對(duì)四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)等效電路的研究

劉松山

（河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院教務(wù)處，河南鄭州 451464）

對(duì)四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)等效電路的研究

劉松山

（河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院教務(wù)處，河南鄭州 451464）

對(duì)電阻不相等的2×4階蛛網(wǎng)電路，應(yīng)用星形電路與多角形電路的等效互換方法和構(gòu)建等效條件方法，將其等效為最簡(jiǎn)單的電路.計(jì)算了該電路A1—A4端鈕之間的等效電阻，并用Multisim 12中的萬(wàn)用表對(duì)原電路和等效電路的A1—A4端鈕之間的等效電阻進(jìn)行了仿真測(cè)量.結(jié)果是理論計(jì)算與仿真測(cè)量結(jié)果一致.分析了3×4階蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電路問(wèn)題.這項(xiàng)研究的目的是把電阻不相等的四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)等效化簡(jiǎn)為在四端星形電路外端鈕之間接有1～2個(gè)電阻的電路，以利于分析計(jì)算.介紹了對(duì)電路等效的一種新方法，即應(yīng)用星形電路與多角形電路等效互換方法和構(gòu)建等效條件方法，可以解決含有一般星形電路或多角形電路的等效化簡(jiǎn)問(wèn)題.

蛛網(wǎng)模型；等效變換；星形電路；多角形電路

等效變換廣泛應(yīng)用于電路研究的各個(gè)領(lǐng)域，對(duì)電路等效的研究在實(shí)際應(yīng)用中有著重要意義［1］.文獻(xiàn)［2］對(duì)各電阻相等的2×n階蛛網(wǎng)模型，采用網(wǎng)路分析和矩陣變換的方法，對(duì)A、O之間等效電阻的計(jì)算公式進(jìn)行了研究，而對(duì)外端鈕之間等效電阻的計(jì)算方法未做研究.若該蛛網(wǎng)模型中的電阻不全等，計(jì)算A、O之間等效電阻的公式將無(wú)法使用.本文應(yīng)用星形電路與多角形電路的等效互換方法和構(gòu)建等效條件方法，對(duì)電阻不相等的2×4階蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)如圖1（a），進(jìn)行了等效分析，得出它的最簡(jiǎn)單的等效電路如圖1（k）.計(jì)算了該電路A1—A4端鈕之間的等效電阻，并用Multisim 12中的萬(wàn)用表對(duì)圖1（a）和圖1（k）電路A1—A4端鈕之間的等效電阻進(jìn)行了仿真測(cè)量.結(jié)果是理論計(jì)算與仿真測(cè)量結(jié)果一致.這項(xiàng)研究的目的是把電阻不相等的四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)等效化簡(jiǎn)為在四端星形電路外端鈕之間接有1～2個(gè)電阻的電路，以利于分析計(jì)算.并通過(guò)此例介紹對(duì)電路等效的一種新方法，即應(yīng)用星形電路與多角形電路等效互換方法和構(gòu)建等效條件方法，解決含有一般星形電路或多角形電路的等效化簡(jiǎn)問(wèn)題，擴(kuò)展Y-△變換方法［3］的應(yīng)用范圍.此方法適用于對(duì)無(wú)源多端網(wǎng)絡(luò)的等效變換.

1　等效化簡(jiǎn)的基本理論

星形電路等效多角形電路的公式：Gjk=GjGk/（G1+G2+…+Gn），其電阻形式的公式為

多角形電路等效星形電路的公式［4］為

得，G13/G23=K/G12，G14/G24=K/G12，G34=G13G14/K，Gif=Gfi.當(dāng)i=2時(shí)，f≠g，f、g∈｛1，3，4｝有

因此，GifGig/Gfg的各項(xiàng)相等.同理可證：i取3或4時(shí)，GifGig/Gfg的各項(xiàng)也相等.故此結(jié)論成立.

