基于微分變化構(gòu)造法的數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償方法

齊繼寶　楊偉民

(1.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 紹興 312000； 2.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電信息分院, 義烏 322000)

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基于微分變化構(gòu)造法的數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償方法

齊繼寶1楊偉民2

(1.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 紹興 312000； 2.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電信息分院, 義烏 322000)

為了使得機(jī)床誤差建模與補(bǔ)償過程緊密聯(lián)系，同時(shí)避免雅可比矩陣繁瑣的計(jì)算，提出一種基于微分變化構(gòu)造法的機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償方法。根據(jù)坐標(biāo)系微分變化矩陣建立機(jī)床幾何誤差模型?；跈C(jī)床正向運(yùn)動(dòng)鏈順序建立各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸微分變化矩陣，結(jié)合各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差對(duì)應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)矢量計(jì)算得到運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差對(duì)刀具精度影響，相加得到刀具坐標(biāo)下的綜合微分變化矩陣，通過機(jī)床正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型將刀具綜合誤差轉(zhuǎn)換到工作臺(tái)坐標(biāo)系下得到機(jī)床刀具位置誤差。采用微分變化構(gòu)造法提取各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸微分變化矩陣相應(yīng)子矩陣構(gòu)造得到機(jī)床雅可比矩陣，計(jì)算刀具坐標(biāo)系綜合誤差對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)軸補(bǔ)償量得到機(jī)床補(bǔ)償加工代碼，微分變化構(gòu)造法無需額外計(jì)算，且重新使用建模過程建立的矩陣。在北京精雕Carver800T加工中心進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，補(bǔ)償后工件總誤差降低了30%左右，驗(yàn)證了基于微分變化構(gòu)造法的幾何誤差補(bǔ)償方法的有效性。

數(shù)控機(jī)床； 幾何誤差； 誤差補(bǔ)償； 微分變化構(gòu)造法； 雅可比矩陣

引言

隨著制造業(yè)的快速發(fā)展，機(jī)床在工業(yè)發(fā)展中起到的作用越來越明顯，同時(shí)對(duì)機(jī)床精度的要求也越來越高。幾何誤差是影響機(jī)床精度的主要誤差源之一[1]，對(duì)幾何誤差進(jìn)行建模和補(bǔ)償是提高機(jī)床精度經(jīng)濟(jì)有效的措施之一[2]。目前，基于多體理論采用齊次變換矩陣對(duì)幾何誤差進(jìn)行表示是數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模常用方法之一，該方法通過機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立各個(gè)部件局部坐標(biāo)系，根據(jù)多體系統(tǒng)理論建立相應(yīng)的齊次變換矩陣，通過矩陣相乘得到機(jī)床綜合幾何誤差模型[3-5]。JUNG等[6]通過多體理論對(duì)機(jī)床誤差項(xiàng)影響進(jìn)行分析，并通過多項(xiàng)式表示誤差項(xiàng)，建立數(shù)控機(jī)床參數(shù)化誤差模型，為機(jī)床誤差補(bǔ)償提供了基礎(chǔ)。指數(shù)積理論在數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模中也得到了應(yīng)用，F(xiàn)U等[7-8]采用旋量對(duì)機(jī)床各個(gè)部件誤差項(xiàng)進(jìn)行表達(dá)，結(jié)合機(jī)床詳細(xì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通過旋轉(zhuǎn)指數(shù)積矩陣相乘建立機(jī)床綜合指數(shù)積誤差模型。文獻(xiàn)[9-10]在建立的幾何誤差模型基礎(chǔ)上采用相應(yīng)的誤差補(bǔ)償方法來提高機(jī)床加工精度。NOJEDEH等[11]通過對(duì)機(jī)床工作空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用三次樣條插值得到工作空間網(wǎng)格的綜合誤差值，采用遞歸循環(huán)方法進(jìn)行補(bǔ)償。PENG等[12]采用全微分方法通過機(jī)床后處理程序?qū)崿F(xiàn)幾何誤差補(bǔ)償，全微分方法避免了反向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的繁瑣計(jì)算。在誤差補(bǔ)償方法中，機(jī)床雅可比矩陣是常用的計(jì)算機(jī)床補(bǔ)償量的手段[13]。LEI等[14]依據(jù)機(jī)床正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程采用偏微分計(jì)算方法得到機(jī)床雅可比矩陣，然后得到機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)給量微變化與機(jī)床綜合誤差之間的關(guān)系。MIR等[15]結(jié)合剛體齊次變換矩陣的傳輸矩陣建立了機(jī)床靈敏雅可比矩陣，對(duì)機(jī)床進(jìn)行靈敏度分析。在此基礎(chǔ)上，GIVI等[16]采用建立的機(jī)床雅可比矩陣對(duì)機(jī)床綜合幾何誤差進(jìn)行補(bǔ)償，結(jié)合Gauss-Newton方法保證補(bǔ)償精度。

