動力學研究

摘要本文基于完全信息的經典雙寡頭古諾模型，構建不完全信息——不同理性程度的動態(tài)三寡頭博弈模型，對三個寡頭企業(yè)作出異質性理性的假設：天真理性、有限理性和適應性預期的理性行為，將傳統(tǒng)博弈理論和動力系統(tǒng)的分岔理論相結合，模擬排污權交易市場中的寡頭廠商行為，在假設企業(yè)是通過在排污權交易市場購買額外的排污權治理污染的條件下，探究產量調整速度、邊際治污成本和排污權價格對企業(yè)產量決策的影響，對納什均衡的存在和穩(wěn)定條件進行分析。數值模擬結果表明，產量調整速度處于一定范圍內，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，當超過這一范圍時，適應性預期廠商的均衡產量只發(fā)生了倍周期分岔，而有限理性廠商的均衡產量經由倍周期分岔進入混沌狀態(tài)；邊際治污成本對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響取決于企業(yè)的理性預期，隨著邊際治污成本的增加，有限理性廠商的產量越穩(wěn)定，而天真理性和適應性預期的廠商剛好相反，經濟系統(tǒng)出現(xiàn)周期分岔甚至混沌，混沌最終穩(wěn)定在納什均衡水平，說明邊際治污成本越高，市場越不穩(wěn)定；一個有趣的發(fā)現(xiàn)是排污權價格的增大有利于寡頭市場產量供給的穩(wěn)定。系統(tǒng)的奇怪吸引子、最大Lyapunov指數和對初值的敏感依賴性驗證了系統(tǒng)處于混沌的事實。由于混沌意味著無序使模型預測變得困難，最后運用延遲反饋控制法使混沌穩(wěn)定在納什均衡水平，此時寡頭廠商獲得最大化利潤。這對于穩(wěn)定排污權市場，防止市場出現(xiàn)無序混沌的情形有一定的現(xiàn)實意義。

關鍵詞排污權交易；有限理性；邊際治污成本；混沌；納什均衡

中圖分類號F224文獻標識碼A文章編號1002-2104（2016）07-0119-09doi：103969/jissn1002-2104201607015

如何實現(xiàn)經濟和環(huán)境協(xié)調發(fā)展是我國當前面臨的重大問題之一。隨著我國經濟的迅速發(fā)展和向市場體制的全面轉型，環(huán)境問題產生的原因和作用機制更趨復雜，現(xiàn)有環(huán)境保護的制度法規(guī)已無法約束生產部門的污染排放，迫切需要尋找新的手段解決環(huán)境污染問題。

新型治污手段產生于對環(huán)境污染根本原因的認識。在理論界，越來越多的經濟學家認為是環(huán)境資源的外部性（Externalities）導致了人們對環(huán)境保護缺乏自主性，并最終造成環(huán)境的惡化。對于環(huán)境資源負外部性問題的解決，國外學者的研究大體分為兩種理論：其一是收取環(huán)境稅，認為可以通過向排污者征稅的方式將環(huán)境負外部性合理內部化，用環(huán)境稅收彌補私人成本和社會成本的差額；其二是建立排污權市場交易機制，產生于科斯[1]的著名論文The Problem of Social Cost， 即后來的產權理論，認為只要能明確界定產權，那么可以通過市場交易機制去實現(xiàn)資源的優(yōu)化配置。戴爾斯[2]最早將科斯定理應用于環(huán)境領域，明確提出排污權的概念。迄今為止，我國已建立多個試點省市，進行了包括SO2、COD等污染物的大宗交易。理論界的學者們饒有興趣地探索，以期排污權交易能早日解決現(xiàn)實中的環(huán)境污染問題。

目前關于排污權交易的研究已經從最初排污權交易的理論框架與實際進展、排污權交易的政策設計、排污權交易制度的指標體系和排污權初始分配等逐漸深入到運行機制研究、交易成本、初始排污權如何分配等的理論分析。構建多種排污權交易模型，如期權博弈模型、污染治理投資分析模型、最優(yōu)決策模型等對于排污權交易的數理模型也有很多學者研究[3-5]已有文獻的研究，盡管將排污權因素納入模型，但是較少考慮寡頭等帶有壟斷性質的市場結構對模型的影響。

