復(fù)系數(shù)Riccati微分方程解的存在條件及應(yīng)用

王明建， 胡　博， 王桂花

(1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,鄭州 450044； 2.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,鄭州 450002)

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復(fù)系數(shù)Riccati微分方程解的存在條件及應(yīng)用

王明建1， 胡博2， 王桂花1

(1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,鄭州 450044； 2.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,鄭州 450002)

對于系數(shù)是復(fù)常數(shù)的Riccati微分方程，y′=py2+qy+r，其中p=a+bi，q=c+di，r=e+fi是復(fù)數(shù)，a,b,c,d,e,f∈R，i是虛單位，且pr≠0，得到了此類方程解存在的一些條件，并給出了相關(guān)的應(yīng)用.

復(fù)常數(shù)；Riccati微分方程；解存在條件；應(yīng)用

眾所周知，非線性Riccati微分方程

(1)

(其中P(x)、Q(x)和R(x)都是定義域D上的連續(xù)可微函數(shù)，且P(x)R(x)≠0)一般沒有初等積分解法[1～6]，通常求通解的途徑是：如果能預(yù)先得到式(1)的一個特解y0，再利用初等變換y=u+y0，使之變?yōu)锽ernoulli方程再求解.然而求式(1)一個特解的難度并不亞于求其通解.雖然文[2]用不同的方法求得Riccati微分方程的特解甚至通解，但對系數(shù)是復(fù)常數(shù)的Riccati微分方程，卻沒有論及，本文討論了一類系數(shù)為復(fù)常數(shù)的Riccati微分方程

(2)

(其中p=a+bi，q=c+di，r=e+fi是復(fù)常數(shù)，a,b,c,d,e,f∈R，i是虛單位)的解的存在條件及解的求法，為尋求復(fù)系數(shù)Riccati方程的解提供了有效的方法，并給出相關(guān)的一些應(yīng)用.

1　主要結(jié)果及證明

首先不加證明地給出以下兩個引理：

(3)

如果P(x)=p、Q(x)=q和R(x)=r都是復(fù)常數(shù)，作為特例，有

(4)

只要熟悉微分方程解的存在唯一性定理，則有

定理1如果設(shè)f(x,y)=py2+qy+r，方程(2)中的系數(shù)是復(fù)常數(shù)，并且關(guān)于變量y滿足Lipschitz條件，即不等式

|f(x,y1)-f(x,y2)|≤(|p||y1+y2|+|q|)|y1-y2|，

(5)

在矩形域D上恒成立，那么方程(2)存在唯一解y=φ(x)，它在D上連續(xù)，且滿足初始條件y0=φ(x0)，其中|p|，|q|表示復(fù)數(shù)的模.

定理2方程(2)存在通解

(6)

的充要條件是s=0，其中C為任意常數(shù).

(7)

q2-4pr=0

(8)

注：式(8)的右端具有Δ=b2-4ac的形式.

定理4方程(2)有特解y=c(常數(shù))的充要條件是

pc2+qc+r=0

(9)

證明必要性顯然，只證充分性.在(2)中，令y=c，有

(10)

注：式(9)可以作為方程(2)的示性方程.

2　應(yīng)用舉例

[1]王高雄.常微分方程[M].第3版.北京:高等教育出版社,2006.

[2]王明建.Riccati微分方程特解的新求法[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2006(7):172-175.

[3]丁同仁.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1991:5.

[4]都長青.常微分方程(修訂版)[M].北京:高等教育出版社,1992.

[5]莊萬.常微分方程習(xí)題與解答[M].北京:高等教育出版社,1999.

[6]A·Φ·菲利波夫.常微分方程習(xí)題集[M].孫廣成,張德厚譯.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1981.

[責(zé)任編輯王新奇]

The Existence Condition and Application of the Solution ofRiccati Differential Equation with Complex Coefficient

WANG Ming-jian1, HU bo2, WANG Gui-hua1

(1.DepartmentofMathematics,ZhengzhouNormalUniversity,Zhengzhou450044,China; 2.CollegeofScience,HenanUniversityofTechnology,Zhengzhou450002,China)

Inthispaper,fortheRiccatidifferentialequationofy′=py2+qy+rwithcomplexcoefficient,amongthemp=a+bi，q=c+diandr=e+fiarecomplexnumbers, a,b,c,d,e,f∈R，iisavirtualunitandpr≠0.Someconditionsfortheexistenceofsolutionsoftheseequationsareobtained,andtherelatedapplicationsaregiven.

complexcoefficient;Riccatidifferentialequation;solutionexistencecondition;application

1008-5564(2016)03-0034-03

2016-01-18

國家自然科學(xué)基金項目(11161018)

王明建(1958—)，男，河南滎陽人，鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授，主要從事動力系統(tǒng)研究.

O175.5

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