龍灘河大橋穩(wěn)定性及自振特性分析

張晉媛

(山西省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院，山西 太原　030012)

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龍灘河大橋穩(wěn)定性及自振特性分析

張晉媛

(山西省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院，山西 太原030012)

龍灘河大橋?yàn)?×85 m上承式拱橋，橋?qū)?.5 m。以其簡(jiǎn)化模型為基礎(chǔ)，用有限元軟件對(duì)其進(jìn)行了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析和自振特性分析。穩(wěn)定分析中用增量法考慮了幾何非線性的影響，結(jié)果表明拱的設(shè)計(jì)必須重視二階效應(yīng)。用Lanczos法分析了自振特性，得出了一些對(duì)工程建設(shè)有益的結(jié)論。

上承式拱橋；拱肋；特征值屈曲分析；幾何非線性屈曲分析；自振特性分析

0　引言

拱橋所用的拱架是一種主要承受壓力的平面曲桿體系，當(dāng)拱所支承的荷載達(dá)到一定的臨界值時(shí)，整個(gè)拱就會(huì)失去平衡的穩(wěn)定性[1]。基于這個(gè)原因，分別對(duì)拱圈和整橋進(jìn)行了屈曲分析,并且考慮了幾何非線性。

橋梁自振特性是其動(dòng)力分析的重要參數(shù)和基礎(chǔ)，同時(shí)也可以反映有限元模型建立的正確性。對(duì)整體拱橋進(jìn)行了自振特性分析，計(jì)算了整橋的自振頻率和振動(dòng)模態(tài)。

1　工程概況

龍灘河大橋?yàn)楣?×85 m3跨連拱體系，為鋼筋混凝土箱肋上承式結(jié)構(gòu)，橋總寬為9.5 m，行車道凈7+2×1.0 m人行道，橋面橫坡為雙向1.5%，設(shè)計(jì)荷載為公路—Ⅱ級(jí)。拱橋參數(shù)指標(biāo)為跨徑及失高分別為L(zhǎng)0=85 m，f0=14.167 m,失跨比f(wàn)0/L0=1/6，拱軸系數(shù)m=1.543；拱肋由兩個(gè)單箱組成，寬2.24 m，高1.80 m，拱上結(jié)構(gòu)采用鋼筋混凝土空心板，板厚35 cm，拱上立柱、蓋梁、橋面板均為預(yù)制安裝，橋面板橫向共9道，縱向在第二孔與第三孔交接處斷開(kāi)，其余連續(xù)，在主拱圈與立柱之間設(shè)置底座，底座預(yù)埋鋼筋設(shè)置在拱圈頂板和拱箱縱縫中，橫系梁采用工字型斷面，設(shè)置在立柱附近的橫隔板處，上下緣鋼筋與拱肋底板鋼筋相連，腹板鋼筋與橫隔板鋼筋連接。

全橋共設(shè)置4道伸縮縫，布置在兩橋臺(tái)與橋墩頂?shù)陌辶荷?，縫寬4 cm；人行道板縱鋪在行車道板上，采用柵欄式欄桿。

0、3號(hào)臺(tái)采用明挖基礎(chǔ)，1、2號(hào)橋墩采用明挖擴(kuò)大基礎(chǔ)。

2　模型建立

采用有限元軟件ANSYS對(duì)龍灘河大橋進(jìn)行建模及計(jì)算。模型采用空間桿系結(jié)構(gòu)，拱圈用多段直線梁?jiǎn)卧平?，每跨分?6個(gè)單元。實(shí)際橋面板之間設(shè)鉸縫用來(lái)限制橋面板的豎向位移但不限制轉(zhuǎn)動(dòng)，力學(xué)模型為橋面單元間建立2個(gè)剛臂單元，并釋放中間結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。拱上立柱統(tǒng)一劃分為4個(gè)單元。橋梁上的人行道板和欄桿的質(zhì)量分布采用質(zhì)量點(diǎn)單元模擬。各單元采用的單元類型見(jiàn)表1。

表1　各單元采用的單元類型

計(jì)算各單元截面特性，將截面特性賦給各單元實(shí)常數(shù)，在取用實(shí)常數(shù)時(shí)要注意局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。

