采用混合核支持向量機(jī)的DOA估計(jì)*

孫菲艷,田雨波,任作琳

(江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江　212003)

采用混合核支持向量機(jī)的DOA估計(jì)*

孫菲艷**,田雨波,任作琳

(江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)進(jìn)行建模時(shí)通常需要準(zhǔn)備大量的數(shù)據(jù)樣本,同時(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般都比較復(fù)雜;而采用支持向量機(jī)(SVM)進(jìn)行建模時(shí),不同核函數(shù)有不同的效果,各有利弊,且選取SVM模型參數(shù)的理論支撐尚不完整。為了解決這些問題,提出了一種基于混合核函數(shù)的支持向量機(jī)來改善來波到達(dá)角(DOA)的估計(jì)性能,并結(jié)合二進(jìn)制粒子群算法(PSO)來對(duì)混合核函數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。該混合核函數(shù)由全局核函數(shù)和局部核函數(shù)構(gòu)成,提高了SVM的泛化能力和學(xué)習(xí)能力。首先通過擬合多項(xiàng)式函數(shù),驗(yàn)證了該混合核SVM的有效性。將該方法用于DOA估計(jì)建模,在不同信噪比和快拍數(shù)下,通過與徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、基于各單一核函數(shù)的SVM和MUSIC算法預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比,混合核SVM均方差有所降低,提高了DOA估計(jì)的精度且有更好的穩(wěn)定性。

波達(dá)角估計(jì);支持向量機(jī);混合核函數(shù);粒子群算法

引用格式:孫菲艷，田雨波，任作琳.采用混合核支持向量機(jī)的DOA估計(jì)[J].電訊技術(shù)，2016，56(3)：302-307.[SUN Feiyan，TIAN Yubo，REN Zuo1in.DOA estimation with suPPort vector machine based on hybrid kerne1[J].Te1ecommunication Engineering，2016，56(3)：302-307.]

1　引 言

波達(dá)方向(Direction of Arriva1，DOA)估計(jì)算法作為智能天線的關(guān)鍵算法之一，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在雷達(dá)、蜂窩通信、衛(wèi)星通信等領(lǐng)域，主要目的是抗干擾并實(shí)現(xiàn)精確估計(jì)空間上互不相關(guān)信號(hào)的波達(dá)方向。傳統(tǒng)的DOA估計(jì)方法主要有MUSIC算法[1]、ESPRIT算法[2]等，但是這些算法的主要缺點(diǎn)是需要進(jìn)行相關(guān)矩陣的滿秩估計(jì)，運(yùn)算量較大，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)。

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neura1 Network，NN)有適合非線性映射、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被用來進(jìn)行DOA估計(jì)[3-5]，但是NN結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，容易造成過擬合現(xiàn)象且輸出結(jié)果隨機(jī)性較大，在不同的信噪比(Signa1-to-Noise Ratio，SNR)情況下往往需要大量的訓(xùn)練樣本，且對(duì)于高維網(wǎng)絡(luò)輸入有時(shí)難以得到令人滿意的結(jié)果。而支持向量機(jī)(SuPPort Vector Machine，SVM)是一種針對(duì)小樣本學(xué)習(xí)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，適合解決非線性映射問題且泛化能力較強(qiáng)，已經(jīng)有文獻(xiàn)將其用于DOA估計(jì)。Pastorino等人于2005年提出了用SVM回歸來進(jìn)行DOA估計(jì)[6]；Randazzo等通過與傳統(tǒng)MUSIC算法對(duì)比得出用SVM回歸進(jìn)行DOA估計(jì)有更好的預(yù)測(cè)精度[7]；李鵬飛等通過提取已知方向來波信號(hào)在天線陣元間感應(yīng)的相位差作為模型的輸入，利用支持向量回歸機(jī)對(duì)復(fù)雜函數(shù)的逼近能力構(gòu)建了方向估計(jì)模型，使得模型對(duì)低信噪比具有較強(qiáng)的適應(yīng)能力[8]；Seetha H等人提出了多內(nèi)核SVM學(xué)習(xí)方法，實(shí)驗(yàn)性能超出了傳統(tǒng)的SVM回歸性能[9]。本文主要是用SVM方法來進(jìn)行DOA估計(jì)，并且采用基于混合核函數(shù)的SVM來加強(qiáng)估計(jì)精度、提高泛化能力，混合核函數(shù)的各個(gè)參數(shù)和SVM中的懲罰系數(shù)均采用二進(jìn)制粒子群算法(Partic1e Swarm OPtimization，PSO)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，為提高DOA估計(jì)精度提供了一種新的途徑。

