基于混沌優(yōu)化的約束優(yōu)化問題求解方法實(shí)現(xiàn)

劉道文

(許昌學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

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基于混沌優(yōu)化的約束優(yōu)化問題求解方法實(shí)現(xiàn)

劉道文

(許昌學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

在分析混沌序列遍歷性基礎(chǔ)上，將混沌序列映射到多極點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的搜索區(qū)間搜索全局最優(yōu)解.研究混沌優(yōu)化算法的一般步驟，設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)混沌優(yōu)化算法，并將混沌優(yōu)化算法應(yīng)用于帶約束條件的最優(yōu)化求解問題.仿真結(jié)果表明，混沌優(yōu)化算法具有較好的全局搜索最優(yōu)解能力，驗(yàn)證了其在約束優(yōu)化問題求解上的可行性和有效性.

混沌優(yōu)化；約束條件；全局搜索；遍歷性

最優(yōu)化問題求解是數(shù)學(xué)與計(jì)算技術(shù)中一種求極值的方法，為工程中實(shí)際問題的解決提供了理論基礎(chǔ)和方法支持[1].科學(xué)和工程實(shí)踐領(lǐng)域中的許多優(yōu)化問題一般都可以歸結(jié)成為求解一個(gè)帶有約束條件的函數(shù)優(yōu)化問題，但已有的許多約束優(yōu)化問題求解算法是基于梯度的概念，一般只能保證求到局部最優(yōu)解[2].混沌優(yōu)化作為一種全局優(yōu)化算法能夠較好地避免陷入局部極小值的問題，能夠在決策問題狀態(tài)空間中搜索到全局最優(yōu)解，且與初始點(diǎn)選擇的關(guān)聯(lián)度弱，其基本思想是將混沌序列線性映射到優(yōu)化變量區(qū)間，并利用混沌變量對目標(biāo)函數(shù)全局極大值進(jìn)行搜索[3].

一般地，科學(xué)研究和工程實(shí)踐中大多數(shù)的帶有約束條件問題的處理可轉(zhuǎn)化成為對一個(gè)帶有約束條件函數(shù)的優(yōu)化.通常，一個(gè)約束優(yōu)化問題可以描述如下[4]：

(1)

1　混沌遍歷特性

混沌是指確定性非線性系統(tǒng)中存在的一種貌似無規(guī)則、隨機(jī)的現(xiàn)象，具有遍歷性、隨機(jī)性和內(nèi)在規(guī)律性，能在一定范圍內(nèi)按其內(nèi)在規(guī)律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)[4].因此，在充分長的時(shí)間區(qū)間里，隨著時(shí)間的推移，混沌運(yùn)動將遍歷狀態(tài)空間上的每一個(gè)點(diǎn)，如圖1所示.混沌的遍歷性是利用混沌序列進(jìn)行全局最優(yōu)解搜索的理論基礎(chǔ)，與隨機(jī)過程不同的是，混沌在看似無規(guī)則的運(yùn)動過程中蘊(yùn)含著自身的內(nèi)在演化規(guī)律，是由確定性的內(nèi)在物理規(guī)律引起的，是源于內(nèi)在特性的外在表現(xiàn)，混沌的關(guān)聯(lián)維數(shù)曲線在一定范圍內(nèi)趨于收斂，而隨機(jī)噪聲的關(guān)聯(lián)維數(shù)趨于發(fā)散，如圖2所示.本文以Logistic混沌時(shí)間序列為例驗(yàn)證混沌的遍歷特性，并利用關(guān)聯(lián)維數(shù)分析Logistic混沌時(shí)間序列蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，證明混沌時(shí)間序列與均勻分布的隨機(jī)過程本質(zhì)上的不同，為混沌優(yōu)化提供理論支持.

圖1　混沌分岔圖和時(shí)序圖

圖2　混沌與噪聲關(guān)聯(lián)維數(shù)曲線

2　混沌優(yōu)化算法

本文采用Logistic混沌變量對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行全局最優(yōu)化搜索，對連續(xù)對象的全局極小值優(yōu)化問題[5，6]：

minf(xi)(s.t.xi∈[ai,bi],i=1,2,…n).