建立的整體模型如圖1所示，1號(hào)墩處墩與拱圈的耦合及橋面板的鉸縫模擬的局部模型如圖2所示，墩底采用固結(jié)約束形式。

圖1　整體模型

圖2　1號(hào)墩處局部模型

3　結(jié)構(gòu)屈曲分析

結(jié)構(gòu)有兩類穩(wěn)定問(wèn)題，第一類叫做平衡分支問(wèn)題，即達(dá)到臨界荷載時(shí)，除結(jié)構(gòu)原來(lái)的平衡狀態(tài)理論上仍然可能外，出現(xiàn)第二個(gè)平衡狀態(tài)；第二類是結(jié)構(gòu)保持一個(gè)平衡狀態(tài)，隨著荷載的增加在應(yīng)力比較大的區(qū)域出現(xiàn)塑性變形，結(jié)構(gòu)變形很快增大，當(dāng)荷載達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，即使不再增加，結(jié)構(gòu)變形也自行迅速增大而至使結(jié)構(gòu)破壞。實(shí)質(zhì)上結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問(wèn)題都屬于第二類，但是，因?yàn)榈谝活惙€(wěn)定問(wèn)題的力學(xué)情況比較單純明確，在數(shù)學(xué)上作為求特征值問(wèn)題也比較容易處理，而它的臨界荷載又近似地代表相應(yīng)的第二類穩(wěn)定的上限，所以在理論分析中占有重要地位[1]。

結(jié)構(gòu)的特征值方程為[1]

{[KD]+λ[KG]}{Δδ}=0

(1)

式中，[KD]為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣；[KG]為結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣；λ為第i階特征值；Δδ為相應(yīng)該階屈曲

荷載時(shí)結(jié)構(gòu)的變形形狀，即屈曲模態(tài)，屈曲荷載為λcr{F}。

3.1主拱圈的特征值屈曲分析

拱圈承受荷載以受壓為主，有可能發(fā)生面內(nèi)彎曲失穩(wěn)或面外側(cè)傾失穩(wěn)，理論分析已證明，對(duì)于無(wú)鉸拱，面內(nèi)第一階失穩(wěn)只可能是反對(duì)稱形式。

建立模型，包括兩個(gè)三跨拱肋、聯(lián)系梁、墩柱，僅對(duì)拱圈施加自重荷載P0，進(jìn)行特征值屈曲分析，第一階特征值為λ1=63.2，則實(shí)際臨界荷載P=λiP0=63.2P0。為方便和下面要討論的非線性屈曲分析作對(duì)比，將自重荷載擴(kuò)大63.2倍(將材料密度擴(kuò)大63.2倍)后重新計(jì)算特征值屈曲問(wèn)題。計(jì)算得前10階特征值見(jiàn)表2。

表2　63.2倍自重荷載對(duì)應(yīng)的前10階特征值和模態(tài)

注：L—側(cè)向；V—豎向；S—對(duì)稱；A—反對(duì)稱。

從表2可看出，前3階模態(tài)均為面內(nèi)純彎屈曲，反對(duì)稱，理論分析表明無(wú)鉸拱面內(nèi)屈曲低階模態(tài)為反對(duì)稱，計(jì)算結(jié)果符合理論。第4階模態(tài)至第10階模態(tài)中，除第7階為純彎曲外，其余均為面外側(cè)傾失穩(wěn)形式，有對(duì)稱也有反對(duì)稱。

圖3、圖4列出了其中第1階、第5階模態(tài)。

圖3　第1階模態(tài)(豎向反對(duì)稱彎曲)

圖4　第5階模態(tài)(側(cè)向反對(duì)稱彎曲)

3.2全橋的特征值屈曲分析

為了全面把握龍灘河大橋全橋的屈曲模態(tài)特征，應(yīng)適當(dāng)多提取一些模態(tài)，本文提取了前16階模態(tài)。表3列出了全橋在自重作用下的前16階特征值和模態(tài)；圖5、圖6列出了其中自重作用下全橋特征值屈曲的第1階、第4階模態(tài)。

表3　自重荷載作用下全橋前16階特征值和模態(tài)

