數(shù)學(xué)建模思想之2016年數(shù)學(xué)高考乙卷解析幾何分析與展望*

廣州市執(zhí)信中學(xué)（510080） 盧光

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數(shù)學(xué)建模思想之2016年數(shù)學(xué)高考乙卷解析幾何分析與展望*

廣州市執(zhí)信中學(xué)（510080） 盧光

廣東省高考今年使用全國卷進(jìn)行人才選拔，對于廣東考生而言，使用全國卷意味著機(jī)遇，也意味著教育教學(xué)改革的進(jìn)一步深化，對高考數(shù)學(xué)乙卷就需要一個(gè)全面的剖析與解讀，本文從高考數(shù)學(xué)乙卷的解析幾何主觀題用數(shù)學(xué)建模的思想進(jìn)行研究分析，并展望2017年高考在數(shù)學(xué)改革上我們要做出怎樣的努力.

一.全國卷與以往廣東卷解析幾何主觀題的對比

1.2016全國數(shù)學(xué)I解析幾何考題

數(shù)學(xué)I卷文科第20題（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l∶y=t（t?=0）交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C∶y2=2px（p＞0）于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON，并延長交C于點(diǎn)H.

（II）除H以外，直線NH與C是否有其它公共點(diǎn)？并說明理由.

圖1　

數(shù)學(xué)I卷理科地20題（本小題滿分12分）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡方程為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，求過B且與l垂直的直線與圓交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

2.知識內(nèi)容與技巧方法分析

（1）主要考察內(nèi)容全國卷與以往廣東卷在解析幾何的內(nèi)容考察上基本一致，可以從考察的模型角度來看，主要有分類討論模型、數(shù)形結(jié)合模型、參數(shù)模型、最值模型、函數(shù)模型、不等式模型、平面幾何模型、解析幾何特殊性模型、歸納模型等等.

（2）考察的描述方式（側(cè)重點(diǎn)）縱觀高考題，不難發(fā)現(xiàn)解析幾何題悄然成了許多省份的壓軸題之一.解析幾何橫跨代數(shù)和幾何，很大程度上考察了學(xué)生的思維和運(yùn)算能力.解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此它的基本特征就是數(shù)形結(jié)合.基本方法是建立方程（組），通過方程來研究幾何性質(zhì).因此從幾何入手，從代數(shù)著力，是它的基本方向.建立方程，解方程，就需要做好引參，用參，消參工作.解析幾何解題思路或從幾何關(guān)系入手，或把幾何關(guān)系坐標(biāo)化，方程化，從代數(shù)入手.廣東卷中解析幾何主觀題中大多以數(shù)的模型入手，而全國卷的解析幾何更多是平面圖形模型的入手形式，在描述方式上也存在差異，對廣東學(xué)生而言，較為熟悉的是廣東卷的入手模式，對于圖形的復(fù)雜度描述的方式會(huì)對其思考造成一定的困難.

3.難易程度與運(yùn)算強(qiáng)度分析

從技巧方式上來看，廣東卷與全國卷存在差異，廣東卷解析幾何題中方向的選擇清晰，對圖形的描述簡單，容易匹配相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行建模，但運(yùn)算強(qiáng)度較大，在建模過程中運(yùn)算細(xì)節(jié)對應(yīng)模型的處理較難，絕大多數(shù)學(xué)生總會(huì)在數(shù)據(jù)處理上遇到過不去的坎.相對今年全國卷而言，更側(cè)重于思維的跳躍和思考，對圖形的描述復(fù)雜，圖形模型的抽象程度要高，從學(xué)生的角度來看，通過圖形觀察，尋找量與量之間關(guān)系的思維強(qiáng)度增加，對模型的抽象度要求更高，因此模型的匹配要經(jīng)歷思維跳躍的過程，不太容易入手，但從過程來看，結(jié)構(gòu)化與模型化的思想得到進(jìn)一步體現(xiàn)，相對廣東卷而言運(yùn)算量略少.