(2)

(3)

其中ci,di為常數(shù).

第四步，經(jīng)過第3步的若干次搜索f*保持不變，則按(4)式進(jìn)行第二次載波.

(4)

第六步，如果滿足終止條件則終止搜索并輸出最優(yōu)解，反之則返回第五步繼續(xù)搜索.

3　算法實(shí)現(xiàn)與仿真

針對多極點(diǎn)函數(shù)，利用混沌優(yōu)化算法在整個(gè)解空間內(nèi)搜索全局最優(yōu)值，本文選擇(5)式的多極點(diǎn)函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，如圖3所示，設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)混沌優(yōu)化算法并仿真計(jì)算其全局最優(yōu)值.從圖3可以看出該函數(shù)在定義域范圍內(nèi)有三個(gè)局部極值，但其只有一個(gè)全局最優(yōu)解.對于多極點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)求解問題，利用傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解時(shí)初始點(diǎn)的選擇對最優(yōu)化結(jié)果有較大的影響，很容易陷入局部極值而無法得到全局最優(yōu)解，而利用混沌優(yōu)化可在整個(gè)解空間內(nèi)遍歷各個(gè)點(diǎn)上的值并能搜索到全局最優(yōu)解[9].

(5)

圖3　多極值目標(biāo)函數(shù)

3.1目標(biāo)函數(shù)與約束條件

在求解最優(yōu)化問題時(shí)，對于maxf(x,y)可以轉(zhuǎn)換成minc-f(x,y),?c∈R，在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)具體選擇maxf(x,y)還是minc-f(x,y)可根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)或計(jì)算要求而定[10].為了提高優(yōu)化算法程序的通用性和可靠性，在Matlab中可將目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)成一個(gè)獨(dú)立的代碼模塊并命名為myfun.m，實(shí)現(xiàn)(5)式目標(biāo)函數(shù)的Matlab代碼如下：

function myfun = myfun(x1,x2)

myfun=1-3 *(1 - x1).^2 .*exp(-x1.^2-(x2+1).^2)-10*(x1./5+x1.^3-x2.^5).*exp(-x1.^2-x2.^2)-1/3*exp(-(x1+1).^2-x2.^2);

end

同樣，在Matlab中將目標(biāo)函數(shù)的約束關(guān)系也設(shè)計(jì)成一個(gè)獨(dú)立的代碼模塊并命名為constraint.m，實(shí)現(xiàn)(5)式目標(biāo)函數(shù)約束關(guān)系的Matlab代碼如下：

function constraint=constraint(x1,x2)

if x1>=-3 && x1<=3 && x2>=-3 && x2<=3

constraint=1;

else

constraint=0;

end

3.2算法實(shí)現(xiàn)

利用混沌優(yōu)化算法處理約束優(yōu)化求解問題是基于混沌在能夠充分長的時(shí)間內(nèi)遍歷解空間中的各個(gè)狀態(tài)點(diǎn)，其思路是將混沌序列映射到約束條件空間來求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解[11]，優(yōu)化過程主要包括混沌變量產(chǎn)生和調(diào)制、利用混沌序列值求解目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解判定、二次優(yōu)化等步驟，算法實(shí)現(xiàn)的主要步驟如下：

①用0-1均勻分布的隨機(jī)序列初始化變量向量X，將其調(diào)制到定義域空間并賦給向量Temp_X；

②將Temp_X向量中的數(shù)值代入constraint函數(shù)中用以判定是否滿足約束條件，滿足約束條件則繼續(xù)執(zhí)行，否則結(jié)束本次執(zhí)行；

③在滿足約束條件的情況下，利用初始化的變量向量計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果Max_F，并將其作為最優(yōu)結(jié)果的初始值；

④利用Logistic迭代產(chǎn)生Logistic混沌序列，將每次迭代得到的混沌序列值代入目標(biāo)函數(shù)中計(jì)算其結(jié)果保存于變量Temp_F，并與Max_F進(jìn)行比較，若Temp_F>Max_F，則將當(dāng)前的混沌序列值賦給向量Max_X、Temp_F賦給Max_F；