對于寡頭博弈的研究，古諾模型、伯川徳模型等經典博弈模型均是在參與人的完全理性和對博弈過程具有完全信息的假設下進行的。模型經過一次互動決策達到均衡，并保持在均衡水平不變。但現(xiàn)實經濟環(huán)境中這種假設條件過于完美，人們通常需要學習、不斷積累經驗，不可避免地會犯錯，而不是像計算機一樣每次博弈都能精準地計算，作出最優(yōu)決策。因此這種完全信息和完全理性下得到的均衡很可能不符合真實的經濟狀況。

近年來，博弈理論模型和非線性動力學結合研究經濟系統(tǒng)的復雜性逐漸引起關注。這類動態(tài)寡頭博弈模型在參與人具有非完全信息、非完全理性的行為特征條件下進行研究，對于傳統(tǒng)博弈理論的完全理性、完全信息的假設是一種突破，它打破了傳統(tǒng)納什均衡對經濟模型的預測，對于認識和預測經濟更有現(xiàn)實意義，表明了非線性系統(tǒng)在不受隨機沖擊時，也可產生類似隨機性的動態(tài)。

于羽：排污權政策模擬和系統(tǒng)動力學研究中國人口·資源與環(huán)境2016年第7期1文獻綜述

這個方向的研究考慮參與人具有天真理性、有限理性和適應性預期等行為，Kopel[6] 、Puu[7]對古諾模型的納什均衡的研究，提出了周期性和更復雜行為的可能。在寡頭廠商的有限理性、適應性預期等條件下，證明了不動點的穩(wěn)定性，通過系統(tǒng)分岔和奇怪吸引子驗證了系統(tǒng)處于混沌[8-10]。以上文獻的焦點集中于同質性產品的古諾模型和伯川徳模型，差異產品模型的研究也逐漸得到關注[11-15]，大多數學者認為參與人的理性假設會影響模擬結果，延遲有限理性的參與人更有可能達到納什均衡，延遲經濟系統(tǒng)的混沌行為[16-18]。

隨著對寡頭博弈的動力系統(tǒng)研究的深入，混沌在無外界隨機因素下系統(tǒng)內在隨機產生形成共識。由于混沌意味著遠離均衡點，需要采取措施重新恢復均衡水平。目前主流的方法主要有Ott、Grebogi和Yorke[19]提出的OGY方法，Pyragas[20]的連續(xù)變量反饋控制法和延遲反饋控制法等。

迄今，混沌理論涉及多學科多領域的研究，國內外的專家學者對于混沌的研究成功用于經濟學領域的最突出的貢獻莫過于打破了寡頭博弈模型中的完全理性假設，使模型更符合實際。納什均衡不再處于經典博弈中的傳統(tǒng)主導地位，而是有條件地存在。

這種經多次調整的無限重復的動態(tài)博弈模型現(xiàn)已應用于電力市場、尋租問題、資源環(huán)境、資本管理、社會責任等道德產品的研究[21-22]。吉偉卓和馬軍海[23]建立三寡頭博弈模型，對發(fā)電廠商的動態(tài)行為進行了分析；Godwin等[24]對具有政策成本和競爭強度的動態(tài)尋租博弈的復雜性的研究，論證了尋租者的支出調整參數對博弈均衡的影響；Matouk等[25]應用離散動力系統(tǒng)對hastings-powell食物鏈的研究也發(fā)現(xiàn)了有趣的系統(tǒng)的內在隨機性特征，Ding等[29]對低碳經濟系統(tǒng)的研究也都論證了理性決策對系統(tǒng)混沌的重要性。