傳統(tǒng)的雅可比矩陣計(jì)算方法需要采用偏微分，而且存在奇異性問題。另外，在誤差補(bǔ)償過程中建立雅可比矩陣時(shí)大多方法與建模過程脫節(jié)，增加了整個(gè)過程的計(jì)算量。在機(jī)器人學(xué)中，雅可比矩陣的建立方法主要有矢量積分法和微分變化構(gòu)造法。其中微分變化構(gòu)造法與各個(gè)部件的運(yùn)動(dòng)齊次變換矩陣密切相關(guān)，應(yīng)用于機(jī)床幾何誤差建模與補(bǔ)償中可使建模與補(bǔ)償緊密聯(lián)系。本文提出一種基于微分變化構(gòu)造法的數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償方法，通過微分變化構(gòu)造法得到機(jī)床雅可比矩陣來實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償。首先介紹機(jī)床微分變化矩陣和微分變化構(gòu)造法，其次根據(jù)機(jī)床微分變化矩陣建立幾何誤差模型，接著采用微分變化構(gòu)造法建立雅可比矩陣實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償，最后通過工件加工實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證提出的補(bǔ)償方法的正確性。

1　微分變化構(gòu)造法

1.1坐標(biāo)系的微分變化

剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)包括微分平移矢量和微分旋轉(zhuǎn)矢量。微分平移由坐標(biāo)系在3個(gè)坐標(biāo)軸方向上的微分移動(dòng)組成，可表示為δ；微分旋轉(zhuǎn)由繞3個(gè)坐標(biāo)軸的微分轉(zhuǎn)動(dòng)組成，可表示為ε。微分平移矢量和微分旋轉(zhuǎn)矢量分別表示為

(1)

則坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量可表示為

(2)

2個(gè)坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)矢量的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以通過一個(gè)6×6的矩陣表示，這個(gè)矩陣可稱為坐標(biāo)系的微分變化矩陣。微分變化矩陣通過2個(gè)坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣建立。如果坐標(biāo)系a相對(duì)于坐標(biāo)系b的齊次變換矩陣為

(3)

則2個(gè)坐標(biāo)系之間的微分變化矩陣[17]表示為

(4)

(P×)——向量P的反對(duì)稱矩陣

O——零矩陣

則2個(gè)坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)矢量的坐標(biāo)變換為

即

(5)

式(5)描述了坐標(biāo)系a的微分運(yùn)動(dòng)矢量在坐標(biāo)系b上的表示形式，同時(shí)也可表示坐標(biāo)系a的微分運(yùn)動(dòng)對(duì)坐標(biāo)系b造成的影響。

1.2雅可比矩陣的微分變化構(gòu)造法

構(gòu)造雅可比矩陣的方法有矢量積分法和微分變化法，雅可比矩陣可看成各個(gè)坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即

D=J(q)dq

(6)

n個(gè)自由度機(jī)器人的雅可比矩陣為6×n階矩陣，前3行為位置雅可比矩陣，表示微分平移運(yùn)動(dòng)的傳遞，后3行為姿態(tài)雅可比矩陣，表示微分旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的傳遞。

(7)