⑤判定當(dāng)前最優(yōu)解是否滿足要求，滿足要求則結(jié)束，否則進(jìn)行二次混沌優(yōu)化；

⑥重新產(chǎn)生混沌序列用來初始化向量X，并在第一次混沌優(yōu)化得到的搜索空間的基礎(chǔ)上進(jìn)一步縮小搜索范圍尋找最優(yōu)解，并判定所得到的最優(yōu)解是否滿足要求，滿足要求就結(jié)束執(zhí)行，否則重新進(jìn)行下一輪的優(yōu)化求解過程，直至得到滿足要求的最優(yōu)解，算法實(shí)現(xiàn)的程序流程圖如圖4所示.

利用上述的算法流程，針對(5)式的多極值目標(biāo)函數(shù)隨機(jī)進(jìn)行了10次最優(yōu)化仿真計(jì)算，得到的最優(yōu)解和對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值如表1所示.

圖4　算法實(shí)現(xiàn)流程圖

4　結(jié)語

混沌優(yōu)化算法作為一種全局優(yōu)化算法能夠遍歷目標(biāo)函數(shù)解空間上的各個(gè)點(diǎn)，并較好地搜索出目標(biāo)函數(shù)的全局極值，仿真計(jì)算表明，混沌優(yōu)化算法在約束優(yōu)化問題求解上具有可行性和有效性.

表1　仿真計(jì)算結(jié)果

[1]趙曉芬.求解約束優(yōu)化問題的差分演化算法[D].西安:西安電子科技大學(xué),2012.

[2]林丹,李敏強(qiáng),寇紀(jì)凇.基于遺傳算法求解約束優(yōu)化問題的一種算法[J].軟件學(xué)報(bào),2001,12(4):628-629.

[3]張彤,王宏偉.變尺度混沌優(yōu)化方法及其應(yīng)用[J].控制與決策,1999,14(3):285-287

[4]張利彪,周春光,劉小華,等.求解約束優(yōu)化問題的一種新的進(jìn)化算法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào),2004,42(4):534-535.

[5]李兵,蔣慰孫.混沌優(yōu)化方法及其應(yīng)用[J].控制理論與應(yīng)用,1997,14(4):613-615.

[6]胡行華.混沌優(yōu)化算法的研究與應(yīng)用[D].阜新:遼寧工程技術(shù)大學(xué),2008.

[7]李祥飛.混沌優(yōu)化理論在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的研究[D].長沙：中南大學(xué)，2003.

[8]許海平，朱奕，張彤，等.變尺度混沌優(yōu)化方法在電站經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中的應(yīng)用[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，32(4)：55-58.

[9]張雙樂，李鵬，陳超，等.基于改進(jìn)變尺度混沌優(yōu)化算法的微網(wǎng)優(yōu)化運(yùn)行[J].電力自動化設(shè)備，2013，33(1)：71-73.

[10]王爽心，韓芳，朱衡君.基于改進(jìn)變尺度混沌優(yōu)化方法的經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2005，25(24)：90-95.

[11]劉麗軍，李捷，蔡金錠，等.基于強(qiáng)引導(dǎo)粒子群和混沌優(yōu)化的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化[J].電力自動化設(shè)備，2010，30(4)：71-75.

責(zé)任編輯：趙秋宇

Realization of Solving Constrained Optimization Problems Based on Chaos Optimization Method

LIU Dao-wen

(SchoolofElectricalEngineering,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Based on the analysis of ergodicity of chaotic sequences, We can search global optimal solution that the chaotic sequence is mapped to the search rigion. Studying the general procedure of chaos optimization algorithm, designing and implementing chaos optimization algorithm, we apply the chaos optimization algorithm to the optimization problem with constrained condition. The simulation results prove the chaos optimization algorithm has better global search ability for solving constrained optimization problems and test its feasibility and effectiveness.

chaos optimization; constrained condition; global search; ergodicity

2015-07-20

河南省高校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(16A520070);2015年度許昌市科技攻關(guān)項(xiàng)目(1502088)

劉道文(1980—)，男，河南羅山人，副教授，碩士，研究方向：混沌理論與應(yīng)用．

1671-9824(2016)05-0030-05

O241.5

A