基于模糊理論的跳躍軌跡多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

張勃, 唐碩, 泮斌峰

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072;2.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

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基于模糊理論的跳躍軌跡多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

張勃1,2, 唐碩1,2, 泮斌峰1,2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072;2.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

針對(duì)探月返回跳躍軌跡的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,提出了一種基于模糊理論的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,并對(duì)非線性隸屬度函數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響進(jìn)行了研究。首先,將連續(xù)的無(wú)限維優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行離散化,轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題;其次,用隸屬度函數(shù)將各個(gè)子目標(biāo)進(jìn)行模糊化,將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求模糊判決隸屬度函數(shù)的最大值問(wèn)題;最后,求解經(jīng)過(guò)模糊化的非線性規(guī)劃問(wèn)題。分析了探月返回跳躍軌跡的特性,表明模糊多目標(biāo)優(yōu)化更能體現(xiàn)決策者的偏好。構(gòu)造了具有不同凹凸性、不同形狀的非線性隸屬度函數(shù),比較了它們對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,結(jié)果表明隸屬度函數(shù)影響多目標(biāo)模糊優(yōu)化結(jié)果的首要因素是隸屬度函數(shù)的凹凸性。

模糊理論; 探月返回跳躍軌跡; 多目標(biāo)優(yōu)化; 非線性隸屬度函數(shù)

0　引言

探月是人類(lèi)進(jìn)行的最為復(fù)雜的航天探索活動(dòng)之一。面對(duì)越來(lái)越復(fù)雜的航天任務(wù),人們總是希望能夠得到最優(yōu)的結(jié)果,然而,實(shí)際中希望最優(yōu)的目標(biāo)往往不止一個(gè)。對(duì)于探月返回艙,其再入速度大,飛行時(shí)間長(zhǎng),加熱量遠(yuǎn)大于近地軌道返回的飛船。另一方面,由于飛船為鈍頭體構(gòu)型,沒(méi)有氣動(dòng)舵面,為了減少姿態(tài)控制所需能量,通常要求飛船以最小的總控制量變化滿足控制需求。由于多個(gè)目標(biāo)之間存在的相互沖突和不可公度性使得最優(yōu)解并不存在[1]。傳統(tǒng)處理多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的方法多是采用加權(quán)求和將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,然而多目標(biāo)的不可公度性使得加權(quán)系數(shù)的選擇具有盲目性,無(wú)法反映決策者的偏好。

模糊理論是解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的有力工具之一。胡超芳[1]基于決策者滿意度的思想,利用模糊優(yōu)化方法對(duì)具有不同類(lèi)型偏好信息的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究。張旭[2]對(duì)多種類(lèi)型不明確決策偏好信息下多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的建模和求解方法進(jìn)行了研究和探討。Wang等[3]以模糊多目標(biāo)優(yōu)化的方法研究了航空器的航跡規(guī)劃,得到了較傳統(tǒng)方法更為有效的結(jié)果。Li等[4]應(yīng)用模糊多目標(biāo)優(yōu)化理論進(jìn)行了環(huán)境友好的鐵路規(guī)劃研究。Ghannadpour等[5]研究了具有模糊時(shí)間窗口的動(dòng)態(tài)車(chē)輛路線多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

探月返回軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究不乏其數(shù),但都針對(duì)單一目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),不能很好地反映實(shí)際決策需求。本文以模糊理論為基礎(chǔ),對(duì)探月返回軌跡進(jìn)行多目標(biāo)、多約束的優(yōu)化設(shè)計(jì),比較分析基于模糊理論的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)相對(duì)于傳統(tǒng)加權(quán)求和方法的優(yōu)越性。構(gòu)造不同的隸屬度函數(shù),分析隸屬度函數(shù)的選擇對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,總結(jié)影響優(yōu)化結(jié)果的隸屬度函數(shù)特征量。

1　問(wèn)題描述

1.1動(dòng)力學(xué)方程

假設(shè)地球?yàn)榫鶆驁A球體,考慮地球自轉(zhuǎn),則再入動(dòng)力學(xué)方程為:

(1)

(2)

(3)

Ω2rcosφ(sinγcosφ-cosγsinφcosψ)

(4)

(5)

(6)

(7)

飛行過(guò)程中,飛行器通過(guò)調(diào)整迎角使得飛行處于配平狀態(tài),避免沿飛行器軸向出現(xiàn)翻轉(zhuǎn),可以認(rèn)為迎角為馬赫數(shù)的已知函數(shù)。為了控制飛行器的飛行軌跡,必須通過(guò)滾轉(zhuǎn)使升力產(chǎn)生側(cè)向分量,因此控制飛行軌跡的關(guān)鍵在于如何控制傾側(cè)角σ。