采用微分變化法構(gòu)造雅可比矩陣時(shí)，移動(dòng)關(guān)節(jié)提取該關(guān)節(jié)微分變化矩陣的第3列，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)提取相應(yīng)微分變化矩陣的第6列，相應(yīng)的表達(dá)式為

(8)

機(jī)器人在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模時(shí)，移動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)楸旧砭植孔鴺?biāo)系的z方向，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)楸旧碜鴺?biāo)系的z方向，所以采用式(7)來構(gòu)造雅可比矩陣。當(dāng)應(yīng)用到機(jī)床誤差建模領(lǐng)域時(shí)，應(yīng)當(dāng)結(jié)合各個(gè)部件運(yùn)動(dòng)方向來提取相應(yīng)的列向量構(gòu)造雅可比矩陣。

2　機(jī)床幾何誤差模型

坐標(biāo)系微分變化矩陣可以描述一個(gè)坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)對(duì)其它坐標(biāo)系的影響，數(shù)控機(jī)床每個(gè)部件的幾何誤差可認(rèn)為是其本身坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，則坐標(biāo)系微分變化矩陣可以用來得到機(jī)床各個(gè)部件幾何誤差對(duì)機(jī)床精度的影響，從而建立機(jī)床幾何誤差模型。下面以XFYZ型三軸數(shù)控機(jī)床為例，詳細(xì)闡述采用坐標(biāo)系微分變化矩陣的機(jī)床幾何誤差建模過程。

2.1機(jī)床微分變化矩陣

建立機(jī)床微分變化矩陣的基礎(chǔ)是得到坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，而機(jī)床幾何誤差建模目的是得到機(jī)床刀具綜合誤差，所以首先應(yīng)當(dāng)根據(jù)機(jī)床正向運(yùn)動(dòng)鏈建立刀具與各個(gè)坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣。XFYZ型數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)如圖1a所示，相應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1b所示。機(jī)床從工作臺(tái)到刀具的開環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈運(yùn)動(dòng)傳遞順序?yàn)椋汗ぷ髋_(tái)→X軸→床身→Y軸→Z軸→刀具。

圖1　XFYZ型數(shù)控加工中心結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1　Structure of XFYZ machining center

首先根據(jù)多體系統(tǒng)理論將機(jī)床各個(gè)部件視為剛體并建立各自局部坐標(biāo)系，為建立各個(gè)部件之間的運(yùn)動(dòng)變換關(guān)系奠定基礎(chǔ)。X軸相對(duì)于床身坐標(biāo)系的齊次變換矩陣、Y軸相對(duì)于床身坐標(biāo)系的齊次變換矩陣和Z軸相對(duì)于Y軸坐標(biāo)系的齊次變換矩陣分別表示為

則相應(yīng)的床身相對(duì)于X軸的齊次變換矩陣為相應(yīng)矩陣的逆矩陣，表示為

(9)

根據(jù)數(shù)控機(jī)床開環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈順序建立刀具相對(duì)于工作臺(tái)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為

(10)

(11)

根據(jù)式(4)和式(11)計(jì)算得到各個(gè)部件相對(duì)于刀具的微分變化矩陣。三軸數(shù)控機(jī)床中3個(gè)平動(dòng)軸相對(duì)于刀具的微分變化矩陣分別為

(12)

(13)

(14)

2.2誤差建模

三軸數(shù)控機(jī)床存在21項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)，包括每個(gè)平動(dòng)軸的6項(xiàng)基本誤差和平動(dòng)軸之間的3項(xiàng)垂直度誤差[7]。圖2所示為X軸6項(xiàng)基本幾何誤差，圖3所示為三軸數(shù)控機(jī)床垂直度誤差分布。其中δij表示j軸在i方向上的線性誤差，εij表示j軸在i方向上的角度誤差，Smn表示m軸和n軸之間的垂直度誤差。

圖2　X軸6項(xiàng)基本幾何誤差Fig.2　Six basic geometry errors of X-axis

圖3　三軸數(shù)控機(jī)床垂直度誤差分布圖Fig.3　Squareness errors of three-axis machine tool

每個(gè)運(yùn)動(dòng)軸的6項(xiàng)基本幾何誤差作為軸的微分運(yùn)動(dòng)，其中線性誤差作為微分平移運(yùn)動(dòng)，角度誤差相當(dāng)于微分旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則相應(yīng)的微分平移矢量、微分旋轉(zhuǎn)矢量和微分運(yùn)動(dòng)矢量表示為