GifGig/Gfg的電阻形式的式子為Rfg/RifRig.當(dāng)某個(gè)多角形電路不滿足式（2）的等效條件時(shí)，該電路不能等效成星形電路.對(duì)于這類多角形電路，因?yàn)镽fg/RifRig中的Rfg各項(xiàng)相對(duì)獨(dú)立，用分解電阻的方法［5］，把Rfg分解為兩個(gè)電阻的并聯(lián)，通過(guò)改變某項(xiàng)Rfg/RifRig中Rfg的值，使式（2）的等效條件得到滿足，這類多角形電路可以等效成在星形電路的外端鈕之間接有電阻的電路，此方法稱作構(gòu)建等效條件法.下面對(duì)圖1（a）電路進(jìn)行等效分析.

2　對(duì)2　×4　階蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效分析

四端蛛網(wǎng)電路之一如圖1（a），是m×4階蛛網(wǎng)電路中m=2的情況（從B1—B4到O之間第一層，B1—B4與A1—A4之間是第二層，因此，m=2），電路中各電阻值一般不相等.為了簡(jiǎn)便計(jì)算過(guò)程，設(shè)r0= 1 Ω，r=4 Ω，R=6 Ω.下面分析圖1（a）電路的等效電路，并計(jì)算A1—A4端鈕之間的等效電阻.

把接于節(jié)點(diǎn)O星形連接的4個(gè)r0電阻等效為多角形連接，由式（1）得

同理，Rb13=Rb14=Rb23=Rb24=Rb34=4 Ω.為了簡(jiǎn)便把圖1（a）中B1—B4之間以內(nèi)的電路抽出畫成圖1（b），B1與B2、B2與B3、B3與B4、B1與B4之間的并聯(lián)電阻分別為Rc12=Rb12//r=2 Ω，Rc23= Rb23//r=2 Ω，Rc34=Rb34//r=2 Ω，Rc14=Rb14//r=2 Ω.若把圖1（b）的多角形電路等效為星形電路，可以進(jìn)一步等效圖1（a）電路.應(yīng)用式（2）的等效條件分析圖1（b）電路，因?yàn)?/p>

不全相等.在此應(yīng)用構(gòu)建等效條件法，分解電阻Rb24為R′c24和R″c24并聯(lián)，用R′c24代替Rb24，讓R′c24/Rc12Rc14= 0.25 S，解得R′c24=1Ω，以及R″c24=Rb24R′c24/（R′c24-Rb24）=-4/3 Ω，圖1（b）電路等效為圖1（c）電路.在該電路中除R″c24之外的多角形電路滿足式（2）的等效條件，把此多角形電路等效為星形電路，由式（2）得

同理，Rd3=2/3 Ω，Rd4=1/3 Ω.把Rd1、Rd2、Rd3和Rd4分別接在圖1（a）的B1、B2、B3和B4端鈕上，并把R′c24并聯(lián)在B2與B4之間如圖1（d）.把該電路中組成三角形電路的Rd2、Rd4和R″c24等效成星形連接，接在端鈕P、B2、B4的電阻分別為：

合并圖1（d）電路中的串聯(lián)電阻，該電路等效為圖1（e）電路，其中

把圖1（e）電路中星形連接的RP、Re2和Re4等效成三角形連接，如圖1（f）所示，其中

由式（1）把圖1（f）內(nèi)部的星形電路等效為多角形電路如圖1（g），其中

同理，Rg23=Rg34=Rg14=6 Ω，Rg24=4.8 Ω.合并圖1（g）中的并聯(lián)電阻，圖1（g）電路等效為圖1（h）電路，其中

同理，Rh34=Rh14=Rh23=2.4 Ω.對(duì)圖1（h）電路應(yīng)用式（2）的等效條件分析，因?yàn)?/p>

不相等，在此分解電阻Rh23為R′h23和R″h23并聯(lián)，分解Rh34為R′h34和R″h34并聯(lián)，用R′h23代替Rh23，用R′h34代替Rh34，讓R′h23/Rh12Rg13=R′h34/Rg13Rh14=25/24 S，解得R′h23=23.4375 Ω，R′h34=18.75 Ω以及

圖1（h）電路等效為圖1（i）電路，把該電路中除R″h23和R″h34之外的多角形電路等效成星形電路如圖1（j）.其中

同理，R3=625/154 Ω，R4=100/77 Ω.把圖1（j）中三角形連接的R2、R3和R″h23等效為星形連接如圖1（k）電路.其中

圖1（a）電路等效為圖1（k）電路.圖1（k）電路是無(wú)法再化簡(jiǎn)的四端網(wǎng)絡(luò)，它是圖1（a）電路最簡(jiǎn)單的等效電路之一［也可分解圖1（h）中的Rh24和Rh34進(jìn)行等效］.圖1（a）電路A1—A4端鈕之間的等效電阻由圖1（k）電路對(duì)應(yīng)端鈕得

同理，R13=R24≈1.8970 Ω，R14=R23≈1.5434 Ω.