注：L—側(cè)向；V—豎向；S—對(duì)稱；A—反對(duì)稱；屈曲形式：局部指立柱側(cè)傾明顯，拱圈彎曲不明顯；整體指拱圈彎曲和立柱彎曲都明顯。

圖5　第1階模態(tài)(墩上立柱側(cè)倒)

圖6　第4階模態(tài)(整體反對(duì)稱豎彎)

分析各階屈曲模態(tài)特征，可得到如下結(jié)論：

(1)根據(jù)拱上立柱、墩上立柱和拱圈的變形大小程度，大致可分為局部屈曲和整體屈曲。低階模態(tài)為立柱局部失穩(wěn)，因?yàn)槎丈狭⒅^柔，第1階和第2階均為墩上立柱失穩(wěn)，這是合理的。

(2)拱橋的穩(wěn)定性驗(yàn)算一般更加關(guān)心其整體失穩(wěn)，第3、4、5階模態(tài)雖為整體失穩(wěn)但仍以立柱失穩(wěn)為主，本文安全地歸為整體失穩(wěn)；第12、13、14、15階模態(tài)為典型的整體失穩(wěn)形式。在自重作用下第3階模態(tài)的特征值是29.589，第12階模態(tài)的特征值為45.883，數(shù)值都較大。即便是第1階模態(tài)也達(dá)到了26.287，說(shuō)明該橋的局部與整體穩(wěn)定性較好。

3.3幾何非線性屈曲分析

前面的計(jì)算都是基于理想純壓拱的假設(shè)并忽略拱軸壓縮，實(shí)際拱橋設(shè)計(jì)時(shí)雖然盡量使恒載壓力線與拱軸線重合，但由于施工誤差及非對(duì)稱加載等因素，使得實(shí)際拱的失穩(wěn)形態(tài)大部分屬于第二類失穩(wěn)，即極值點(diǎn)失穩(wěn)[1]。通常按幾何非線性和材料非線性理論來(lái)求解拱橋失穩(wěn)極限荷載。本文中僅考慮幾何非線性，認(rèn)為材料的彈性極限無(wú)限大。

拱橋結(jié)構(gòu)的非線性方程為[1]

([KO]+[KL]+[Kσ]){Δδ}={ΔF}

(2)

首先選擇大小合適的荷載，進(jìn)行特征值屈曲分析，得到第一階特征值(約為1.0)和模態(tài)，隨后需引入初始幾何缺陷[4-5]，考慮到引入的方便，計(jì)算采用拱橋在一階線彈性屈曲變位的某一微小量值作為幾何非線性計(jì)算的初始幾何缺陷，在下面的非線性計(jì)算中，考慮到計(jì)算收斂速度等因素，初始幾何缺陷大小取線彈性屈曲變位的1%～5%。將模態(tài)形狀乘以0.04，作為形狀缺陷施于結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何非線性靜力分析。圖7和圖8分別是第二跨拱的拱頂處和四分點(diǎn)處的荷載-位移曲線圖，圖中橫坐標(biāo)表示撓度，以向上撓為正，縱坐標(biāo)表示第一跨拱腳處豎向反力，可反映荷載大小。

由圖7可知，第二跨拱頂從加載一開(kāi)始就向下?lián)?，直到達(dá)到極限荷載時(shí)，撓度不斷增大，之后荷載減小，撓度仍保持增大，表明發(fā)生極值點(diǎn)失穩(wěn)，極限荷載對(duì)應(yīng)的拱腳反力為137 002 kN。由圖8可知，第二跨拱的四分點(diǎn)，開(kāi)始施加荷載時(shí)，撓度向下增大，當(dāng)荷載達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，位移反向，開(kāi)始向上撓(第一個(gè)拐點(diǎn))，且位移增加很快，達(dá)到極限荷載后，位移又迅速反向(第二個(gè)拐點(diǎn))。

拱的特征值屈曲模態(tài)，屈曲前拱不變形，屈曲后發(fā)生反對(duì)稱或者對(duì)稱變形。顯然，拱的變形考慮幾何非線性的彈性極限分析與特征值屈曲完全不同。另外，拱腳的彈性極限反力，按拱頂?shù)暮奢d-位移曲線可確定為137 002 kN，但是觀察四分點(diǎn)的荷載-位移曲線，第一個(gè)拐點(diǎn)處位移開(kāi)始隨荷載迅速增大，從變形的角度看應(yīng)確定為極限狀態(tài)，此時(shí)拱腳的反力為120 000 kN左右，比第二個(gè)拐點(diǎn)處小12.4%，這說(shuō)明確定連拱的極限承載力不能只觀察拱頂?shù)暮奢d-位移曲線的極值點(diǎn)，還應(yīng)觀察拱的其它控制截面，如拱的1/4跨截面、3/4跨截面。