1.2過(guò)程約束及終端約束

對(duì)于探月返回再入飛行器,再入速度比近地軌道再入速度更大,氣動(dòng)加熱更為嚴(yán)重,因此必須保證熱流不大于允許值。對(duì)于鈍頭體一般沒(méi)有氣動(dòng)控制面,因此不存在動(dòng)壓約束。過(guò)載是鈍頭體再入時(shí)需要考慮的重要約束,它與飛行器的結(jié)構(gòu)安全、設(shè)備完好以及乘員的生命健康息息相關(guān)。因此本文僅考慮過(guò)載和熱流約束:

(8)

對(duì)于小升阻比飛行器,軌跡的終端約束為開(kāi)傘點(diǎn)的高度、速度以及開(kāi)傘點(diǎn)的位置,其中開(kāi)傘點(diǎn)的高度與速度可以合并為開(kāi)傘點(diǎn)的能量[6],所以終端約束為:

(9)

1.3上下邊界約束

在飛行過(guò)程中飛船以配平迎角飛行,所以控制量為傾側(cè)角。由于引入了虛擬控制量uσ,通過(guò)直接控制uσ的變化來(lái)達(dá)到控制傾側(cè)角σ的目的,因此可以認(rèn)為σ為狀態(tài)量,uσ為控制量,則對(duì)傾側(cè)角及虛擬控制量的約束為:

(10)

1.4性能指標(biāo)

由于飛船為鈍頭體構(gòu)型,沒(méi)有氣動(dòng)舵面,為了減少姿態(tài)控制所需能量,通常要求飛船以最小的總控制量變化滿足控制需求,即:

(11)

如前所述,再入過(guò)程中的吸熱量應(yīng)盡可能小,因此其中另一個(gè)性能指標(biāo)為:

(12)

1.5多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

為了便于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的描述,令狀態(tài)向量x(t)=[r,θ,φ,V,γ,ψ,uσ]T,控制量u(t)=uσ,則動(dòng)力學(xué)方程可記為:

(13)

路徑約束式(8)記為:

(14)

終端約束式(9)記為:

(15)

上下邊界約束式(10)記為:

(16)

(17)

目標(biāo)向量定義為:

(18)

則多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以描述為:尋求控制變量u(t),使得目標(biāo)向量J達(dá)到最小,即分別使J1,J2,…,Jn達(dá)到最小,同時(shí)滿足約束式(13)～式(17)。

通常情況下,使J1,J2,…,Jn都達(dá)到最優(yōu)的絕對(duì)最優(yōu)解是不存在的,只能求得Pareto最優(yōu)解。如何從眾多的Pareto解中根據(jù)決策者的需求找出唯一的一個(gè)解是多目標(biāo)優(yōu)化的關(guān)鍵。根據(jù)決策者的偏好,不同的目標(biāo)給予不同的權(quán)重,即:

(19)

把多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。但是由于多目標(biāo)的不可公度性,使得權(quán)系數(shù)難以選擇,導(dǎo)致權(quán)系數(shù)不能反映決策者的偏好。而通過(guò)模糊理論,用隸屬度函數(shù)來(lái)反映決策者對(duì)目標(biāo)的滿意程度,把目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)求和轉(zhuǎn)化為關(guān)于隸屬度函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,可以很好地解決直接加權(quán)求和方法的不足:

(20)

式中:μ1(x),…,μn(x)為模糊集的隸屬度函數(shù)。

2　模糊理論與目標(biāo)模糊化

首先用隸屬度函數(shù)描述決策者對(duì)目標(biāo)的滿意度,隸屬度函數(shù)的值越大,滿意度越高,反之亦然;然后根據(jù)對(duì)不同目標(biāo)的滿意度要求不同而賦予不同的權(quán)值。最為常用的隸屬度函數(shù)為線性隸屬度函數(shù),對(duì)于極小化問(wèn)題,線性隸屬度函數(shù)可以表示為[7]:

(21)

第i個(gè)模糊目標(biāo)集可表示為:

(22)

將目標(biāo)函數(shù)模糊化后,就可以構(gòu)造模糊判決。模糊判決的模型有對(duì)稱模型、加權(quán)模型、幾何平均模型和非對(duì)稱模型[8]。由于加權(quán)模型可以根據(jù)決策者的需要,突出重要目標(biāo),更具靈活性,因此本文采用加權(quán)模型來(lái)構(gòu)造模糊判決。即:

