電活性聚合物圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性分析

王成敏，任九生

（1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；

2.上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444；

3.上海大學(xué)上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444）

電活性聚合物圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性分析

王成敏1，任九生2，3

（1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；

2.上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444；

3.上海大學(xué)上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444）

基于有限變形動(dòng)力學(xué)理論,研究了電活性聚合物圓柱殼在內(nèi)表面突加內(nèi)壓及電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)與破壞問(wèn)題.首先得到了描述電活性聚合物圓柱殼內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)的非線性常微分方程,然后對(duì)方程進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)定性分析.當(dāng)突加內(nèi)壓小于某個(gè)確定的臨界值時(shí),圓柱殼產(chǎn)生非線性周期振動(dòng),而當(dāng)突加內(nèi)壓大于這個(gè)臨界值時(shí),圓柱殼將被破壞.通過(guò)對(duì)振動(dòng)的振幅、相圖和周期的計(jì)算,討論了外加電場(chǎng)、內(nèi)壓及圓柱殼的厚度等參數(shù)對(duì)圓柱殼振動(dòng)情況的影響.

電活性聚合物；突加內(nèi)壓；非線性周期振動(dòng)；臨界載荷；破壞

電活性聚合物是一類新型智能材料，在電激勵(lì)下可以發(fā)生較大應(yīng)變，具有較高的機(jī)電轉(zhuǎn)換效率.19世紀(jì)80年代機(jī)電響應(yīng)現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)［1］，這是人類首次研究電活性聚合物.該類材料具有質(zhì)量輕、易于成形、運(yùn)動(dòng)靈活、價(jià)格便宜和不易疲勞損壞等優(yōu)點(diǎn)［2-4］，在機(jī)器人、醫(yī)用、航空、航天等多個(gè)領(lǐng)域備受關(guān)注［5-7］.自20世紀(jì)90年代以來(lái)，眾多國(guó)內(nèi)外研究者對(duì)電活性聚合物性能、模型和應(yīng)用開(kāi)展了實(shí)驗(yàn)研究［8-10］.近10年來(lái)，電活性聚合物材料發(fā)展尤為迅速，一系列性能優(yōu)異的電活性聚合物材料相繼被開(kāi)發(fā)出來(lái)，它的應(yīng)用也日益廣泛［11-12］.

電活性聚合物在靜載下的力學(xué)特性在國(guó)內(nèi)外得到廣泛研究，但其在動(dòng)載下的響應(yīng)問(wèn)題還有待深入探究.本研究的目的是通過(guò)分析電活性聚合物圓柱殼在突加內(nèi)壓作用下的運(yùn)動(dòng)及破壞問(wèn)題，為其在工程中的應(yīng)用提供一定的理論指導(dǎo).本研究首先建立了問(wèn)題的控制方程組，得到了描述電活性聚合物圓柱殼內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)的二階非線性常微分方程，然后對(duì)方程組進(jìn)行計(jì)算和動(dòng)力學(xué)定性分析，求出方程解及振動(dòng)的相圖、振幅、周期等結(jié)果.通過(guò)對(duì)振動(dòng)的振幅、相圖和周期的分析，討論了外加電場(chǎng)、內(nèi)壓及圓柱殼的厚度等因素對(duì)圓柱殼振動(dòng)情況的影響.

1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

考慮一個(gè)內(nèi)徑為A、外徑為B、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的不可壓電活性聚合物圓柱殼（見(jiàn)圖1），在初始時(shí)刻t=0時(shí)在內(nèi)表面受到突加內(nèi)壓p（t），并在圓柱殼內(nèi)外表面施加電場(chǎng).設(shè)圓柱殼變形后其內(nèi)徑為a、外徑為b、長(zhǎng)度為l.分別取物質(zhì)坐標(biāo)系和空間坐標(biāo)系為（R，Θ，Z）和（r,θ,z），則圓柱殼的運(yùn)動(dòng)模式為

式中，r（R,t）為待定函數(shù)；軸向拉伸λz為圓柱殼預(yù)加應(yīng)變限制，是一預(yù)先給定的常數(shù).相應(yīng)的變形梯度張量F為

相應(yīng)的圓柱殼主伸長(zhǎng)

圖1 變形前和變形后的圓柱殼結(jié)構(gòu)Fig.1 Undeformed and deformed configurations of the cylindrical shell

由材料的不可壓條件可得

于是

本研究考慮廣義不可壓Ogden電活性聚合物材料［13］，其應(yīng)變能函數(shù)為

式中，ε為材料的介電常數(shù)，取ε=2.21×10-11F/m［14］；D為徑向電位移.材料常數(shù)［15-18］

電活性聚合物的應(yīng)力

式中，P（r,t）為靜水壓力.

