納米磁粒子磁矩翻轉(zhuǎn)模型與星形線的計算

楊　柳，孫玉泉，文　曉

（北京航空航天大學(xué)　數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京　100191）

納米磁粒子磁矩翻轉(zhuǎn)模型與星形線的計算

楊柳，孫玉泉，文曉

（北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191）

在微積分中有許多關(guān)于星形線的計算問題，本文通過介紹一個關(guān)于星形線的應(yīng)用實例，說明星形線來源于實際的應(yīng)用具有重要的應(yīng)用價值，在此基礎(chǔ)上我們對相關(guān)的計算問題進(jìn)行歸納和總結(jié).

星形線；定積分應(yīng)用；納米磁疇；磁矩翻轉(zhuǎn)

星形線、心形線、笛卡兒葉形線等是微積分中常見的一些特殊的曲線，在數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常進(jìn)行一些與這些曲線相關(guān)的計算.實際上這些曲線都有一定的應(yīng)用背景，來自于實際的應(yīng)用問題，在分析相關(guān)問題時具有重要作用.下面我們通過一個來自于相關(guān)領(lǐng)域前沿研究中的實際問題，給出一個與星形線相關(guān)的應(yīng)用背景，說明這些曲線不只存在于微積分相關(guān)的計算當(dāng)中.

1　磁疇磁矩的翻轉(zhuǎn)模型

納米單磁顆粒磁矩在磁場的影響下可以改變和保持其定向的性質(zhì)是現(xiàn)代磁記錄產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ).這一原理在信息存儲和生物醫(yī)學(xué)等方面都起著重要作用［1,2,3,4,5,6］.下面我們來介紹一下納米單磁顆粒磁矩在磁場的影響下方向變化的模型，首先假設(shè)研究球形的單疇粒子，具有單軸各向異性，易磁軸方向為z軸.

用M表示該粒子的磁矩，根據(jù)上面的假設(shè)，當(dāng)該粒子不受外界影響時，各項異性能關(guān)于易磁軸對稱，因此僅和磁矩在z軸上的分量有關(guān)，自由能量可表示為：

其中是粒子的體積，為各項異性常數(shù)，單位為.當(dāng)時，該能量在M與z軸夾角為0和時最小，在夾角為時能量最大.

圖1　能量密度分布［2］

當(dāng)粒子的磁矩達(dá)到平衡狀態(tài)時，其磁矩會指向使其能力最低的方向，當(dāng)0和為最小能力方向時，這兩個方向就是磁矩的穩(wěn)定方向.

當(dāng)粒子到外磁場H中時，磁場產(chǎn)生的磁場能為-μ0M· HV0，其中常數(shù)是磁導(dǎo)率.此時該粒子具有的總能量為：

根據(jù)粒子達(dá)到平衡狀態(tài)時，磁矩指向使其能力最低的方向這樣性質(zhì)，當(dāng)粒子受到外磁場影響時其能力最低點和磁矩方向會發(fā)生相應(yīng)的變化.下面我們就分析外加磁場對能力最低點的影響.為了表示方便，我們將能力進(jìn)行相應(yīng)的無量綱的變換.因為我們只關(guān)心G（m,H）的最值點的變化，因此，我們忽略掉（2）式中的常數(shù)項，并除以適當(dāng)?shù)某?shù)可得到

其中m是與磁矩M同方向的單位向量，ha是和磁場H同方向的向量.

在單項各向異性的條件下，由于對稱的原因，在平衡狀態(tài)下磁化強(qiáng)度在于易磁軸z軸和外磁場ha所確定的平面內(nèi).因此使用球坐標(biāo)表示，令m與z軸夾角為θ，ha與z軸夾角為θh，則有：

將（3）式表示為：

其中haz=hacosθh，ha⊥=hasinθh分別是ha在z軸的平行和垂直分量.

如前所述在ha=0時，能量在θ=0時最小，因此這是一個平衡位置，同樣的相反方向θ=π也是平衡位置.當(dāng)時，能量值取得最大.現(xiàn)在，如果我們運用一個和最初磁化相反的小的外部磁場（θ=0或π）.當(dāng)ha逐漸增大時會達(dá)到一個最大值和一個最小值消失的臨界位置.對于這一臨界狀態(tài)的ha取值記做hSW.當(dāng)ha＞hSW時，自由能將只存在一個最小值和一個最大值.這就意味著當(dāng)磁場ha＜hSW時，粒子將保持在沿著z軸的初始位置，而一旦ha＞hSW，對應(yīng)于逆轉(zhuǎn)方向，磁場將轉(zhuǎn)變?yōu)橹皇Ｏ乱粋€最小能量，此時磁化方向?qū)l(fā)生翻轉(zhuǎn).

下面我們分析當(dāng)ha與z軸的夾角不是零時，其臨界值的變化情況.顯然臨界磁場hSW是θh的函數(shù)，或者h(yuǎn)az和ha⊥表示的直角坐標(biāo)下的函數(shù).臨界點構(gòu)成了存在兩個最小值的區(qū)域和只存在一個最小值的區(qū)域之間的分界線.在（5）式中將haz和ha⊥看作參數(shù)，θ為自變量，臨界點必然滿足：

通過求解方程組（6），可以得到下面的等式：

將haz和ha⊥看作函數(shù)，θ為參數(shù)，可得表達(dá)式

由上面等式所定義的曲線如圖2所示：

圖2　在平面haz和ha⊥上的Stoner-Wohlfarth星形線

這正是我們熟悉又陌生的星形線.

由極坐標(biāo)表示可以得到：

特別地當(dāng)θh=0時，可以很容易的驗證

因此，當(dāng)外磁場分量對應(yīng)的點（ha,ha⊥）位于星形線以外，則只有一個最小能點存在，當(dāng)該點不是初始平衡點時，磁化方向?qū)l(fā)生改變.相反的，當(dāng)磁場對應(yīng)的點（ha,ha⊥）位于星形線以內(nèi)，仍然存在自由能的兩個最小值，即兩個穩(wěn)定的平衡.

這個磁化運動的動力學(xué)模型說明，星形線和我們在微積分中遇到的大部分問題一樣，它不是我們?yōu)榱俗鲱}而憑空創(chuàng)造的產(chǎn)物.這些問題大都來源于實際的問題，并且對分析和解決問題有著非常重要的作用.

2　星形線計算問題

下面我們總結(jié)一下與星形線相關(guān)的計算問題，為了計算方便我們統(tǒng)一使用下面的表達(dá)式：

（1）星形線所圍的面積：

（2）星形線的周長：

（3）星形線繞x軸的旋轉(zhuǎn)體體積：

（4）星形線繞x軸的旋轉(zhuǎn)曲面面積：

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O172.2

A

1673-260X（2016）09-0001-02

2016-06-18

國家自然科學(xué)基金（11201020）；北京航空航天大學(xué)教學(xué)改革項目（4303006）