拉格朗日中值定理反問題存在性及存在不可導點的相關(guān)結(jié)論探討

熊駿

(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

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拉格朗日中值定理反問題存在性及存在不可導點的相關(guān)結(jié)論探討

熊駿

(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

從幾何意義出發(fā)研究拉格朗日中值定理的反問題，得到了拉格朗日中值定理反問題的2個存在性結(jié)論。此外，還探討了函數(shù)有不可導點情形下拉格朗日中值定理的相關(guān)結(jié)論，豐富了拉格朗日中值定理的結(jié)果。

拉格朗日中值定理;反問題;不可導點

拉格朗日中值定理[1～5]是微分中值定理的核心，在數(shù)學分析的理論及應(yīng)用中有很重要的作用。拉格朗日中值定理具體表述如下：

若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則存在ξ∈(a,b)，使得:

其幾何意義是在曲線L：y=f(x)上存在點P(ξ,f(ξ)),曲線在該點的切線的斜率等于曲線上兩點A(a,f(a)),B(b,f(b))確定直線AB的斜率。

為此,筆者考慮增強函數(shù)f(x)的條件,使得上述拉格朗日中值定理反問題的存在性成立。另外，還考慮了若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)有不可導點的情形下拉格朗日中值定理的相關(guān)結(jié)論。

1　拉格朗日中值定理反問題的2個存在性結(jié)論

定理1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上二次可導，且f″(x)≠0(x∈[a,b]),則對任意的ξ∈(a,b)，存在c∈[a,b]，使得:

或

證明因f″(x)≠0(x∈[a,b])，由導數(shù)的介值定理可知，f″(x)(x∈[a,b])不可能變號，不妨設(shè)f″(x)>0(x∈[a,b])，于是f′(x)在[a,b]上嚴格單調(diào)遞增。因此，對任意的ξ∈(a,b)，有:

f′(a)

由定理1的證明中,二階導數(shù)的作用可以適當減弱條件為f′(x)在[a,b]上嚴格單調(diào)，從而得到如下推論。

推論1設(shè)函數(shù)f′(x)在[a,b]上嚴格單調(diào)，則對?ξ∈(a,b)存在c∈[a,b]，使得；

或：

定理2設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上二次可導，則對?ξ∈(a,b),若f″(ξ)≠0，存在x1,x2∈(a,b)，使得x1<ξ

證明不妨設(shè)f″(ξ)>0,由極限的局部保號性知，存在ξ的某鄰域，在該鄰域內(nèi)f′(x)單調(diào)遞增。即存在δ>0，當x∈(ξ-δ,ξ)時，f′(x)

分析f″(ξ)≠0在證明中的作用，由定理2可以得到如下推論。

推論2設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在在(a,b)內(nèi)可導，則對任意的ξ∈(a,b)，若ξ不是f′(x)的極值點，則存在x1,x2∈(a,b)，使得x1<ξ

2　存在不可導點情形下拉格朗日中值定理的相關(guān)結(jié)論

證明不妨設(shè)a

f(c1)-f(a)=f′(ξ1)(c1-a),ξ1∈(a,c1)

f(c2)-f(c1)=f′(ξ2)(c2-c1),ξ1∈(c1,c2)

?

f(b)-f(cN)=f′(ξN+1)(b-cN),ξN+1∈(cN,b)

以上各式2邊除以b-a再相加得到:

定理3中, N=1即為拉格朗日中值定理。

f(b)-f(c1)=f′(ξ1)(b-c1)，ξ1∈(c1，b)

f(c1)-f(c2)=f′(ξ2)(c1-c2),ξ1∈(c2，c1)

?

f(cn-1)-f(cn)=f′(ξn)(cn-1-cn),ξn∈(cn，cn-1)

以上各式兩邊除以b-a再相加，再取極限n→∞，得到:

3　結(jié)語

拉格朗日中值定理的幾何意義為思考某些問題提供了思路，加強函數(shù)的條件可以得到一些拉格朗日中值定理反問題的存在性結(jié)果。在今后的研究中，還可以通過加強函數(shù)的條件考慮拉格朗日中值定理中點的存在個數(shù)問題。

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊) [M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2005.

[2]劉三陽，于力，李廣民.數(shù)學分析選講[M].北京：科學出版社，2006.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(上冊)[M]. 第6版.北京：高等教育出版社，2006.

[4]四川大學數(shù)學系.高等數(shù)學(第一冊)[M]. 第2版.北京：高等教育出版社，1989.

[5]冉兆平.微積分[M]. 第2版.上海：上海財經(jīng)大學出版社，2008.

[編輯]張濤

2016-04-20

熊駿(1967-)，男，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事基礎(chǔ)數(shù)學方面的教學與研究工作；E-mail:cjdxxj@163.com。

O172.1

A

1673-1409(2016)22-0060-04

[引著格式]熊駿.拉格朗日中值定理反問題存在性及存在不可導點的相關(guān)結(jié)論探討[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(22)：60～63.