圖7　第二跨拱頂荷載-位移曲線

圖8　第二跨拱四分之點(diǎn)處頂荷載-位移曲線

按照特征值分析方法，計(jì)算得到臨界荷載時(shí)拱腳反力為235 380 kN，彈性極限荷載比線性方法得到的臨界荷載約小50%，可見(jiàn)，考慮變形二階效應(yīng)的極限設(shè)計(jì)方法非常重要。

上述分析假定拱的初始缺陷為第一階屈曲模態(tài)的0.04倍，現(xiàn)分別取初始缺陷為第一階模態(tài)的0.07倍和0.12倍重新計(jì)算，得到兩工況下第二跨拱頂?shù)暮奢d—位移曲線，如圖9和圖10所示。

圖9　第二跨拱頂荷載-位移曲線(缺陷為0.07倍模態(tài))

圖10　第二跨拱頂荷載-位移曲線(缺陷為0.12倍模態(tài))

由圖9、圖10可知，初始幾何缺陷取第一階屈曲模態(tài)的0.04倍、0.07倍和0.12倍的荷載-位移曲線形狀相似，但極值點(diǎn)確定的極限荷載不同。缺陷比例取0.07倍時(shí)，極值點(diǎn)處拱腳反力為134 259 kN，缺陷比例取0.12倍時(shí)，極值點(diǎn)處拱腳反力為129 934 kN。顯然，初始幾何缺陷越大，極限荷載越小。

通過(guò)對(duì)全橋幾何非線性屈曲分析可以得出以下幾點(diǎn)：

(1)本橋按幾何非線性分析，拱圈彈性極限承載力足夠大。懸鏈線拱承受的荷載實(shí)際上為從拱頂?shù)焦澳_按三角形分布的線荷載，彈性極限分析的荷載形式按照恒載分布形式(近似為均布形式)施加，荷載直接取特征值屈曲臨界荷載(63倍拱圈自重)，得到彈性極限荷載為63×0.5≈31倍拱圈自重(初始幾何缺陷比例取0.04倍時(shí))。假設(shè)拱上建筑的自重是拱圈的3倍，則承受力儲(chǔ)備為31/(3+1)=7.75。盡管所取得荷載形式與實(shí)際形式有差別，因安全系數(shù)夠大，故可認(rèn)為本橋拱圈彈性極限承載力足夠大。

(2)考慮變形影響的二階分析后，拱圈彈性極限承載力比特征值屈曲臨界力大幅度降 低，拱的設(shè)計(jì)必須重視二階分析。

(3)加載全過(guò)程分析的變形曲線與特征值屈曲形狀不同。無(wú)鉸拱屈曲形式為反對(duì)稱曲線，引入初始幾何缺陷后，加載開(kāi)始時(shí)為正對(duì)稱變形，隨著荷載增大，變形曲線不規(guī)則，但是有向反對(duì)稱形狀過(guò)渡的趨勢(shì)。

(4)初始幾何缺陷大小對(duì)彈性極限承載力有影響。初始幾何缺陷越大，極限承載力越小，故拱的施工應(yīng)做好線性控制，盡量減小施工誤差[4]。

4　結(jié)構(gòu)自振特性分析

采用Lanczos法[2-3]對(duì)龍灘河大橋進(jìn)行自振特性分析，在恒載+活載情況下列出結(jié)構(gòu)各階頻率并查看振型圖。前26階振型有很多階是立柱局部振動(dòng)，分析橋梁結(jié)構(gòu)特性可將這些振型略去。結(jié)構(gòu)前26階頻率和振型特征見(jiàn)表4。

表4　結(jié)構(gòu)前29階振型(不含立柱局部振動(dòng)振型)

