數(shù)學(xué)廣角的取與舍

董江飛 陳金波

在一次研修活動中，有3位老師對“烙餅問題”一課進(jìn)行同課異構(gòu)，受益匪淺.不管是環(huán)節(jié)順序、活動組織，還是問題設(shè)計，都反映出執(zhí)教者對教材的理解，但是對某些教學(xué)環(huán)節(jié)的“取舍”筆者有些個人想法，與大家探討.

一、舍之有理

1. 教學(xué)“一個餅、兩張餅的烙法”

學(xué)生對一個餅的面數(shù)、兩個餅的時間推算有多大的困難？在教學(xué)中是否真的有必要討論“一個餅要烙幾面？需要幾分鐘？怎么烙？兩個餅怎么烙？需要幾分鐘？”而且用手勢來演示烙兩個餅的過程，學(xué)生需要這樣的幫助嗎？

【我的教學(xué)片斷】

教師出示烙餅要求：每次最多只能烙兩個餅，兩面都要烙，每面3分鐘.

師：這句話告訴我們什么？

生：一次最多只能烙兩個餅，而且兩面都要烙，每個面都要烙3分鐘.

師：一次可以烙3個餅嗎？可以烙一個餅嗎？

生：每次只能烙一個或者兩個餅.

師：那么烙一個餅需要幾分鐘？烙兩個餅又需要幾分鐘呢？

學(xué)生口答

生：烙一個餅需要6分鐘，烙兩個餅也需要6分鐘.

師：為什么餅的個數(shù)不一樣，所用的時間卻一樣呢？

生：因為兩個餅可以一起烙，所以所用的時間一樣.

教師小結(jié)：因為鍋里一次最多可以烙兩個餅.

這個環(huán)節(jié)通過對烙一個餅、兩個餅的處理，使學(xué)生對“怎樣烙餅最省時”有了進(jìn)一步的認(rèn)識，這個認(rèn)識不是教師告知學(xué)生，而是學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，通過觀察深入思考逐步獲得，這樣能用更多的時間來探究3個餅烙法.

2. 教學(xué)“6個餅的烙法”

許多老師在教學(xué)6個餅烙法時，都會讓學(xué)生對比6個餅分成2個2個2個烙好，還是分成3個3個烙好.通過兩種不同分法的對比，確實讓學(xué)生感悟到：（1）烙的次數(shù)和所用時間相同的情況下，選擇哪種烙法更加好.（2）從“優(yōu)化”角度出發(fā)，學(xué)生在“省時”的前提下還考慮了“省事”.但本課難點應(yīng)在3個餅最優(yōu)烙法上，所以6個餅沒有必要大費周章的比較.

【我的教學(xué)片斷】

師：除了4個餅，你認(rèn)為還有幾個餅也能像這樣分成2個2個的同時烙？

生：6個、8個、10個……

（雙數(shù)的餅）

師：那么烙6個餅需要幾次？要用多少時間？

學(xué)生口答.

生：需要烙6次，一共需要18分鐘.

如果學(xué)生在這里回答了6個餅可以分成3個3個烙，那么就快速對比下，如果學(xué)生沒有說，那么可以快速帶過，畢竟學(xué)生已經(jīng)很好掌握了4個餅的烙法，而6個餅只是套用4個餅的烙法，對學(xué)生來說是很簡單的一件事.

3. 教學(xué)“烙餅的規(guī)律”

對于“要不要發(fā)現(xiàn)烙餅張數(shù)與最少時間之間的關(guān)系”一直存在爭論，是不是沒有總結(jié)出來烙餅的規(guī)律就是一個遺憾？烙餅規(guī)律的總結(jié)是否有助于學(xué)生提升思想方法？而只有“烙餅的最少時間 = 烙的餅數(shù) × 每面需要的時間”這個規(guī)律在學(xué)生的頭腦當(dāng)中建構(gòu)，課堂才會更具深度和完整性. 如果學(xué)生在這里能順利得出烙餅規(guī)律更加好，如果不能很順利的出來，我們完全沒有必要非要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不可.因為烙餅問題的核心思想是：理解不同張數(shù)餅的最優(yōu)方案關(guān)鍵是“每次總烙2個餅，不讓鍋里有空余”.只要在探究的過程中，把餅分為奇數(shù)個餅和偶數(shù)個餅進(jìn)行分析，就自然而然地解決了知識上的問題，又能讓學(xué)生在探索過程中發(fā)現(xiàn)認(rèn)知規(guī)律，還可以將大量的時間節(jié)省下來，使學(xué)生有充足的時間進(jìn)行教學(xué)思考.而且這個規(guī)律還有很大的局限性，如果一個鍋能烙3個餅?zāi)?？所以學(xué)生只要知道怎么烙最省時就可以了.