本文在前人研究的基礎上，探討排污權交易制度施行、寡頭企業(yè)的決策等對寡頭市場的穩(wěn)定可能帶來的影響，并對此加以研究。通過建立三寡頭的動態(tài)博弈模型，分析納什均衡的存在和穩(wěn)定條件。數值模擬結果表明了當企業(yè)的產量調整速度、邊際治污成本和排污權價格等參數發(fā)生變化時，系統(tǒng)的納什均衡、周期分岔以及混沌的演變過程。分岔圖、奇怪吸引子、分數維等驗證了系統(tǒng)處于混沌的事實。最后運用延遲反饋控制法使系統(tǒng)重新恢復到均衡水平。

2模型構建與求解

本節(jié)主要介紹基于排污權交易機制的動態(tài)三寡頭博弈模型。考慮環(huán)境污染對消費者的危害建立逆需求函數。探討企業(yè)產量調整速度、邊際治污成本和排污權價格對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，數值模擬此時系統(tǒng)的復雜性態(tài)。

構建排污權交易市場的環(huán)境，假設市場上存在三個寡頭廠商，每個企業(yè)生產同質性產品，彼此間選擇產量競爭。若xi（t）表示t時期企業(yè)i的產量，i=1，2，3.則t時期市場總產量為X=x1（t）+x2（t）+x3（t）.假設企業(yè)排污量與企業(yè)產量成正比例函數關系：Ei=exi.其中，Ei為企業(yè)i的排污量。市場中的消費者，因企業(yè)提供產品獲得效用的同時，也因環(huán)境污染受到身心危害。每單位污染排放對消費者產生正的邊際損失為d.那么此時消費者的效用函數表示為：

U（x1，x2，x3）=x0+aX-12bX2-deX

其中，x0表示沒有污染排放的產品，設價格為1，a>0為固定參數。那么，在寡頭市場商品銷售價格為p0，消費者收入為ω（收入全部用于消費）的約束條件下，消費者最優(yōu)選擇可表示為：

maxU（X）=x0+aX-12bX2-deX

s.t.x0+p0X=ω

將約束條件x0=ω-p0X代入效用函數，得無約束最優(yōu)化問題：

maxU（X）=ω-p0X+aX-12bX2-deX

由效用最大化一階條件UX=0可得逆需求函數為：

p0（X）=a-bX-de

對比于不考慮污染的模型，價格下降了de，即單位產品對消費者損失。

假設企業(yè)i的生產成本、治污成本以及污染排放量為一次函數形式，且Ci（xi）=cixi，Mi（xi）=mixi，Ei（xi）=exi.政府對初始排污權的分配是免費的，記為y0.市場上排污權交易價格為p，并且假設企業(yè)暫時不具備污染清除技術，只能通過購買額外的排污權治理污染。那么企業(yè)i的實際排污權交易費用為p（exi-y0），i=1，2，3.

企業(yè)i的利潤函數為

由于三個企業(yè)的理性程度不同，重復的動態(tài)博弈的產量決策各不相同：天真理性的企業(yè)1的決策是根據當期企業(yè)2和企業(yè)3的產量的反應函數決定自身產量；有限理性的企業(yè)2的當期決策取決于自己前一期的邊際利潤，邊際利潤為正，他在當期增加產量，邊際利潤為負，他在當期減少產量；適應性預期行為的企業(yè)3的決策是自己的反應函數和前一期產量的凸組合。則排污權交易機制下有限理性三寡頭廠商的產量決策方程為

定理2納什均衡E是局部漸進穩(wěn)定的，如果系統(tǒng)參數滿足（a-de-pe）-3（ch+mh）+（ci+mi）+（cj+mj）>0，b>0.h，i，j=1，2，3.h≠i≠j以及上述Jury條件時，E*是局部漸進穩(wěn)定的。

3數值模擬

本小節(jié)對三個異質性理性的生產者進行產量決策模型的復雜性進行分析，可觀察到企業(yè)調整速度、邊際治污成本和排污權價格對模型復雜性的影響以及參數變化時的混沌性態(tài)。通過數值模擬圖形，觀察模型中寡頭企業(yè)的產量和利潤的演化過程，探討排污權市場中經濟系統(tǒng)的運行規(guī)律。

3.1產量調整速度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

首先對參數賦值：a=10，b=1，c1=0.8，c2=1，c3=1.1，m1=0.2，m2=0.5，m3=0.7，d=0.4，e=0.5，p=1，y0=1，ν=0.5.則M=1.9，納什均衡點E*=（2.4，1.9，1.6）.