(15)

垂直度誤差是機(jī)床幾何誤差項(xiàng)的重要組成部分，在誤差建模過程中垂直度誤差可視為相應(yīng)軸的對(duì)應(yīng)角度誤差的一部分[18]。那么垂直度誤差Sxy可視為X軸z方向角度誤差一部分，垂直度誤差Sxz可視為Z軸y方向角度誤差中的固定值，Syz可視為Z軸x方向角度誤差，所以Y軸和Z軸的微分運(yùn)動(dòng)矢量可表示為

(16)

將機(jī)床視為開環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈時(shí)，參考坐標(biāo)系建立在工作臺(tái)上，X軸位于機(jī)床床身和工作臺(tái)之間，幾何誤差項(xiàng)方向與測(cè)量時(shí)定義方向相反，所以X軸的微分運(yùn)動(dòng)矢量為

DX=(-δxx,-δyx,-δzx,-εxx,-εyx,-(εzx+Sxy))

(17)

數(shù)控機(jī)床床身和工作臺(tái)不存在幾何誤差，所以床身和工作臺(tái)的幾何誤差矢量可以表示為

DF=Dw=(0,0,0,0,0,0)

(18)

由各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸相對(duì)于刀具的微分變化矩陣可以計(jì)算得到各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸本身幾何誤差在刀具坐標(biāo)系下相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)矢量。將式(17)和式(12)代入式(5)可得到X軸幾何誤差項(xiàng)對(duì)刀具坐標(biāo)系的影響為

(19)

同樣地，可計(jì)算得到Y(jié)軸和Z軸幾何誤差項(xiàng)在刀具坐標(biāo)系下相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)矢量

(20)

(21)

將各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差項(xiàng)在刀具坐標(biāo)系下的微分運(yùn)動(dòng)矢量相加得到刀具坐標(biāo)系下機(jī)床綜合幾何誤差，相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)矢量為

(22)

為了得到刀具相對(duì)于工作臺(tái)坐標(biāo)系的綜合幾何誤差，將刀具在自身坐標(biāo)系下的綜合微分運(yùn)動(dòng)矢量變換到工作臺(tái)坐標(biāo)系下。采用的方法是將刀具綜合微分運(yùn)動(dòng)矢量轉(zhuǎn)換為綜合誤差變換矩陣，再根據(jù)機(jī)床正向運(yùn)動(dòng)學(xué)得到機(jī)床綜合誤差變換矩陣。

機(jī)床綜合誤差矩陣為機(jī)床實(shí)際齊次變換矩陣減去理想齊次變換矩陣，表示為

(23)

ΔTt——刀具在其本身坐標(biāo)系下的誤差矩陣，由刀具綜合微分運(yùn)動(dòng)矢量轉(zhuǎn)換得到

如果刀具綜合微分矢量表示形式為

則刀具在本身坐標(biāo)系下的誤差矩陣為

(24)

結(jié)合式(21)得到機(jī)床綜合誤差變換矩陣，在工作臺(tái)坐標(biāo)系下的綜合誤差可表示為

(25)

式中Pe——刀具位置誤差

Oe——刀具姿態(tài)誤差

因?yàn)槿S數(shù)控機(jī)床只有平動(dòng)軸而沒有旋轉(zhuǎn)軸，刀具姿態(tài)誤差無法進(jìn)行補(bǔ)償，這里不進(jìn)行考慮。三軸數(shù)控機(jī)床綜合誤差模型即為刀具綜合位置誤差。采用小角度近似假設(shè)并忽略二階及高階項(xiàng)誤差后， XFYZ型三軸數(shù)控機(jī)床的幾何誤差模型為

(26)