圖1　2×4階蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效交換

3　仿真測(cè)量與理論分析的比較

Multisim 12具有強(qiáng)大的測(cè)試功能和可信的測(cè)試結(jié)果.下面應(yīng)用該程序進(jìn)行仿真測(cè)量.

1）對(duì)圖1（a）電路的仿真測(cè)量.用Multisim 12中的萬(wàn)用表測(cè)量該電路A1—A4端鈕之間的等效電阻為：R12測(cè)≈1.726 Ω，R34測(cè)≈1.518 Ω，R14測(cè)=R23測(cè)≈1.543 Ω，R13測(cè)=R24測(cè)≈1.897 Ω.

2）對(duì)圖1（k）電路的仿真測(cè)量.用Multisim 12中的萬(wàn)用表測(cè)量該電路A1—A4端鈕之間的等效電阻為：R′12測(cè)≈1.726 Ω，R′34測(cè)≈1.518 Ω，R′14測(cè)=R′23測(cè)≈1.543 Ω，R′13測(cè)=R′24測(cè)≈1.897 Ω.

3）比較討論.因?yàn)?，仿真測(cè)量1）和2）的測(cè)量結(jié)果相同，所以，圖1（k）是圖1（a）電路的等效電路.又因?yàn)?，?duì)圖1（k）電路A1—A4端鈕之間等效電阻的理論計(jì)算與仿真測(cè)量的結(jié)果，在誤差范圍之內(nèi)相等，即：R12≈R12測(cè)、R13≈R13測(cè)、R14≈R14測(cè)、R23≈R23測(cè)、R24≈R24測(cè)、R34≈R34測(cè)，所以，把圖1（a）電路等效成圖1（k）電路的理論分析正確.

4　分析四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電路

因?yàn)椋?×4階蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)相當(dāng)于把圖1（a）電路中B1—B4之內(nèi)相連接的電阻去掉，讓B1—B4端鈕分別與圖1（k）電路的A1—A4端鈕連接的電路如圖2（a），因此，對(duì)3×4階蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效變換，相當(dāng)于對(duì)圖2（a）電路進(jìn)行等效分析.在圖2（a）電路中，把接在節(jié)點(diǎn)A4上的電阻R4、r0和R″h34以及接在節(jié)點(diǎn)O1上的電阻R′、R′3和R′2+r0分別等效成三角形連接，等效電路如圖2（b），在節(jié)點(diǎn)O2與A3之間有兩個(gè)并聯(lián)電阻合并為r3.把圖2（b）中接在節(jié)點(diǎn)O2上的電阻r1、r3、r4和r0+R1用式（1）等效成多角形連接如圖2（c）電路，合并R、r6為r12，合并r、r9為r13，把圖2（c）中接在節(jié)點(diǎn)A3上的電阻r7、r8、r10和r0用式（1）等效成多角形連接如圖2（d）電路，其中r19是r11與接在C2、C4之間的另一個(gè)電阻的等效電阻.接下來(lái)的變換方法與圖1（h）至（k）電路相同，只是與圖1（h）和（k）中電阻的值不同，端鈕A1—A4分別改成C1—C4.當(dāng)對(duì)圖1（h）電路應(yīng)用式（2）的等效條件分析時(shí)，因?yàn)?，式?）中最多是三個(gè)式子不相等，應(yīng)用構(gòu)建等效條件法，最多需要分解兩個(gè)電阻就滿足式（2）的等效條件，因此，圖2（a）電路的等效電路一般與圖1（j）或（k）電路的結(jié)構(gòu)類似；若式（3）中有兩個(gè)式子相等，只需分解一個(gè)電阻（如Rh34），圖1（h）電路的等效電路為圖1（j）中沒(méi)有R″h23的電路；若式（3）的三個(gè)式子相等，圖1（h）電路的等效電路如圖1（j）中沒(méi)有R″h23和R″h34的電路，此情況一般沒(méi)有.