對(duì)圓柱殼而言，電位移D和電勢(shì)φ的關(guān)系為

圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程為

圓柱殼受突加內(nèi)壓作用的邊界條件為

滿足無(wú)約束自然狀態(tài)的初始條件為

電場(chǎng)的邊界條件為

2 問(wèn)題的求解

由式（5）可得

將式（7）、（13）代入運(yùn)動(dòng)方程（9），并對(duì)r積分可得

將式（14）代入（7a），利用式（11a）可得P（a,t）=p（t）.代入式（11b）有

引入變換

令ξ=r/R，于是式（15）可改寫(xiě)為

其中

若存在x，使得如下函數(shù)

成立，則方程（17）有解.當(dāng)突加載荷為常值時(shí)，即p（t）≡p時(shí)，方程（17）的解為

3 結(jié)果與討論

為判定方程（16）是否有解，作出F（x,p）與x的關(guān)系曲線，不同參數(shù)下F（x,p）～x的關(guān)系曲線如圖2～5所示.若方程（16）有解，則不同參數(shù)下不同載荷p對(duì)應(yīng)的x值可根據(jù)

得到，記為xmax，xmax與載荷p的關(guān)系曲線如圖6～8所示.圖9給出了圓柱殼的時(shí)程曲線.由方程（17）可得到不同的xmax對(duì)應(yīng)的速度與x的關(guān)系曲線，即運(yùn)動(dòng)的相圖（見(jiàn)圖10～13）.

圖2 F（x,p）～x關(guān)系曲線（不同載荷）Fig.2 F（x,p）～x curves（different loads）

圖3 不同壁厚下F（x,p）～x關(guān)系曲線Fig.3 F（x,p）～x curves for shells of different thicknesses

圖4 不同電壓下F（x,p）～x關(guān)系曲線Fig.4 F（x,p）～x curves for different voltages

圖5 不同軸向拉伸下F（x,p）～x關(guān)系曲線Fig.5 F（x,p）～x curves for different axial stretches

從圖1～4可以看出，對(duì)某一圓柱殼總是存在一個(gè)突加內(nèi)壓的臨界載荷值pcr（當(dāng)δ=1.04，λz=1.2，Φ=1.0×105V時(shí)，pcr約為1.1MPa）.

當(dāng)p小于pcr時(shí)，F(xiàn)（x,p）～x曲線與x軸有（1，0）和（xmax，0）兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)1＜x＜xmax時(shí)，F(xiàn)（x,p）＞0，當(dāng)x＞xmax時(shí)，F(xiàn)（x,p）＜0，表明方程（17）有兩個(gè)解x=1和x=xmax，圓柱殼可能會(huì)產(chǎn)生周期性運(yùn)動(dòng).觀察時(shí)程曲線（見(jiàn)圖9）可見(jiàn)，在p＜pcr時(shí)圓柱殼的運(yùn)動(dòng)的確是周期性運(yùn)動(dòng)，其相圖（見(jiàn)圖10～13）是一條封閉的曲線.

而當(dāng)p＞pcr時(shí)，F(xiàn)（x，p）＞0，F(xiàn)（x，p）～x曲線與x軸僅存在（1，0）一個(gè)交點(diǎn)，即方程（17）僅存在唯一解x=1，則圓柱殼的運(yùn)動(dòng)不是周期性運(yùn)動(dòng).相圖（見(jiàn)圖10～13）也表明，當(dāng)p＞pcr時(shí)，圓柱殼的相圖不是封閉的曲線，證實(shí)了當(dāng)p＞pcr時(shí)，圓柱殼不可能產(chǎn)生周期性運(yùn)動(dòng).此時(shí)方程的解，即圓柱殼運(yùn)動(dòng)的幅值隨時(shí)間的推移無(wú)限制地增大，表明隨著時(shí)間的推移圓柱殼最終會(huì)被破壞.

圖6 不同軸向拉伸下的振幅載荷關(guān)系曲線Fig.6 Amplitude and pressure curves for different axial stretches

圖8 不同電壓下的振幅載荷關(guān)系曲線Fig.8 Amplitude and pressure curves for different voltages

圖9 圓柱殼時(shí)程曲線Fig.9 Oscillating response of cylindrical shell

圓柱殼發(fā)生周期振動(dòng)的振幅就是曲線F（x,p）～x與x軸交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)xmax.由相圖10～13可見(jiàn)，在t=0時(shí)，x（0）=1，（0）=0，表明在初始時(shí)刻圓柱殼未變形，其初始速度為零.隨著時(shí)間的推移，x逐漸增大，速度＞0，先增大然后逐漸減小；當(dāng)x增大到最大值xmax時(shí)，速度減小到零；隨著時(shí)間的繼續(xù)推移，x逐漸減小，速度＜0，的絕對(duì)值先增大后減小，當(dāng)x減小到1時(shí)，速度變?yōu)榱?，相圖曲線～x閉合，圓柱殼的一個(gè)周期振動(dòng)完成，然后進(jìn)行周期性循環(huán).