3　基于微分變化構(gòu)造法的機(jī)床誤差補(bǔ)償方法

雅可比矩陣是機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償?shù)某Ｓ檬侄沃?，傳統(tǒng)求解方法是根據(jù)機(jī)床正向運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行偏微分計(jì)算，計(jì)算繁瑣。另外，傳統(tǒng)誤差補(bǔ)償方法是針對(duì)刀具相對(duì)于工作臺(tái)的綜合誤差，這使得誤差建模過程與補(bǔ)償過程的關(guān)聯(lián)性不大，誤差補(bǔ)償只是根據(jù)誤差模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)償量的計(jì)算。而微分變化構(gòu)造法在建立雅可比矩陣過程中需要各個(gè)部件的微分變化矩陣，從而使得誤差建模過程中建立的各個(gè)部件相對(duì)于刀具的微分變化矩陣在誤差補(bǔ)償過程中重新使用，且無需額外的計(jì)算。同時(shí)，構(gòu)造的雅可比矩陣可針對(duì)刀具坐標(biāo)系下的綜合微分變化矢量進(jìn)行補(bǔ)償。

3.1雅可比矩陣構(gòu)造

三軸數(shù)控機(jī)床的雅可比矩陣為6×3階矩陣，雅可比矩陣表示末端執(zhí)行器速度與各個(gè)部件速度之間的線性關(guān)系，為

(27)

式中，JX、JY和JZ為X軸、Y軸和Z軸的雅可比子矩陣。在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過程中坐標(biāo)系定義規(guī)定移動(dòng)關(guān)節(jié)平移方向?yàn)楸旧碜鴺?biāo)系z(mì)方向，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)楸旧碜鴺?biāo)系z(mì)方向，所以提取相應(yīng)雅可比子矩陣時(shí)提取相應(yīng)微分變化矩陣z方向上的平移或旋轉(zhuǎn)列向量。在對(duì)機(jī)床進(jìn)行建模時(shí)，各個(gè)部件的局部坐標(biāo)系定義與機(jī)器人中的方法不同，各個(gè)局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向與機(jī)床相應(yīng)運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)方向相平行。另外，各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸在初始位置時(shí)，局部坐標(biāo)系原點(diǎn)位置與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)位置相同。因而三軸數(shù)控機(jī)床中X軸運(yùn)動(dòng)方向即為其局部坐標(biāo)系x方向，所以采用微分變化構(gòu)造法時(shí)應(yīng)提取X軸微分變化矩陣x方向的平動(dòng)列向量，即第1列。同樣地，Y軸對(duì)應(yīng)的雅可比子矩陣為其微分變化矩陣的第2列，Z軸雅可比子矩陣為其微分變化矩陣的第3列。由此機(jī)床雅可比矩陣表示為

(28)

由于誤差建模過程中已經(jīng)建立各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸的微分變化矩陣，雅可比矩陣的構(gòu)造過程無需額外計(jì)算，從而可降低補(bǔ)償過程中的計(jì)算量。

3.2補(bǔ)償代碼計(jì)算

式(28)中用來構(gòu)造雅可比矩陣的各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸微分變化矩陣均是相對(duì)于刀具坐標(biāo)系建立的，所以建立雅可比矩陣應(yīng)當(dāng)補(bǔ)償?shù)毒咦鴺?biāo)系下的綜合微分運(yùn)動(dòng)矢量。因?yàn)檠趴杀染仃嚥皇欠疥?，故采用pseudo-inverse偽逆技術(shù)求解逆矩陣。刀具坐標(biāo)系下綜合微分運(yùn)動(dòng)相應(yīng)的各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸修正量為

(29)

各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸理想運(yùn)動(dòng)量減去相應(yīng)的修正量得到補(bǔ)償后運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)量，表示為

(30)