當企業(yè)3的調整速度ν=0.5，動力系統(tǒng)方程：

如圖1所示是ν=0.5時寡頭廠商關于u的產量分岔圖，最初三個企業(yè)產量處于納什均衡水平，u=0.488 0時為第一次分岔，之后經由倍周期分岔進入混沌。圖2是與圖1對應的u的最大Lyapunov指數圖。u∈（0.4，0.488 0）時，產量為不變的納什均衡水平。圖1中的第一次、第二次和第三次分岔點分別對應圖2中最大Lyapunov指數最接近于零的點A（0.488 0，-0.009 6）、B（0.644 0，-0.009 8）和C（0.669 0，-0.006 5）；之后，最大Lyapunov指數開始出現(xiàn)正值，與此同時圖1中的混沌發(fā)生。

如圖3所示是u=0.49時寡頭廠商關于ν的產量分岔圖，最初三個企業(yè)產量處于納什均衡水平，ν=0.492 0時為分岔點，之后保持倍周期分岔而沒有進入混沌。圖4是與圖3對應的ν的最大Lyapunov指數圖。ν∈（0，0.492 0）時，產量為不變的納什均衡水平。圖3中的分岔點對應圖4中最大Lyapunov指數最接近于零的點D（0.492 0，-0.009 6）。

由寡頭廠商的產量和利潤分岔圖可知，在進行產量決策時，隨著調整速度的增加，企業(yè)在寡頭市場的反應越迅速，市場可能出現(xiàn)這種無序混沌的情形，甚至出現(xiàn)無法掌控的局面。而由于企業(yè)2、企業(yè)3的不同理性假設，可以觀察到有限理性企業(yè)的調整速度的變化對市場穩(wěn)定的影響程度更大，而適應性預期廠商在做出決策時，考慮到自身基期產量和競爭對手產量的原因，他的調整速度對市場穩(wěn)定的影響相對較小，因此只是發(fā)生了一次分岔，而沒有進入混沌。

本小節(jié)以天真理性和有限理性廠商為例，探究邊際治污成本mi（i=1，2）對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

是u=0.49，ν=0.5，其他參數不變時，企業(yè)1的邊際治污成本m1的產量分岔圖。納什均衡產量為E*=（10.2-3m14，7.4+m14，6.2+m14）那么三個企業(yè)的均衡產量不再是固定的。隨著m1的增加，企業(yè)1的均衡產量下降，企業(yè)2、企業(yè)3的均衡產量會上升。因此，同調整速度u，v的產量分岔圖會略有不同。

是與圖5對應的m1的最大Lyapunov指數圖。m1∈（0，0.183 0）時，企業(yè)1、企業(yè)3的納什均衡產量持續(xù)上升，企業(yè)2的納什均衡產量持續(xù)下降。圖5中的第一次、第二次和第三次分岔點分別對應圖6中最大Lyapunov指數最接近于零的點E（0.183 0，-0.009 2）、F（1.795 0，0.001 2）和G（2.051 0，0.001 4）；之后，最大Lyapunov指數開始出現(xiàn)正值，與此同時圖5中的混沌發(fā)生。

不難看出，關于天真理性、有限理性和適應性預期假設的企業(yè)，他們的邊際治污成本產生的產量分岔過程完全不同。這主要與企業(yè)的不同理性假設有關。隨著天真理性企業(yè)的邊際治污成本的增加，三寡頭產量經由倍周期分岔，最終進入混沌；隨著有限理性企業(yè)的邊際治污成本的增加，三個企業(yè)的產量卻是由最初的混沌狀態(tài)經由倍周期分岔最終恢復在變化中的納什均衡水平；隨著適應性預期理性企業(yè)的邊際治污成本的增加，三個企業(yè)的產量從變化中的納什均衡狀態(tài)發(fā)生了一次分岔，而沒有出現(xiàn)混沌。