二.解析幾何題目對考生的能力要求

1.強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合能力從評分標(biāo)準(zhǔn)中的給分點(diǎn)，我們看出在解析幾何上非常注重思維邏輯方向與模型化思想和特殊性模型匹配，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的精確性與思維品質(zhì).把常規(guī)的方法與數(shù)學(xué)模型巧妙地體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想上，把解析幾何的本質(zhì)體現(xiàn)得淋漓盡致，例在文科第一問的引參，用參，消參上的數(shù)的應(yīng)用，理科第一問強(qiáng)調(diào)了數(shù)服務(wù)于形，體現(xiàn)了形缺了數(shù)就少精確，數(shù)沒有形則無直觀.通過數(shù)的精確運(yùn)算使得邏輯非常通達(dá).文科與理科第二問在第一問的基礎(chǔ)上強(qiáng)化了數(shù)的重要性，強(qiáng)調(diào)了用數(shù)來解決形的問題，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)了數(shù)的靈活性的數(shù)學(xué)思想.

2.從出現(xiàn)的錯(cuò)誤看考生的能力的缺失以下是分別對文科和理科各自抽取500份和800份問題答卷進(jìn)行的典型錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)，其中抽樣試卷的第20題的得分均在1—11分之間.

文科考生的典型錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)

理科考生的典型錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)

從此數(shù)據(jù)來看，可以歸納出在解析幾何上有這么幾類問題：

（1）公式、概念不熟悉，表現(xiàn)為點(diǎn)的坐標(biāo)弄反了，直線的截距式出錯(cuò)等

（2）時(shí)間不夠?qū)е碌氖д`率增加，例抄錯(cuò)數(shù)、忘開方等

（3）運(yùn)算能力不足，在大方向準(zhǔn)確的前提下出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤比比皆是.

（5）模型對應(yīng)匹配錯(cuò)誤，例：圖像表述的模型與數(shù)的模型對應(yīng)不上

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（6）缺乏嚴(yán)密的邏輯思維，表現(xiàn)為理科中沒有關(guān)注到y(tǒng)?=0的情況和對斜率存在與否進(jìn)行分類討論.

（7）閱讀理解問題的困難.表現(xiàn)在讀題后，一是找不到入手的點(diǎn)，二是不理解表述的問題與研究解決的問題.

3.每種方法對學(xué)生建模思想的考察，對思維生成性性質(zhì)的動(dòng)態(tài)考察

對于文理科的解析幾何而言，此次的題目出得非常好，相應(yīng)從各個(gè)角度出發(fā)都有相應(yīng)的方法和模型解決這個(gè)問題，而且思維的強(qiáng)度上基本一致，有利于考察學(xué)生思維的多樣性，有利于考察學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的思維品質(zhì).

從整體思維來看，文科考察的是從數(shù)入形，用解析幾何的基本方向與基本方法解決此建模過程，所使用的模型是數(shù)形結(jié)合的模型，側(cè)重于數(shù)描述形的方式，第一問中使用的是用參數(shù)表示點(diǎn)，表示線，通過消元消參建模過程使得問題得以解決，第二問中，直接匹配了含參的方程模型對問題進(jìn)行建模，以平時(shí)常規(guī)的方法求解問題.

對于理科，第一問是平面幾何模型的應(yīng)用，通過平面幾何的知識對問題進(jìn)行入手，從稍稍復(fù)雜的圖形中去發(fā)現(xiàn)線段與線段的關(guān)系進(jìn)行模型建構(gòu)去求解比值問題，學(xué)生在研究學(xué)習(xí)解析幾何模型時(shí)較少通過這種方式解決問題，因此在模型觸發(fā)和匹配上無法快速應(yīng)用分析，從思維方式上看對學(xué)生的抽象、分析、觀察、歸納能力有很好的導(dǎo)向與促進(jìn)作用，反映出理科數(shù)學(xué)對學(xué)生要求的靈活性，主要體現(xiàn)在分析匹配模型上.強(qiáng)化了對概念定義的理解應(yīng)用考察.第二問主要是在第一問的基礎(chǔ)上進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)表示形的功能，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在此問解決問題的過程中思維的生成性，主要體現(xiàn)在用數(shù)表示形過程中方向的精準(zhǔn)匹配和選擇，在考試的情境下快速找準(zhǔn)運(yùn)算的方向與運(yùn)算變形的精度.