圖5　X軸6項(xiàng)基本誤差Fig.5　Six basic errors of X-axis

在整個(gè)機(jī)床幾何誤差建模補(bǔ)償過程中，首先根據(jù)機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈順序得到各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸相對(duì)于刀具的微分變化矩陣，然后將各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差的微分運(yùn)動(dòng)矢量轉(zhuǎn)換到刀具坐標(biāo)系下得到綜合微分運(yùn)動(dòng)矢量，結(jié)合機(jī)床正向運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次變換矩陣可以得到工作臺(tái)坐標(biāo)系下的刀具位置誤差和姿態(tài)誤差。接著采用微分變化構(gòu)造法利用誤差建模過程中的微分變化矩陣得到機(jī)床雅可比矩陣，以減少計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償。基于微分變化構(gòu)造法的幾何誤差補(bǔ)償方法可以應(yīng)用于不同類型的數(shù)控機(jī)床。

4　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在北京精雕Carver800T加工中心上進(jìn)行工件切削實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證基于微分變化構(gòu)造法的幾何誤差補(bǔ)償方法的可行性。Carver800T加工中心為XFYZ型機(jī)床，機(jī)床結(jié)構(gòu)圖如圖1a所示。采用激光干涉儀(LDDM型)測(cè)量機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差。圖4所示為激光干涉儀測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)圖。圖5為測(cè)量得到的X軸6項(xiàng)基本幾何誤差圖，圖6為Y軸6項(xiàng)基本幾何誤差圖，圖7為Z軸6項(xiàng)基本幾何誤差圖。3個(gè)垂直度誤差分別為：Sxy=-57.78 μrad，Syz=-29.28 μrad，Sxz=48.99 μrad。根據(jù)基于微分變化構(gòu)造法中建立的誤差模型和補(bǔ)償方法對(duì)工件加工代碼進(jìn)行補(bǔ)償，然后分別用理想加工代碼和補(bǔ)償加工代碼進(jìn)行實(shí)際切削，并用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)測(cè)量的2個(gè)工件誤差進(jìn)行比較。具體的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證如下。

圖4　激光干涉儀測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)圖Fig.4　Error measurement using LDDM

圖6　Y軸6項(xiàng)基本誤差Fig.6　Six basic errors of Y-axis

機(jī)床加工工件的精度可以反映機(jī)床本身的精度。選擇一個(gè)碗狀NURBS自由曲面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，圖8a為曲面形狀，尺寸為80 mm×80 mm，高度為13.8 mm。圖8b為加工工件形狀。理想加工路徑根據(jù)等殘高法采用半徑為3 mm的球頭刀生成。根據(jù)建立的幾何誤差模型計(jì)算加工代碼對(duì)應(yīng)的刀具坐標(biāo)系下綜合微分運(yùn)動(dòng)以及工件坐標(biāo)系下的刀具位置誤差。根據(jù)微分變化構(gòu)造法得到機(jī)床雅可比矩陣計(jì)算每條加工代碼對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償代碼，從而得到整個(gè)工件的補(bǔ)償加工代碼。

圖8　加工工件模型Fig.8　Model of workpiece

圖9　工件加工現(xiàn)場(chǎng)Fig.9　Picture of workpiece machining

分別用理想加工代碼和補(bǔ)償加工代碼在機(jī)床上進(jìn)行工件加工，然后在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上分別測(cè)量2個(gè)工件的誤差。選擇工件自由曲面上均勻分布的100個(gè)點(diǎn)作為測(cè)量點(diǎn)。圖9所示為工件加工現(xiàn)場(chǎng)圖。圖10所示為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)誤差測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)圖。影響工件加工精度的因素有很多，包括機(jī)床幾何誤差、熱誤差、切削力誤差等，而幾何誤差只是其中一部分。另外，加工路徑生成策略、刀具磨損、加工環(huán)境等也會(huì)影響工件加工精度。而在進(jìn)行不同的工件切削實(shí)驗(yàn)時(shí)很難保證所有的影響因素不變，所以這里只是通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量工件綜合誤差來驗(yàn)證提出的誤差補(bǔ)償方法。圖11所示為2個(gè)工件總線性誤差比較圖。經(jīng)過補(bǔ)償?shù)墓ぜ`差小于未補(bǔ)償工件曲面。經(jīng)過補(bǔ)償后工件總誤差大約降低了30%。結(jié)果表明采用補(bǔ)償代碼加工的工件精度高于采用理想代碼加工的工件，所以實(shí)驗(yàn)表明基于微分變化構(gòu)造法的機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償方法可以有效地提高數(shù)控機(jī)床精度。