【我的教學(xué)片斷】

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察這個表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：每多烙一張餅時間就增加3分鐘.

教師在課堂上要充分體現(xiàn)“三講三不講”原則，在教學(xué)中教師要考慮到學(xué)生到學(xué)情，有些教學(xué)目標(biāo)就應(yīng)該舍去，如果教師在教學(xué)中做到面面俱到，處處關(guān)注，反而導(dǎo)致教學(xué)中的目標(biāo)不夠明確， “學(xué)生自己能學(xué)會的知識不講”更能體現(xiàn)教師的心中是否裝有學(xué)生，真正提高機(jī)會讓學(xué)生自己嘗試探索.

二、取之有道

1. 教學(xué)“3個餅的烙法”

3個餅的烙法要讓學(xué)生參與知識的形成過程，通過9分鐘烙法和12分鐘烙法進(jìn)行比較，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗優(yōu)化的根源是“每次總烙2個餅，別讓鍋有空余”.如何來突破3個餅的烙法，讓學(xué)生能真正理解這種烙法，明白為什么時間會少，少在那里？我覺得很有必要進(jìn)行兩次動手操作探究.

第一次操作：

師：請你猜一猜烙3個餅需要幾次，一共需要多少時間？

生2：我的方法只要9分鐘就夠了.

師：請同學(xué)們動手來驗證9分鐘的烙法是否可行.

（動手驗證并且記錄）

學(xué)生到黑板上演示9分鐘到烙法，敘述烙餅的過程.

師：2號餅為什么要放在黑板上？

生2：拿出2號餅，才可以烙1號和3號，這樣用的時間就最少.

生3演示烙餅過程

第二次操作：

師：這種方法，請你動手再操作一遍，并重新記錄.

生：9分鐘的烙法，因為這種方法用的時間少.

師：時間少？少在哪里？

生：12分鐘的烙法烙了4次，9分鐘的只要3次就夠了.

師：為什么次數(shù)會不一樣呢？

生：12分鐘的烙法第3、4次，鍋里只烙了一個餅，鍋里有空余.

師：那你們覺得怎么烙最省時間？

生：只要每次總烙2個餅，這樣所用的時間肯定最少.

從統(tǒng)計表中可以看出：1. 學(xué)生能快速說出9分鐘烙法的人數(shù)很少，大部分學(xué)生的想法都是要烙12分鐘；2. 第一次講解后大部分學(xué)生已掌握，但這種掌握是模仿的，不是學(xué)生主動探索出來的；3. 第二次操作后，幾乎全部的學(xué)生都會了.所以2次動手操作很有必要，進(jìn)一步感悟“交叉烙”的優(yōu)化性，為后面學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，只有在烙3個餅的時候，舍得花時間，整個課堂才會更有深意.

2. “烙餅問題”的運(yùn)用

“烙餅問題”是一種數(shù)學(xué)思考方法，優(yōu)化思想是我們生活中經(jīng)常遇到的問題.當(dāng)學(xué)生建立模型后，還應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用優(yōu)化思想，利用烙餅問題的模型解決生活中的實例，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.

【我的教學(xué)片斷】

出示教材107頁的例2.

師：這個題目和我們學(xué)過的“烙餅問題”有聯(lián)系嗎？

生：可以把醫(yī)生看成是“鍋”，可以把同學(xué)看成是“餅”.

師：怎么檢查所用的時間肯定最少？

生：只要每個檢查沒有空余是節(jié)省時間的最有效策略.

檢查身體是生活中經(jīng)常碰到的例子，學(xué)生在理解題意以后，一開始很難與剛剛學(xué)過的烙餅問題產(chǎn)生聯(lián)系，這時通過教師的提醒，學(xué)生馬上聯(lián)想到了把醫(yī)生和學(xué)生分別看成“鍋”和“餅”，運(yùn)用優(yōu)化思想來解決這個問題，讓學(xué)生通過解決實際問題進(jìn)一步體會優(yōu)化思想在實際生活中的作用.

烙餅問題在教學(xué)中不僅要關(guān)注解決問題方法的探究，還要對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透.如果說“吃餅”是結(jié)果的話那么“烙餅”就是過程，如何讓學(xué)生吃到“餅”呢？我想只有落實烙餅的過程，抓住核心問題，舍去學(xué)生已經(jīng)會的或者對學(xué)生促進(jìn)意義不大的，學(xué)生不但能真正吃到“餅”，還能在這個過程中體驗到快樂.