(23)

(24)

(25)

3　隸屬度函數(shù)

對(duì)于最大化和最小化問(wèn)題,當(dāng)隸屬度函數(shù)的值在區(qū)間(0,1)變化時(shí)通常是嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減的,即要么目標(biāo)值越大滿意度越高,要么目標(biāo)值越小滿意度越高。因此有:

(26)

對(duì)于同一多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,隸屬度函數(shù)的單調(diào)性是確定的。但是當(dāng)選取不同的隸屬度函數(shù)時(shí),它們的凹凸性是不同的。為了研究隸屬度函數(shù)的選取對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,本文構(gòu)造了具有不同凹凸性質(zhì)的隸屬度函數(shù),分別進(jìn)行計(jì)算對(duì)比。令:

(27)

為了表述方便,本文只列出隸屬函數(shù)在區(qū)間(Jimin,Jimax]的表達(dá)式。

冪函數(shù):

(28)

指數(shù)函數(shù):

(29)

對(duì)數(shù)函數(shù):

(30)

反三角函數(shù):

(31)

多項(xiàng)式:

(32)

(33)

4　仿真分析

4.1飛行器模型與再入條件

本文采用的飛行器質(zhì)量為8 382 kg,再入時(shí)以配平迎角飛行。飛行過(guò)程中最大傾側(cè)角速率為20 (°)/s,過(guò)載的最大值不超過(guò)10,最大熱流不超過(guò)150 W/cm2[9]。初始狀態(tài)和終端約束如表1所示。

表1　初始狀態(tài)和終端約束

4.2模糊多目標(biāo)軌跡優(yōu)化

為了與傳統(tǒng)直接加權(quán)求和方法作對(duì)比,針對(duì)優(yōu)化目標(biāo)式(11)和式(12),定義加權(quán)目標(biāo)函數(shù)如下:

(34)

式中:ω=0.1, 0.5, 0.9(當(dāng)ω=0.1時(shí)，表明目標(biāo)最小吸熱量比最小總控制量變化更重要;ω=0.9時(shí)正好相反;ω=0.5時(shí)，表明二者的重要性相同)。模糊優(yōu)化的目標(biāo)為模糊判決的隸屬度函數(shù)式(24),即:

(35)

權(quán)重系數(shù)的選擇與直接加權(quán)求和的權(quán)系數(shù)相同,便于對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較。隸屬度函數(shù)采用簡(jiǎn)單的線性隸屬度函數(shù)。

圖1為直接加權(quán)求和方法與模糊優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果的高度剖面的對(duì)比?？梢钥闯?直接加權(quán)求和方法并不能準(zhǔn)確反映決策者的偏好,當(dāng)ω變化時(shí),高度剖面幾乎沒(méi)有變化或變化很小;而模糊優(yōu)化方法的結(jié)果隨著決策者的偏好不同而出現(xiàn)了明顯的改變,反映了決策者的偏好對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

圖2給出了兩種不同方法下優(yōu)化結(jié)果傾側(cè)角的變化規(guī)律。可以看出:直接加權(quán)求和方法得到的傾側(cè)角變化并沒(méi)有呈現(xiàn)一定的漸變性,并且傾側(cè)角的劇烈變化并沒(méi)有引起其他量的相應(yīng)變化;ω越大,傾側(cè)角的變化越趨于平緩,越有利于減小總控制量的變化,體現(xiàn)了較大的ω對(duì)總控制量變化最小的偏好。

圖2　不同權(quán)重下優(yōu)化結(jié)果傾側(cè)角剖面對(duì)比Fig.2　Comparison between the bank-angle profiles of optimized results at different weights

圖3給出了兩種方法下目標(biāo)函數(shù)和子目標(biāo)函數(shù)隨權(quán)重系數(shù)變化的影響結(jié)果?？梢钥闯?直接加權(quán)求和方法中的權(quán)系數(shù)對(duì)子目標(biāo)的影響非常小,權(quán)系數(shù)幾乎不能起到調(diào)節(jié)子目標(biāo)的作用。當(dāng)較大子目標(biāo)占的比例越來(lái)越小(重要性越來(lái)越低)時(shí),加權(quán)求和目標(biāo)函數(shù)幾乎呈線性減小,而子目標(biāo)卻基本保持不變。相反地,模糊優(yōu)化方法中模糊判決的隸屬度函數(shù)僅在小范圍平緩變化,而子目標(biāo)的隸屬度函數(shù)隨著其對(duì)應(yīng)權(quán)值的變化而發(fā)生明顯的改變。權(quán)值增大則子目標(biāo)對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)增大,權(quán)值減小則子目標(biāo)對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)減小,權(quán)值(或決策者偏好)對(duì)子目標(biāo)的調(diào)節(jié)作用再一次得到了驗(yàn)證。