圖10　三坐標(biāo)測(cè)量工件誤差Fig.10　Error of workpiece measurement using three coordinates

圖11　補(bǔ)償與未補(bǔ)償工件總線性誤差比較Fig.11　Total errors of two workpieces with/without compensation

5　結(jié)束語

采用微分變化法構(gòu)造機(jī)床雅可比矩陣來實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償，坐標(biāo)系微分變化矩陣能夠得到2個(gè)坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立的誤差模型可以反映各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差對(duì)機(jī)床精度影響，而且微分變化構(gòu)造法將誤差建模與補(bǔ)償過程緊密聯(lián)系，降低了補(bǔ)償過程的計(jì)算量。首先根據(jù)機(jī)床正向運(yùn)動(dòng)學(xué)建立各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸相對(duì)于刀具的微分變化矩陣，結(jié)合各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差項(xiàng)性質(zhì)建立相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)矢量，然后計(jì)算得到各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差在刀具坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)矢量，通過簡(jiǎn)單相加得到刀具坐標(biāo)系的綜合微分運(yùn)動(dòng)矢量。接著根據(jù)機(jī)床刀具相對(duì)于工作臺(tái)的齊次運(yùn)動(dòng)矩陣將刀具綜合微分運(yùn)動(dòng)矢量轉(zhuǎn)換到工作臺(tái)坐標(biāo)系得到機(jī)床刀具位置誤差。根據(jù)各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸的微分變化矩陣采用微分變化構(gòu)造法建立機(jī)床雅可比矩陣，對(duì)刀具坐標(biāo)系下綜合微分運(yùn)動(dòng)矢量進(jìn)行補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償。最后在北京精雕Carver800T加工中心進(jìn)行工件切削實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過補(bǔ)償后工件總誤差降低了30%左右，表明提出的幾何誤差建模和補(bǔ)償方法可以有效地提高機(jī)床精度。

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Differential Change Construction Based Geometric Error Compensation for Machine Tools

Qi Jibao1Yang Weimin2

(1.ZhejiangIndustryPolytechnicCollege,Shaoxing312000,China2.SchoolofElectromechanicalEngineeringandInformationTechnology,YiwuIndustrial&CommercialCollege,Yiwu322000,China)

In order to make error compensation of machine tools relate to error modeling closely, and to avoid the tedious calculation of Jacobian matrix, a geometric error compensation method of machine tools based on differential change construction was proposed. At first, geometric error modeling of machine tools was developed using differential change matrices of coordinate frames. According to the forward kinematic chain of the machine tool, differential change matrix of each axis was established. The differential motion vector of each axis was obtained according to the properties of geometric errors. On the basis, the impacts of geometric errors of each axis on the precision of the tool were calculated. The integrated differential motion vector in the coordinate frame of tool was obtained by adding these impacts together. Then, based on homogeneous motion matrix of forward kinematics chain of the machine tool, the integrated geometric error model of the machine tool was established by transforming the integrated differential motion vector to coordinate frame of the working table. Next, the differential change construction was used to extract the corresponding column vector of differential change matrix of each axis to establish Jacobian matrix of the machine tool. The Jacobian matrix can compensate the integrated differential motion vector in the coordinated frame of tool. The differential change construction does not need extra calculation, and reuses the differential change matrices established in modeling. At last, the workpiece cutting experiments were carried out on Carver800T three-axis machine tool. The results show that the geometric error compensation based on differential change construction is effective.

machine tool; geometric errors; error compensation; differential change construction; Jacobian matrix

10.6041/j.issn.1000-1298.2016.09.053

2016-04-20

2016-06-18

浙江省重大科技專項(xiàng)(2013C01144)、浙江省教育廳科研項(xiàng)目(Y201533896)和紹興市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2014B70018)

齊繼寶(1977—)，男，講師，主要從事數(shù)控設(shè)備與裝備智能化研究，E-mail： qichina2008@163.com

TH161

A

1000-1298(2016)09-0398-08