2　DOA估計(jì)模型

設(shè)M個(gè)非相干窄帶信號(hào)入射到陣元間距為d的N個(gè)相同陣元均勻排列的直線陣上(M＜N)，入射角即波達(dá)方向?yàn)棣?[θ1，θ2，…，θM]，第i個(gè)天線陣元在t時(shí)刻接收到的信號(hào)為

式中：sm(t)是第m個(gè)窄帶信號(hào)；ni(t)表示均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲。

天線陣列接收到的信號(hào)矩陣形式表示為

式中：A(θ)為N×M維的方向矩陣；S(t)為包含了復(fù)雜的幅值信息的M×1維信號(hào)矢量；N(t)為N×1維矢量；X(t)為在時(shí)刻t接收到的信號(hào)，具體如下：

式中：a(θm)為陣元間距為d的均勻線陣的陣列響應(yīng)矢量，即

最終，接收信號(hào)的M×M維協(xié)方差矩陣可以表示為

式中：I為單位矩陣；σ2為加性高斯白噪聲的方差；H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。因?yàn)镽x是對(duì)稱陣，元素R(i，j)和R(j，i)的信息相同，且主對(duì)角線元素不包含任何信號(hào)的方位信息，常選擇由M(M-1)/2個(gè)元素構(gòu)成的上三角矩陣來構(gòu)建模型的輸入向量：

天線接收的不是理想的窄帶信號(hào)，向量b中的每個(gè)元素需要按照實(shí)部和虛部分成兩個(gè)元素，為M(M-1)維向量b1，并將其歸一化后作為輸入：

式中：‖b1‖表示b1的歐式范數(shù)。

由于Rx中含有波達(dá)方向θ的信息，因此天線陣列可以看作一個(gè)從DOA空間{θ}到天線陣列接收到信號(hào)的協(xié)方差矩陣的歸一化處理之間的映射G：θ→z，而基于混合核函數(shù)的PSO-SVM進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，就是構(gòu)建天線陣列接收信號(hào)矢量到來波方向角空間的反變換F：z→θ，以達(dá)到對(duì)來波方位的估計(jì)，即輸入為上式歸一化后的由協(xié)方差矩陣上三角陣組成的向量z，輸出為來波角度θ。

3　基于PSO優(yōu)化混合核SVM的DOA估計(jì)

3.1基于支持向量機(jī)的DOA估計(jì)

SVM進(jìn)行DOA估計(jì)的主要思想是通過非線性映射將樣本空間映射到高維的特征空間，在高維特征空間中通過一個(gè)線性超平面實(shí)現(xiàn)線性回歸。在DOA估計(jì)過程中，通過引入懲罰系數(shù)C將尋找最優(yōu)線性回歸超平面的算法轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)凸約束條件下的凸規(guī)劃問題[10-12]，SVM在高維空間中構(gòu)造的最優(yōu)回歸函數(shù)為

式中：L為支持向量機(jī)數(shù)；α和α'i及b要通過最小化回歸風(fēng)險(xiǎn)得到；ψ(zi，z)為核函數(shù)，因此SVM回歸只需要確定核函數(shù)及其參數(shù)和懲罰系數(shù)C。目前常見的核函數(shù)有[13]多項(xiàng)式核、高斯徑向基核、Sigmoid核和柯西核函數(shù)。

3.2混合核函數(shù)

SVM的核函數(shù)可以分為兩大類：全局核函數(shù)和局部核函數(shù)[13]。多項(xiàng)式核函數(shù)是一種典型的全局核函數(shù)，有很好的外推能力即泛化能力較強(qiáng)；而柯西核函數(shù)是一種局部核函數(shù)，學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，且柯西核函數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)單，它避免了高斯核和小波核復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算，因此選擇了這兩種核函數(shù)。

SVM對(duì)于不同的核函數(shù)有不同的回歸預(yù)測(cè)效果，為了同時(shí)擁有全局核函數(shù)和局部核函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，將上述的柯西核函數(shù)(k)和多項(xiàng)式核函數(shù)(Po1y)線性組合構(gòu)成一種新的混合核函數(shù)。設(shè)多項(xiàng)式核函數(shù)的系數(shù)為α(0＜α＜1)，柯西核函數(shù)的系數(shù)為1-α，即

式中：多項(xiàng)式核函數(shù)中的c取值為1；多項(xiàng)式核函數(shù)中的d和柯西核函數(shù)中的u、權(quán)系數(shù)α以及懲罰系數(shù)C均為需要優(yōu)化的參數(shù)。該混合核函數(shù)兼具了局部核函數(shù)較好的學(xué)習(xí)能力和全局核函數(shù)較好的泛化能力，使得基于該核函數(shù)的SVM有良好的預(yù)測(cè)能力，預(yù)測(cè)精度比組成該混合核函數(shù)的各單一核函數(shù)高。