3.3排污權價格對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

本小節(jié)探討排污權交易市場的排污權價格p對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

由圖9和圖10不難看出，關于天真理性、有限理性和適應性預期假設的企業(yè)，隨著排污權價格的增加，系統(tǒng)由

系統(tǒng)的吸引子

奇怪吸引子是驗證混沌的重要特征，相空間中鄰近的吸引子的軌道隨著時間發(fā)生不規(guī)則的指數離析的過程。三寡頭博弈的吸引子是三維圖像。圖11是u=0.49， v=0.5，m1=2.7的模擬結果。此時系統(tǒng)進入完全混沌狀態(tài)。

3.5混沌控制

混沌系統(tǒng)對于初值的敏感性，使模型預測變得困難，這是參與者所不希望的，因此本小節(jié)應用Pyragas（1993）提出的延遲反饋控制法（DFC法）控制混沌。

延遲反饋系統(tǒng)可表示為：y（t+1）=g（y（t），p（t））

其中，y（t+1）為狀態(tài)變量，p（t）為控制信號。Pyragas指出p（t）可表示為p（t）=k（y（t+1-τ）-y（t+1））.其中k為控制因子，τ為滯后時間，t>τ.。τ=1時，表示p（t）反饋回系統(tǒng)需要延遲一個時間周期?？紤]延遲周期，模型中的動力系統(tǒng)方程改寫為：

以上數值模擬表明，DFC方法延遲和抑制了排污權交易機制下的動態(tài)博弈模型中的混沌，排污權市場中企業(yè)產量在經歷倍周期分岔后，重新恢復到納什均衡，獲得穩(wěn)定的均衡利潤，對于穩(wěn)定市場起了重要作用?；煦缇哂胁豢深A測性，寡頭廠商在觀測到混沌性態(tài)時，采用施加一個控制因子的DFC方法，需要一個動力系統(tǒng)多次迭代的過程才能使系統(tǒng)穩(wěn)定在納什均衡。

4結語

本文基于傳統(tǒng)博弈理論，結合非線性混沌動力系統(tǒng)，構建排污權交易機制下的動態(tài)三寡頭產量博弈模型。該模型放松了靜態(tài)博弈模型中，決策者的完全理性和對市場的完全信息假設，將有限理性納入動態(tài)博弈模型。

本文以線性需求函數和治污成本函數為基礎，在政府分配給企業(yè)免費的初始排污權，額外污染排放只能通過購買新的排污權實現(xiàn)的條件下，數值模擬經濟系統(tǒng)在參數發(fā)生變化時，會出現(xiàn)周期分岔和混沌等復雜動力學現(xiàn)象。探討了企業(yè)產量調整速度、邊際治污成本以及排污權價格對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。企業(yè)的產量調整速度越慢，利潤相對越穩(wěn)定；當廠商具有天真理性和有限理性時，前者的邊際成本越高，企業(yè)越要承擔越大的風險，后者的邊際治污成本越高，排污權交易市場越穩(wěn)定。排污權價格越大，系統(tǒng)越趨于穩(wěn)定狀態(tài)，說明排污權交易和排污權市場的建立有利于產量供給的穩(wěn)定。對經濟系統(tǒng)處于混沌的重要特征，包括奇怪吸引子的分形演化、最大Lyapunov指數、系統(tǒng)對初值的敏感性都進行了驗證。混沌始終是一種無法掌控的、無序的狀態(tài)，對于模型的分析與預測帶來困難。因此最后運用延遲反饋法成功對混沌進行控制，最終市場產量會保持在納什均衡，同時寡頭廠商獲得最大利潤。

就目前而言，我國的市場經濟處于不斷完善和轉型的階段，本文數值模擬的結果對于排污權市場的穩(wěn)定運行，市場出現(xiàn)無序混沌的措施補救有一定的現(xiàn)實意義，對于認識和預測排污權市場有一定的參考價值。研究表明企業(yè)要想在寡頭市場立足，必須提高污染治理水平，降低邊際治污成本。

（編輯：尹建中）

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