4.廣東卷與全國卷在解析幾何上從兩個(gè)方面對學(xué)生的能力提出要求

解析幾何對學(xué)生數(shù)形結(jié)合的要求高，希望學(xué)生可以通過形的直觀，抽象出量與量之間的關(guān)系，也希望學(xué)生可以通過數(shù)的精確計(jì)算使得量與量之間的關(guān)系更準(zhǔn)確，也希望學(xué)生通過數(shù)的精確計(jì)算與形的直觀抽象找到思考方向、邏輯方向，建立模型與模型之間的關(guān)系，對解析幾何問題進(jìn)行建模，從而提高畫圖、看圖、識圖的能力，提高數(shù)的運(yùn)算變形能力，提高數(shù)形結(jié)合的能力，期望可以提高學(xué)生的思維品質(zhì).

（1）數(shù)的結(jié)構(gòu)

其一，建立數(shù)與形之間交流溝通的平臺(tái)要求；

其二，引入適當(dāng)?shù)淖兞颗c參數(shù)；

其三，方程的求解、化簡、合并、變形的熟練.

（2）形的結(jié)構(gòu)

其一，畫圖的能力需要；

其二，觀察識圖尋找特殊性的能力；

其三，尋找圖形中各種特殊關(guān)系中核心條件的能力.

三.對2017年數(shù)學(xué)高考解析幾何復(fù)習(xí)的建議

1.引導(dǎo)學(xué)生對解析幾何的各種模型進(jìn)行對比反思（讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何反思，那么首先老師就得先要會(huì)反思！）.

（1）引導(dǎo)學(xué)生對活動(dòng)所涉及的知識點(diǎn)進(jìn)行反思學(xué)習(xí)的過程是知識的同化和遷移的過程，而反思是知識同化和遷移的核心步驟.

（2）通過反思來挖掘知識間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識的同化和遷移，幫助學(xué)生整合知識結(jié)構(gòu)，建構(gòu)知識體系.

（3）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要反思自己對這些所涉及的知識的認(rèn)識是否達(dá)到了建立自己的模型所要求的程度.而且由于每一種模型的背景不盡相同，那么如果每次都能對不同背景下涉及的同一數(shù)學(xué)對象進(jìn)行反思，那就可能產(chǎn)生更多新的認(rèn)識.

2.在教學(xué)中仔細(xì)研磨每個(gè)知識點(diǎn)與每個(gè)模型的精確性，使得它們的內(nèi)涵得以充分理解，此為形成模型教學(xué)的重要基礎(chǔ).

3.做好教學(xué)規(guī)劃，關(guān)注學(xué)生在解析幾何問題上出現(xiàn)的上述問題，以相應(yīng)題目為載體，適當(dāng)?shù)挠?xùn)練量對應(yīng)問題的解決策略，分步螺旋上升地使學(xué)生理解、掌握、應(yīng)用解析幾何的各種模型，以此提高學(xué)生的解題能力.課堂中如何以問題為導(dǎo)向讓學(xué)生領(lǐng)悟思維過程，錘煉思維形成穩(wěn)定數(shù)學(xué)模型成為了難點(diǎn).

4.在課后著力于解決學(xué)生對解析幾何錯(cuò)誤的認(rèn)識觀點(diǎn).在心理上給予學(xué)生充分的信心，在作業(yè)訓(xùn)練量上要精，有梯度地布置，精確計(jì)算學(xué)生的基礎(chǔ)與能力，從易到難，從整體到局部地與學(xué)生分享各自的思維方式.

*本文是十二五規(guī)劃重點(diǎn)課題“中學(xué)數(shù)學(xué)建模校本課程的開發(fā)與實(shí)施”的研究成果.