3.3基于粒子群優(yōu)化算法的混合核函數(shù)

粒子群優(yōu)化(Partic1e Swarm OPtimization，PSO)算法是由Eberhart和Kennedy提出的，主要通過研究鳥群覓食行為啟發(fā)而來[14]。在PSO算法中，優(yōu)化問題中的所有可能解可以被看作是搜索空間中的一個(gè)位置，稱為粒子。每個(gè)粒子都有一個(gè)相應(yīng)的適應(yīng)值，算法不僅記錄了粒子目前的位置，還記錄了到現(xiàn)在為止該粒子曾達(dá)到過最好適應(yīng)值的位置和群體中所有粒子曾達(dá)到過最好適應(yīng)值的位置。所有粒子都有各自飛翔的方向和位移，由速度矢量v決定。PSO初始化為一群隨機(jī)粒子，然后根據(jù)最優(yōu)粒子的位置，粒子們?cè)诮饪臻g中搜索，并通過下式迭代找到最優(yōu)解[15]：

式中：t和t+1是進(jìn)化代數(shù)；xt和vt分別是當(dāng)前粒子在第t次迭代時(shí)候的位置和速度；ω是慣性權(quán)值；c1、c2是加速因子，分別表示粒子的自我和社會(huì)認(rèn)知能力，均是定值；rand()表示0～1之間的隨機(jī)數(shù)；pt表示個(gè)體極值的位置；gt表示全局極值的位置。

上述構(gòu)造的混合核函數(shù)中需要用PSO算法優(yōu)化的參數(shù)有多項(xiàng)式核函數(shù)中的d(d＞0)、柯西核函數(shù)中的u(u＞0)、權(quán)系數(shù)α(0＜α＜1)以及懲罰系數(shù)C(C≥0)。

用設(shè)計(jì)好的混合核函數(shù)對(duì)式(12)～(14)表示的函數(shù)進(jìn)行擬合，輸入樣本集合為在區(qū)間(-2，2)上均勻選取的41個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，輸出為各個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值：

以三次函數(shù)y2為例，用PSO對(duì)混合核函數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)后，得到的最優(yōu)參數(shù)組合為最終選取參數(shù)優(yōu)化組合為d=4.228 5，u=1，α=0.790 5，C= 759.764 1；多項(xiàng)式優(yōu)化參數(shù)組合為d=4.243 6，C= 200；柯西核函數(shù)用PSO算法得到的參數(shù)優(yōu)化組合為u=1.519 9，C=67.078 6。仿真實(shí)驗(yàn)在MATLAB R2013a中編程實(shí)現(xiàn)，不同的待擬合函數(shù)用PSO算法優(yōu)化可以得到不同的參數(shù)組合值。表1給出了基于不同核函數(shù)的SVM擬合不同函數(shù)所對(duì)應(yīng)的均方誤差(Mean Square Error，MSE)，可以看出，基于混合核函數(shù)的SVM擬合的MSE比多項(xiàng)式核函數(shù)和柯西核函數(shù)的MSE均要小，說明基于混合核函數(shù)的SVM可以提高函數(shù)擬合精度。

表1　不同方法擬合的均方誤差Tab.1 Fitting MSE with different methods

4　基于混合核函數(shù)的PSO-SVM用于DOA估計(jì)建模

基于混合核函數(shù)的PSO-SVM進(jìn)行DOA估計(jì)的具體步驟如下：

(1)由公式編程計(jì)算入射角的協(xié)方差矩陣，提取協(xié)方差矩陣的上三角部分，并進(jìn)行實(shí)部和虛部的分離組成一組列向量；

(2)將該組列向量進(jìn)行歸一化處理；

(3)在不同信噪比的情況下，用PSO對(duì)混合核函數(shù)的參數(shù)及SVM的懲罰系數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，找到每組樣本對(duì)應(yīng)的最佳參數(shù)；

