題理所當(dāng)然應(yīng)作為向量考查的背景.

3.3運(yùn)算水平

根據(jù)18套試題近三年運(yùn)算水平的變化情況，特制如下統(tǒng)計(jì)圖：

運(yùn)算水平的考查始終是理科科目考查的重點(diǎn)，從圖可清晰的看到對(duì)于運(yùn)算水平的考查從2014年到2016年整體有所下降，這正體現(xiàn)了歷年高考命題的思想“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”，如2015年浙江卷第15題，若能把模型轉(zhuǎn)化為空間向量差的模的幾何意義，那么就比純粹的用代數(shù)方法簡便多了.但對(duì)計(jì)算能力的考查整體都處于較高的水平，其中復(fù)雜的運(yùn)算總是能占到80%左右，其中2014年和2015年都達(dá)到了93%.從試卷看江蘇卷的填空題一般是壓軸題且大題也較多，故運(yùn)算水平相對(duì)要求較高，而全國兩套試卷的運(yùn)算水平較低于其他試卷.

3.4推理水平

根據(jù)18套試題近三年推理水平的變化情況，特制如下統(tǒng)計(jì)圖：

從圖看出，近三年無推理的題目都維持在較低的水平，而在簡單推理層面的命題有下降的趨勢(shì)，在復(fù)雜推理上以2014年比重最低，但依然是高考對(duì)推理能力考查的重要部分.對(duì)復(fù)雜推理能力的訓(xùn)練，有助于學(xué)生更好的鍛煉思維.

35知識(shí)含量

根據(jù)18套試題近三年知識(shí)含量的變化情況，特制如下統(tǒng)計(jì)圖：

從圖看出，近三年向量內(nèi)容的命題對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)和兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查有所下降，逐漸轉(zhuǎn)向多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合命題，尋求知識(shí)間的交叉，這樣做提高了試題知識(shí)點(diǎn)的涵蓋，并且相應(yīng)地考查了學(xué)生的綜合能力.三個(gè)及三個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的考查在逐年攀升，并以2016年所占比例最高.結(jié)合表4，可以發(fā)現(xiàn)近三年對(duì)向量考查的知識(shí)含量平均水平超過三個(gè)，這也符合新課改后對(duì)學(xué)生考查的新要求.

3.6綜合難度

根據(jù)表4各難度因素的加權(quán)平均值，特制如下統(tǒng)計(jì)圖：

由圖知，近三年高考向量試題更加偏向考查基本知識(shí)與基本技能，即知識(shí)含量和推理運(yùn)算水平，而忽視對(duì)背景水平的重視.但高考試題向量內(nèi)容的綜合難度穩(wěn)定，其中對(duì)知識(shí)水平，知識(shí)含量的考查略有上升，而對(duì)推理水平的要求也在穩(wěn)步提升，只有這樣才能培養(yǎng)出創(chuàng)新型人才.

4主要結(jié)論

4.1關(guān)于向量命題結(jié)構(gòu)

（1）從命題數(shù)量上看，近三年向量命題數(shù)量趨于穩(wěn)定，分值也趨于穩(wěn)定，預(yù)計(jì)未來向量知識(shí)的命題數(shù)穩(wěn)定在兩或三道，分值在20分上下浮動(dòng)；

（2）從命題形式上看，主要為一道選擇或填空，配上一道向量內(nèi)容大題（主要為立體幾何）； （3） 從命題的落腳點(diǎn)看，要注重對(duì)向量知識(shí)的單純考查，還需注重對(duì)多重知識(shí)的綜合考查.

今后向量知識(shí)可結(jié)合的內(nèi)容也會(huì)拓寬，題目會(huì)出的更加豐富，更加科學(xué)，更加貼近生活.

4.2關(guān)于向量命題綜合難度的分析

（1）近三年高考向量命題綜合難度大體一致，對(duì)五種層次能力的考查也大體不變.在對(duì)試題的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比時(shí)，發(fā)現(xiàn)向量的考查主要集中在以下幾個(gè)部分：平面向量的相關(guān)概念、平面向量基本定理與向量的線性運(yùn)算；向量的數(shù)量積運(yùn)算和性質(zhì)；向量與不等式、解析幾何、空間立體幾何、三角函數(shù)等進(jìn)行交叉考查.只要考查的知識(shí)點(diǎn)不變，對(duì)五種能力的考查大體也不會(huì)變，所以在復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)基本知識(shí)的復(fù)習(xí)，做到概念清楚、運(yùn)算準(zhǔn)確.

（2）近三年對(duì)運(yùn)算水平的考查整體略有下降，但還以復(fù)雜運(yùn)算為主.而對(duì)知識(shí)含量、推理水平的要求也在穩(wěn)步提升，但命題缺乏背景.具體體現(xiàn)在知識(shí)水平以應(yīng)用水平為主，背景水平以學(xué)科內(nèi)背景為主，運(yùn)算水平以復(fù)雜運(yùn)算為主，推理水平以復(fù)雜推理為主，試題知識(shí)含量逐年穩(wěn)定在三個(gè)以上知識(shí)點(diǎn).在復(fù)習(xí)時(shí)，要幫助學(xué)生樹立向量的工具意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生在知識(shí)交匯處領(lǐng)悟向量，這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力和知識(shí)遷移能力.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]張欣.高考數(shù)學(xué)卷特點(diǎn)的對(duì)比分析[D].東北師范大學(xué)，2011（5）：10.

[3]鮑建生.中英兩國初中數(shù)學(xué)課程綜合難度的比較研究[J].全球教育展望，2002（9）：48-52.