注：L—側(cè)向；V—豎向；S—對(duì)稱；A—反對(duì)稱；L—扭轉(zhuǎn)。

(1)側(cè)向彎曲出現(xiàn)在低階振型中，從第8階開(kāi)始大量出現(xiàn)豎向反對(duì)稱振型，表明橋梁的橫向剛度比豎向剛度小。

(2)隨著階數(shù)的增大，振型形狀越來(lái)越復(fù)雜，彎曲和扭轉(zhuǎn)的耦合效應(yīng)變得明顯。

(3)該橋的振型比較密集，表4中表明頻率為1.5 Hz附近分布了近6階振型，第2階振型頻率為1.109 Hz ，第9階振型也僅為1.543 Hz，說(shuō)明該橋在一個(gè)不寬的頻帶范圍內(nèi)許多振型可能被激起[6]，在進(jìn)行振型組合時(shí)應(yīng)該采用考慮各模態(tài)相互影響的CQC法。

圖11、圖12列出了幾階典型的振型圖。

圖11　第2階振型(中跨側(cè)向?qū)ΨQ彎曲)

圖12　第8階振型(整體反對(duì)稱豎彎)

5　結(jié)論

(1)拱圈前三階模態(tài)均為面內(nèi)純彎屈曲、反對(duì)稱，說(shuō)明該橋設(shè)計(jì)合理且不易發(fā)生面外側(cè)傾失穩(wěn)；全橋的面內(nèi)穩(wěn)定問(wèn)題不突出且安全儲(chǔ)備較高，面外穩(wěn)定性較好，不易發(fā)生面外側(cè)傾失穩(wěn)。

(2)考慮變形影響的二階分析后，拱圈彈性極限承載力比特征值屈曲臨界力大幅度降低，加載全過(guò)程分析的變形曲線與特征值屈曲形狀不同，所以拱的設(shè)計(jì)必須重視二階分析；初始幾何缺陷大小對(duì)彈性極限承載力有影響，初始缺陷越大，極限承載力越小，故拱的施工應(yīng)做好線形控制，盡量減小施工誤差。

(3)從龍灘河大橋的自振特性可以得出，該橋的橫向剛度比豎向小且該橋的振型比較密集，在進(jìn)行振型組合時(shí)應(yīng)該采用考慮各模態(tài)相互影響的CQC法。

[1]李國(guó)豪．橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動(dòng)[M]．北京：中國(guó)鐵道出版社，2003．

[2] 王新敏．ANSYS工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析[M]．北京：人民交通出版社，2007．

[3] 葛俊穎，王立友．基于ANSYS的橋梁結(jié)構(gòu)分析[M]．北京：中國(guó)鐵道出版社，2007．

[4] 信麗華，林玉森，段樹(shù)金．初始幾何缺陷對(duì)鋼管混凝土拱橋極限承載力的影響[J]．石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，22(3)：10-13．

[5] 信麗華，林玉森，段樹(shù)金．鋼管混凝土單圓管肋非線性分析[J]．石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，20(2)：17-21．

[6] 畢凱明，賀國(guó)京．野山河大橋動(dòng)力特性分析[J]．世界地震工程，2008，24(1)：148-152．

Analysis of Stability and Self-vibration Characteristics of Longtanhe Bridge

Zhang Jinyuan

(Shanxi Provincial Transport Planning &Survey Institute ,Taiyuan 030012, China)

Longtanhe Bridge is a arch deck bridge with the span of 3×85 m and width of 9.5 m.Based on the simplified model of the Longtanhe bridge,the stability and self-vibration characteristics were analyzed in this paper with finite element software.The geometric nonlinear effects are considered in the stability analysis with increment method,and the results illustrate that the second-order effect must be considered in the design.The self-vibration characteristics were analyzed with Lanczos, and some conclusions were got useful for the engineering construction.

arch deck bridge；arch rib；eigenvalue buckling analysis；geometric nonlinear buckling analysis；self-vibration characteristics analysis

2015-07-12責(zé)任編輯:車軒玉DOI:10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2016.03.05

張晉媛(1985-), 女, 工程師，主要從事橋梁抗風(fēng)與抗震的研究。E-mail: 571387621@qq.com

U448.22

A

2095-0373(2016)03-0026-07

張晉媛.龍灘河大橋穩(wěn)定性及自振特性分析[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(3):26-32.