圖6～8表明，圓柱殼周期性振動(dòng)的振幅xmax隨著內(nèi)壓p的增大而增大.同時(shí)圖6也表明，當(dāng)軸向拉伸增大時(shí)，振幅xmax減小，臨界載荷pcr略微增大，可知軸向拉伸抑制圓柱殼周期性振動(dòng)；圖7表明，當(dāng)圓柱殼厚度減小時(shí)，振幅xmax變大，臨界載荷pcr變小，可知圓柱殼壁厚越薄，越容易發(fā)生破壞；圖8表明，當(dāng)外加電壓增大時(shí)，振幅xmax變大，臨界載荷pcr減小，表明外加電壓促進(jìn)了圓柱殼周期性振動(dòng).

圖10 不同載荷下的相圖Fig.10 Phase diagram for different loads

圖11 不同壁厚圓柱殼的相圖Fig.11 Phase diagram for shells of different thicknesses

圖12 不同軸向拉伸下的相圖Fig.12 Phase diagram for different axial stretches

圖13 不同電壓下的相圖Fig.13 Phase diagram for different voltages

圖10～13表明，當(dāng)p＜pcr時(shí)，圓柱殼的相圖是一條對(duì)稱的封閉曲線，表明當(dāng)p＜pcr時(shí)圓柱殼發(fā)生周期性振動(dòng)；當(dāng)p＞pcr時(shí)，圓柱殼的相圖不是封閉的曲線，表明當(dāng)p＞pcr時(shí)圓柱殼的運(yùn)動(dòng)不是周期性運(yùn)動(dòng).由

求得不同的xmax對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期T.如當(dāng)δ=1.04，λz=1.2，Φ=1.0×105V時(shí)，相應(yīng)于p=0.40，0.45，0.48，0.50MPa的振動(dòng)周期分別為6.38，5.60，5.12，4.86 ms.當(dāng)δ=1.04，λz=1.2，p=0.7 MPa時(shí)，相應(yīng)于Φ=0，1.0×105，1.5×105，2.0×105V的振動(dòng)周期分別為6.84，6.95，7.13，7.68 ms.結(jié)果表明電活性聚合物圓柱殼發(fā)生周期振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)周期隨著突加內(nèi)壓的增大而減小，隨外加電壓的增大而增大.

4 結(jié)束語(yǔ)

本研究分析了在突加內(nèi)壓和外加電場(chǎng)作用下的不可壓電活性聚合物圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性，得到了描述電活性聚合物圓柱殼內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)的非線性常微分方程，通過(guò)計(jì)算和動(dòng)力學(xué)定性分析發(fā)現(xiàn)，突加內(nèi)壓存在一個(gè)確定的臨界值.當(dāng)突加內(nèi)壓小于這個(gè)臨界值時(shí)，圓柱殼內(nèi)表面發(fā)生周期性的非線性振動(dòng)；當(dāng)突加內(nèi)壓大于這個(gè)臨界值時(shí)，圓柱殼將被破壞.同時(shí)研究結(jié)果還表明：減小圓柱殼厚度，突加內(nèi)壓的臨界值減小，周期性振動(dòng)的振幅增大，即圓柱殼越薄，越容易被破壞；當(dāng)外加電壓增大時(shí)，臨界載荷值也減小，周期性振動(dòng)的振幅增大，即外加電壓有促進(jìn)振動(dòng)的作用；圓柱殼發(fā)生周期性運(yùn)動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)周期隨內(nèi)壓的增大而減小，隨電壓的增大而增大.

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Dynamic analysis of electro-active polymer cylindrical shells

WANG Chengmin1，REN Jiusheng2,3
（1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，China；
2.College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China；
3.Key Laboratory of Mechanics in Energy Engineering，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

Based on the theory of finite elasto-dynamics,motion and destruction of an electro-active polymer cylindrical shell subject to suddenly applied internal pressure and an electric field are studied.A nonlinear differential equation describing the motion of the shell's inner surface is developed.Numerical computation and qualitative dynamic analysis are conducted.It is shown that nonlinear periodic oscillation exists when the internal pressure is less than a critical value.When the pressure exceeds the value,the shell is destroyed.The effects of electric field,internal pressure and thickness of the shell on oscillation are discussed by examining vibration amplitudes,phase diagrams and periods.

electro-active polymer；suddenly applied internal pressure；nonlinear periodic oscillation；critical pressure；destroy

O 343.5

A

1007-2861（2016）04-0486-11

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.022

2014-11-28

上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目（S30106）

任九生（1970—），男，教授，博士，研究方向?yàn)楣腆w力學(xué).E-mail：jsren@shu.edu.cn