(4)代入最佳參數(shù)，對(duì)每組測(cè)試樣本進(jìn)行DOA估計(jì)。

5　數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

5.1兩個(gè)信號(hào)源的不同方法比較

假設(shè)兩個(gè)非相干的正弦信號(hào)源，快拍數(shù)L= 500，信噪比15 dB，均勻線陣陣元數(shù)目12，陣元間距為波長(zhǎng)的一半，訓(xùn)練樣本162組，兩個(gè)信號(hào)源間隔10°(均是81組)，預(yù)測(cè)樣本158組，兩信號(hào)源間隔為12°。用基于混合核函數(shù)的SVM對(duì)上述的樣本進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)，同時(shí)用RBF-NN對(duì)相同的樣本進(jìn)行了訓(xùn)練和預(yù)測(cè)，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)RBF-NN穩(wěn)定性不是很好，通過多次試驗(yàn)，選取了其中一組較好的估計(jì)結(jié)果，如圖1所示。

圖1　不同方法估計(jì)結(jié)果Fig.1 Estimation resu1ts by different methods

從圖1可以看出測(cè)試值和實(shí)驗(yàn)值基本吻合，基于混合核的SVM比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)效果更好。為了進(jìn)一步比較混合核函數(shù)和單一核函數(shù)的預(yù)測(cè)精度區(qū)別，表2給出分別用上述不同方法得到的DOA估計(jì)的MSE及均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)。從表2中可以發(fā)現(xiàn)，基于混合核函數(shù)的SVM估計(jì)的均方誤差最小，有較好的估計(jì)精度。

表2　DOA估計(jì)誤差Tab.2 DOA estimation error

5.2不同方法在不同信噪比下的性能比較

實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖潜容^不同信噪比下的均方根誤差，通過比較基于混合核函數(shù)的SVM估計(jì)、基于單核的SVM估計(jì)與傳統(tǒng)MUSIC算法的估計(jì)，證明基于混合核函數(shù)的SVM相比其他兩種方法有更好的預(yù)測(cè)精度且運(yùn)算時(shí)間較短。設(shè)定信號(hào)源數(shù)目為2個(gè)，快拍數(shù)L=500，信噪比依次為-5 dB、0.5 dB、10 dB、15 dB、20 dB、25 dB，均勻線陣陣元數(shù)目12，陣元間距是波長(zhǎng)的一半，訓(xùn)練樣本162組，兩個(gè)信號(hào)源間隔10°(均是81組)，預(yù)測(cè)樣本158組，兩信號(hào)源間隔為12°。分別用基于混合核函數(shù)的SVM、基于單核(多項(xiàng)式核)的SVM和MUSIC算法來對(duì)上述指定樣本進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)。通過實(shí)驗(yàn)得知，柯西和函數(shù)在此樣本訓(xùn)練預(yù)測(cè)下，對(duì)于不同的信噪比估計(jì)誤差均較大，選取了單核誤差中相對(duì)較小的多項(xiàng)式核函數(shù)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。在用SVM訓(xùn)練預(yù)測(cè)的過程中，用PSO方法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，在不同信噪比及不同核函數(shù)下均可以得到不同的最佳參數(shù)組合值。圖2給出了用3種方法在不同信噪比下的均方誤差，可以看出，對(duì)于每個(gè)不同的信噪比，基于混合核函數(shù)的SVM估計(jì)精度均比基于單一核函數(shù)的估計(jì)、MUSIC算法估計(jì)精度高；隨著信噪比的增大(高斯白噪聲)，均方根誤差逐漸減小；在信噪比大于15 dB之后，均方根誤差均小于1且逐漸趨于穩(wěn)定，通過MATLAB計(jì)算運(yùn)行時(shí)間得知，基于混合核函數(shù)的SVM、基于單一核函數(shù)的SVM、MUSIC算法對(duì)一組來波方位角的平均估計(jì)時(shí)間分別為0.002 s、0.001 9 s、0.008 1 s，由此可以看出本文提出的基于混合核函數(shù)的SVM估計(jì)算法相比傳統(tǒng)MUSIC算法運(yùn)算時(shí)間更短、估計(jì)精度較高。

圖2　不同信噪比下的均方根誤差Fig.2 RMSE with different SNR

5.3不同方法在不同快拍數(shù)下的性能比較

分析快拍數(shù)對(duì)基于混合核函數(shù)的SVM估計(jì)和基于單核的SVM估計(jì)的影響。采用12陣元的均勻直線陣，陣元間距為波長(zhǎng)的一半，快拍數(shù)從100到500每隔100取一個(gè)值，接收數(shù)據(jù)信噪比15 dB，訓(xùn)練樣本162組，兩個(gè)信號(hào)源間隔10°(均是81組)，預(yù)測(cè)樣本158組，兩信號(hào)源間隔為12°。每次快拍數(shù)下做10次估計(jì)實(shí)驗(yàn)后取平均值，比較不同快拍數(shù)下基于混合核和單核的SVM的估計(jì)均方根誤差。從圖3中可以看出，隨著快拍數(shù)的增多，兩方法估計(jì)性能均變好，但是基于混合核的SVM估計(jì)性能始終優(yōu)于基于單核(多項(xiàng)式核)的SVM估計(jì)。