當(dāng)m=4，5，…，m取限值時(shí)，對(duì)這些四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)等效分析的方法與對(duì)3×4階蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)等效分析的方法相同，所得等效電路也相同.所以，四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電路一般是，在四端星形電路外端鈕之間接有1～2個(gè)電阻的電路，與圖1（j）或（k）的電路類似.

圖2　對(duì)四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)等效電路的預(yù)測(cè)分析

5　結(jié)論

本文應(yīng)用星形電路與多角形電路等效互換方法和構(gòu)建等效條件方法，把電阻不相等的2×4階蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)等效為最簡(jiǎn)單的等效電路如圖1（j）或（k）.對(duì)四端蛛網(wǎng)電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行等效化簡(jiǎn)的基本方法是，從蛛網(wǎng)電路的內(nèi)層向外逐層進(jìn)行等效化簡(jiǎn).其等效電路一般是，在四端星形電路外端鈕之間接有1～2個(gè)電阻的電路.

用Multisim 12中的萬(wàn)用表對(duì)圖1（a）和圖1（k）電路A1—A4端鈕之間等效電阻的仿真測(cè)量結(jié)果相同，并與圖1（k）電路對(duì)應(yīng)端鈕之間理論計(jì)算的等效電阻值在誤差范圍內(nèi)也相等.由此可見，本文介紹的應(yīng)用星形電路與多角形電路等效互換方法和構(gòu)建等效條件方法，解決含有星形電路或多角形電路的等效化簡(jiǎn)問(wèn)題的新方法正確.該方法將有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.此方法也適用于把電阻R改成阻抗Z的無(wú)源多端網(wǎng)絡(luò)的等效分析.

從圖1的電路圖中可以看出，通過(guò)對(duì)電路進(jìn)行等效變換，可以把平面電路等效成非平面電路，也可以把非平面電路等效成平面電路.由此得出一個(gè)結(jié)論：通過(guò)等效變換可以使平面電路與非平面電路相互等效.

［1］ 譚志中，陸建隆.多邊形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的統(tǒng)一建構(gòu)［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，35（2）：140-144.

［2］ 譚志中.2×n階蛛網(wǎng)模型的等效電阻公式及2個(gè)猜想［J］.大學(xué)物理，2013，32（4）：16-21.

［3］ 邱關(guān)源.電路［M］.4版.北京：高等教育出版社，1999.

［4］ 劉松山.對(duì)星形-多角形電路等效變換的研究［J］.大學(xué)物理，2014，33（11）：15-19.

［5］ 劉松山.基于對(duì)稱性研究2×n階梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻［J］.大學(xué)物理，2015，34（1）：26-29.

Investigation on the equivalent circuit of four-terminal cobweb resistance network

LIU Song-shan
（Dean’s Office，Henan Arts Vocational College，Zhengzhou，Henan 451464，China）

The equivalent transformation method for star circuit and polygon circuit and the equivalent condition construction method are applied to the 2×4 order cobweb circuit with different resistance，in which the circuit is termed into a simplest equivalent one.The equivalent resistances at A1—A4are calculated，and the Multisim 12 multi-meter is used to get a simulative test of the former circuit and equivalent resistances between A1—A4terminals.The results show that the theoretical calculation and the simulative test are consistent.The equivalence circuit problem of the 3×4 order cobweb resistance network is analyzed.The 4-end cobweb resistance network with different resistance can be simplified as a 4-end star circuit with 1 or 2 resistances between terminals，which is convenient for calculation.A new method is given for circuit equivalence.According to the method，the equivalent transformation method between star circuit and polygon circuit and equivalent condition construction method can be used to solve the problem of the equivalent simplification between general star circuit and polygon circuit.

cobweb model；equivalent conversion；star circuit；polygon circuit

O 441.1

A

1000-0712（2016）09-0012-04

2015-11-17；

2016-03-12

河南省自然科學(xué)基金研究項(xiàng)目（152300410213）資助

劉松山（1958—）男，河南鄭州人，河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院副教授，主要從事電路理論教學(xué)與應(yīng)用研究工作.