Hahn—Banach定理的幾個(gè)應(yīng)用

趙暢

【摘要】 Hahn-Banach定理，作為泛函分析三大基本定理之一應(yīng)用廣泛.本文介紹該定理的內(nèi)容，并初步探討其推論及其在泛函的延拓的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 Hahn-Banach定理；泛函分析；延拓；應(yīng)用

一、引 言

Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理.它的重要性不僅作用在建立Banach空間理論體系，而且還解決許多問題.下面探討應(yīng)用到定理的實(shí)際問題.

二、 定理的介紹

定理1 設(shè)G是賦范線性空間X的線性子空間，對(duì)于G上任一有界線性泛函f，可以作出X上的有界線性泛函F，使其滿足：（i）當(dāng)x∈G時(shí)，F(xiàn)（x） = f（x）；（ii）||f||G = ||F ||.

定理2 設(shè)G是賦范線性空間X的線性子空間，P（x）是X上的擬范數(shù)，對(duì)于G上任何一個(gè)給定的線性泛函f，滿足條件k = |f（x）|<∞時(shí)，f必可延拓為E上的線性泛函F，且滿足|F（x）| = k.

三、定理的應(yīng)用

（一） 推導(dǎo)定理的推論

推論1 設(shè)E是賦范線性空間，則對(duì)任何x0∈E，x0≠θ，必存在E上的有界線性泛函f，滿足

（i）f（x0） = ||x0||，（ii）||f|| = 1.

證明：把定理中的G取為{θ}，有d = ρ（x0{θ}） = ||x0||，于是存在E上的有界線性泛函f滿足（i），（ii）.

推論2 設(shè)E是賦范線性空間，則對(duì)于任何x0∈E，有||x0|| = |f（x0）|.

證明：設(shè)f∈E*，且||f|| = 1于是|f（x0）| ≤ ||f||·||x0|| = ||x0||，由此得到 |F（x0）| ≤ ||x0||.

另外對(duì)x0∈E，不妨設(shè)x0 ≠ θ（否則推論顯然成立），根據(jù)推論1，存在著f1∈E*，||f1|| = 1，并且f1（x0） = ||x0||，有|f（x0）| ≥ ||x0||. 結(jié)論得證.

（二）解決延拓問題

延拓問題是研究定義在給定集X的一個(gè)子集A上的某數(shù)學(xué)對(duì)象能否擴(kuò)充到整個(gè)集X上，并保持對(duì)象的基本性質(zhì).Hahn-Banach泛函延拓定理保證賦范線性空間上具有充分多有界線性泛函及線性泛函的取值可先指定，且為共軛空間提供必需理論.

例1 設(shè)X為賦范線性空間，x，y∈X.若？坌f∈X*，恒有f（x） = f（y），證明x = y.

證明 用反證法.設(shè)x ≠ y，則x - y ≠ θ，依據(jù)定理，必存在f∈X*，使得f（x - y） = ||x - y|| ≠ 0，從而f（x） ≠ f（y），與題設(shè)矛盾.故必有x = y.

例2 P是定義在賦范線性空間X上的一個(gè)次線性泛函，證明：X上存在一線性泛函F，使得-P（-x） ≤ F（x） ≤ P（x）.

證明 設(shè)P是定義在賦范線性空間X上的一個(gè)次線性泛函，Z = {x∈X|x = αx0，α∈R}，x0∈X是一固定元素，在Z上定義泛函f為f（x） = αP（x0）.不難證明f是Z上的線性泛函：對(duì)于x = αx0，y = βx0有

f（x + y） = f[（α + β）x0] = （α + β）P（x0） = αP（x0） + βP（x0） = f（x） + f（y），f（cx） = f（cαx0） = cαf（x0） = cf（x），c∈R.

所以，f是Z上的線性泛函. 當(dāng)α ≥ 0，有f（x） = αP（x0） = P（x）；

當(dāng)α < 0，又0 = P（θ） = P（-x + x） ≤ P（x） + P（-x），有P（-x） ≥ -P（x），

又f（x） = αP（x0） ≤ -αP（-x0） = P（αx0） = P（x），因此f（x） ≤ P（x）. 應(yīng)用定理得X上的線性泛函F滿足F（x） ≤ P（x）.故：-P（-x） = F（-x） ≤ P（-x） ？圯 -P（-x） ≤ f（x）.得證.

（三）證明其他定理

定理3 設(shè)G是賦范線性空間E的子空間，x0∈E，并且d = ρ（x0，G） > 0，則存在E上的有界線性泛函f，滿足：（i）f（x） = 0，當(dāng)x∈G； （ii）f（x0） = d；（iii）||f|| = 1.

證明 令G1 = span{x0∪G}，由ρ（x0，G） > 0，故x0G，因此G中的任一元素y可唯一表示為

y = αx0 + x（x∈G，α為常數(shù)）.

在G1上定義泛函g：g（y） = g（αx0 + x） = αd（y∈G1），g是線性的，滿足（i），（ii）.任取y = αx0 + x∈G1，不妨設(shè)α ≠0，則|g（y）| = |α|ρ（x0，G） ≤ |α|x0 + = ||αx0 + x|| = ||y||，

故g是有界的且||g|| ≤ 1.因此g是G1上滿足條件（i），（ii）的有界線性泛函，根據(jù)定理，在E上存在有界線性泛函f滿足（i），（ii），且||f|| = ||g||G ≤ 1.由引理得||f|| ≥ = = 1.

（引理 設(shè)G是賦范線性空間E的子空間，x0∈E，ρ（x0，G）是x0到G的距離，f是E上的有界線性泛函，并且在G上取值為零，則|f（x0）| ≤ ||f||ρ（x0，G）.）

四、小 結(jié)

Hahn-Banach定理本身有研究價(jià)值，其應(yīng)用也十分廣泛.本文運(yùn)用Hahn-Banach定理研究其推論、延拓問題及對(duì)其他定理的證明.該定理研究空間還很大，本文研究還不全面.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M].北京：北京大學(xué)出版社，2011：106-126.

[2]江澤堅(jiān)，孫善利.泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2005：79-93.