圖3　不同快拍數(shù)下的均方根誤差Fig.3 RMSE with different snaPshots

6　結(jié)束語

為了進(jìn)一步提高用SVM來進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)的預(yù)測(cè)精度，本文結(jié)合采用PSO優(yōu)化參數(shù)的混合核函數(shù)來提高DOA估計(jì)準(zhǔn)確度。該混合核函數(shù)兼具了局部核函數(shù)的學(xué)習(xí)能力強(qiáng)和全局核函數(shù)的泛化能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，使得SVM預(yù)測(cè)誤差更小、精度更高、模型性能更好，克服了NN設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定等缺點(diǎn)，預(yù)測(cè)結(jié)果也優(yōu)于基本RBF-NN的結(jié)果，且預(yù)測(cè)精度和運(yùn)算速度均高于傳統(tǒng)MUSIC算法。同時(shí)，由于SVM有小樣本學(xué)習(xí)的優(yōu)點(diǎn)，而電磁問題的仿真一般需要昂貴的時(shí)間代價(jià)和測(cè)量代價(jià)，因此該混合核SVM也適用于對(duì)其他復(fù)雜電磁問題的建模。

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TIAN Yubo，LI Zhengqiang，WANG Jianhua.Mode1 resonant frequency of rectangu1ar microstriP antenna based on Partic1e swarm neura1 network[J].Journa1 of Microwave，2009，25(5)：45-50.(in Chinese)

孫菲艷(1991—)，女，江蘇徐州人，2013年于江蘇科技大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚砼c系統(tǒng)等；

SUN Feiyan was born in Xuzhou，Jiangsu Province，in 1991.She received the B.S.degree from Jiangsu University of Science and Techno1ogy in 2013.She is now a graduate student.Her research concerns information Processing and systems.

Emai1：826029488@qq.com

田雨波(1971—)，男(滿族)，遼寧人，博士，教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橛?jì)算智能及其電磁學(xué)應(yīng)用；

TIAN Yubo was born in Liaoning Province，in 1971.He is now a Professor with the Ph.D.degree and a1so the instructor of graduate students.His research concerns comPutationa1 inte11igence and e1ectromagnetic fie1ds.

任作琳(1991—)，女，遼寧人，2013年于江蘇科技大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化算法等。

REN Zuo1in was born in Liaoning Province，in 1991.She received the B.S.degree from Jiangsu University of Science and Techno1ogy in 2013.She is now a graduate student.Her research concerns inte11igent oPtimization a1gorithms.

DOA Estimation with Support Vector Machine Based on Hybrid Kernel

SUN Feiyan，TIAN Yubo，REN Zuo1in
(Schoo1 of E1ectronics and Information，Jiangsu University of Science and Techno1ogy，Zhenjiang 212003，China)

A 1arge number of samP1es and comP1ex structure are needed when mode1ing with artificia1 neura1 network(ANN).And each ordinary kerne1 function of suPPort vector machine(SVM)has advantages and disadvantages.Moreover，the theory for se1ecting the Parameters of SVM mode1 is sti11 incomP1ete.In order to so1ve these Prob1ems，SVM based on hybrid kerne1 function is ProPosed to imProve the Performance of the direction of arriva1(DOA)estimation，in which the Parameters of SVM and weight coefficient of the hybrid kerne1 are oPtimized by binary Partic1e swarm oPtimization(PSO)a1gorithm.The hybrid kerne1 function obtains high genera1ization abi1ity and 1earning abi1ity.First1y，the Po1ynomia1 functions are used to test the SVM based on hybrid kerne1 function and the method is verified to be effective.Fina11y，the method is used for mode1ing DOA estimation，and the mode1 is va1idated by comParing its resu1ts with those of RBF neura1 network(NN)and SVM based on a sing1e kerne1 function and MUSIC a1gorithm.ExPeriments show that the method imProves the DOA estimation accuracy and can achieve stab1e resu1ts.

direction of arriva1 estimation；suPPort vector machine；hybrid kerne1 function；Partic1e swarm oPtimization

The Nationa1 Natura1 Science Foundation of China(No.61401179)

TN911.72

A

1001-893X(2016)03-0302-06

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.03.012

2015-07-23;

2015-10-30 Received date:2015-07-23;Revised date:2015-10-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61401179)

**通信作者:826029488@qq.com Corresponding author:826029488@qq.com