圖3　兩種方法權(quán)重對(duì)最優(yōu)目標(biāo)的影響結(jié)果Fig.3　Effect of the weight methods on the optimum objective

4.3隸屬度函數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

按照非線性隸屬度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的不同,可以將隸屬度函數(shù)分為凸隸屬度函數(shù)(p<0)和凹隸屬度函數(shù)(p>0)。同一組的隸屬度函數(shù)具有相同的形狀,并且關(guān)于直線μ=z對(duì)稱,具有不同的凹凸性。

圖4給出了采用不同組別(即不同形狀)的隸屬度函數(shù)所求得的優(yōu)化結(jié)果?？梢钥闯?對(duì)于具有不同形狀但凹凸性相同的隸屬度函數(shù),其優(yōu)化結(jié)果相差不大;但是,對(duì)于即使形狀完全相同而凹凸性不相同的隸屬度函數(shù),其優(yōu)化結(jié)果具有很大不同。因此,隸屬度函數(shù)的凹凸性是影響優(yōu)化結(jié)果的一個(gè)重要因素,而隸屬度函數(shù)的形狀對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響不大。

圖4　不同組別隸屬度函數(shù)優(yōu)化結(jié)果分布Fig.4　Distribution of the results of different groups

圖5為不同組別隸屬度函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果。可以看出,不同形狀的優(yōu)化結(jié)果幾乎處于同一直線上,即不同形狀隸屬度函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果是近似線性相關(guān)的,進(jìn)一步證明了隸屬度函數(shù)的形狀對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響是很小的。

圖5　不同組別隸屬度函數(shù)優(yōu)化結(jié)果Fig.5　Optimization results of the member function in different groups

5　結(jié)束語(yǔ)

本文研究了探月返回跳躍軌跡的多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,應(yīng)用模糊理論將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,并分析了不同非線性隸屬度函數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。研究結(jié)果表明,多目標(biāo)模糊優(yōu)化更能體現(xiàn)決策者的偏好,適合于探月返回軌跡的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì),并且影響模糊優(yōu)化結(jié)果的首要因素是隸屬度函數(shù)的凹凸性,而隸屬度函數(shù)的形狀對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響不大。研究結(jié)果對(duì)探月返回軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值和指導(dǎo)意義。

[1]胡超芳.基于決策者滿意度的多目標(biāo)模糊優(yōu)化算法研究[D].上海:上海交通大學(xué),2007.

[2]張旭.決策信息不明確的多目標(biāo)模糊優(yōu)化模型與方法[D].大連:大連理工大學(xué),2009.

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[4]Li X,Wang D C,Li K P,et al.A green train scheduling model and fuzzy multi-objective optimization algorithm[J].Applied Mathematical Modelling,2013,37(4):2063-2073.

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[8]鄧斌,黃洪鐘,王金諾.多目標(biāo)模糊優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型及其求解原理和方法[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究,1996(1):8-13.

[9]Brunner C W.Skip entry trajectory planning and guidance[D].Iowa:Iowa State University,2008.

(編輯：崔立峰)

Fuzzy theory based multi-objective optimization of lunar return skip trajectories

ZHANG Bo1,2, TANG Shuo1,2, PAN Bin-feng1,2

(1.School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2.National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi’an 710072, China)

A fuzzy theory based multi-objective optimization method was proposed for the lunar return skip trajectory design and analysis,and the effect of nonlinear member functions of fuzzy sets on the optimization results was investigated. The optimization problem was converted to a nonlinear programming problem. Then each sub-objective was fuzzed to obtain the fuzzy decision set and its member function. Thus,the original multi-objective optimization problem was converted to a single-objective optimization problem which maximizes weighted sums of the member functions. The optimization results demonstrate that the proposed method can well show the preference of the decision maker. Nonlinear member functions with various shape and different concavity and convexity were constructed to investigate the main factor that affected the optimization results,and the results show that the concavity and convexity of member functions have much larger effect on the optimization than that of the shape.

fuzzy theory; lunar return skip trajectories; multi-objective optimization; nonlinear member function

2015-12-17;

2016-04-18; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2016-05-18 13:49

張勃(1988-)，男，陜西商洛人，博士研究生，研究方向?yàn)轱w行器軌跡規(guī)劃與制導(dǎo)。

V412.4

A

1002-0853(2016)05-0059-05