基于偏差熵的專家聚類賦權(quán)方法*

王澤洲，陳云翔，蔡忠義，林思銘

（空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，西安710051）

基于偏差熵的專家聚類賦權(quán)方法*

王澤洲，陳云翔，蔡忠義，林思銘

（空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院，西安710051）

在群決策專家聚類賦權(quán)過程中，可能出現(xiàn)專家給出的判斷矩陣一致性比率與排序向量信息熵都相等但專家意見不同，卻被賦予了相同權(quán)重的情況。針對上述問題，提出一種基于偏差熵的專家聚類賦權(quán)方法。該方法采用聚類分析的思想，基于比例構(gòu)建相似系數(shù)，實(shí)現(xiàn)對專家群的分類；引入專家判斷矩陣的一致性權(quán)重，并綜合類容量構(gòu)建權(quán)重指標(biāo)來反映類別間的差異，確定專家類間權(quán)重；最后，在各專家類中建立偏差熵模型，依據(jù)類中專家達(dá)成一致性意見的貢獻(xiàn)程度確定專家的類內(nèi)權(quán)重，并得到專家的總體權(quán)重。具體算例表明，該方法可行有效。

群決策，聚類分析，偏差熵，專家權(quán)重，判斷矩陣

0　引言

專家聚類賦權(quán)法廣泛應(yīng)用于解決社會(huì)生活、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行以及軍事行動(dòng)中的評價(jià)與決策問題。它克服了傳統(tǒng)基于判斷矩陣一致性程度賦權(quán)方法在專家給出的判斷矩陣均為完全一致時(shí)，各專家權(quán)重系數(shù)相同，不能區(qū)分各個(gè)判斷矩陣質(zhì)量的不足，提高了賦權(quán)的科學(xué)性，體現(xiàn)了群決策中非常重要的少數(shù)服從多數(shù)原則。

專家聚類賦權(quán)方法主要包含3個(gè)部分：一是專家聚類，二是類間賦權(quán)，三是類內(nèi)賦權(quán)。傳統(tǒng)專家聚類分析多以排序向量的距離定義相似系數(shù)［1-3］實(shí)現(xiàn)專家聚類，但該種相似系數(shù)難以反映事物的本質(zhì)，且計(jì)算量極大；而傳統(tǒng)的類間賦權(quán)法多依據(jù)專家的類容量來實(shí)現(xiàn)賦權(quán)［2-9］，忽略了專家判斷信息的一致性程度對結(jié)果的影響；現(xiàn)有研究中，類內(nèi)賦權(quán)法主要是依據(jù)判斷矩陣一致性比率［4-5］，判斷矩陣信息熵［6-8］，或者判斷矩陣一致性比率和判斷矩陣信息熵耦合構(gòu)成權(quán)重指標(biāo)［9］來確定專家的類內(nèi)權(quán)重，但上述方法在判斷矩陣一致性比率和排序向量信息熵都相等但專家意見卻不同的情況下，會(huì)導(dǎo)致意見不同的專家被賦予相等的類內(nèi)權(quán)重。

針對上述問題，本文提出一種基于偏差熵的專家聚類賦權(quán)法。以聚類分析為基礎(chǔ)，基于比例構(gòu)建相似系數(shù)［3］，實(shí)現(xiàn)專家聚類；綜合類容量與專家判斷矩陣的一致性權(quán)重構(gòu)，確定專家的類間權(quán)重［10］；同時(shí)引入偏差熵［11-13］來確定單個(gè)專家意見與專家所在類一致性意見的偏差程度，并以此為依據(jù)對專家進(jìn)行類內(nèi)賦權(quán)。體現(xiàn)了少數(shù)服從多數(shù)，精確勝過模糊的原則。

1　群決策專家聚類分析

聚類分析的過程，實(shí)際上是一個(gè)依據(jù)專家判斷矩陣的排序向量，構(gòu)建專家評價(jià)意見的相似系數(shù)，并以此為依據(jù)對專家進(jìn)行聚類的過程。從相似本身的定義來說，其不僅表示的是事物間距離的遠(yuǎn)近，而且更是對事物本內(nèi)在屬性相符的體現(xiàn)。因此，在定義專家的相似系數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)更多地考慮兩者間的相對差異，而不是絕對差異。例如1/4和1/6的絕對差異要小于3和4的絕對差異，但相對于同一個(gè)元素來說，后者則更為接近。尤其是在比較的元素均小于1的情況下，用相對差異來判斷兩者的相似性具有更高的準(zhǔn)確性。

現(xiàn)假設(shè)有M位專家對n個(gè)方案進(jìn)行評價(jià)，第m位專家給出的判斷矩陣為Am，其對應(yīng)的判斷矩陣的歸一化排序向量為Wm=（wm1，wm2，…，wmn）T，m=1，2，…，M。

定義專家m與專家k的相似系數(shù)為：

通過定義可知，有以下結(jié)論成立：

②R（m，k）越接近于0，表明第m位專家與第k位專家的意見越不相似；

③R（m，k）越接近于1，表明第m位專家與第k位專家的意見越相似；

④R（m，k）=R（k，m）；

此時(shí)，可構(gòu)建M位專家的意見相似系數(shù)矩陣為R=（R（m，k））M×M。且由上述結(jié)論可得R為相似關(guān)系矩陣。但R并不具有傳遞性，因此，需要將其改造為等價(jià)矩陣。

定理設(shè)R=（R（m，k））M×M為相似矩陣，則存在一個(gè)最小自然數(shù)b（b≤m），使得傳遞閉包R=Rb，對于一切大于b的自然數(shù)d，都有Rd=Rb。此時(shí)，R=Rb為等價(jià)矩陣。

由上述定理知，通過平方法可以求出相似關(guān)系矩陣R的傳遞閉包R。并以此對專家進(jìn)行聚類分析，具體步驟如下：

第1步：根據(jù)專家給出的判斷矩陣，得到對應(yīng)的一致性排序向量Wm；

第2步：利用式（1）計(jì)算得到專家意見的相似系數(shù)矩陣R，并利用平方法求出相似關(guān)系矩陣R的傳遞閉包；

第3步：選定閾值R*，利用傳遞閉包R實(shí)現(xiàn)對專家的聚類。

2　群決策專家權(quán)重系數(shù)確定

2.1專家類間賦權(quán)分析

在群決策研究中，現(xiàn)有的專家類別間權(quán)重確定方法主要依據(jù)每類專家所包含專家的人數(shù)來確定類別間的權(quán)重系數(shù)。某一類專家的人數(shù)越多，表明該評價(jià)信息符合較多專家的意見，那么就賦予這類專家較大的權(quán)重系數(shù)，相反，如果歸屬于某一類的專家人數(shù)較少，則這類專家賦予較小的權(quán)重系數(shù)。這種考慮雖然體現(xiàn)了少數(shù)服從多數(shù)原則，但缺點(diǎn)仍舊顯著，即當(dāng)某幾類專家人數(shù)相等時(shí)，其類別間權(quán)重都相同，這一點(diǎn)顯然不符合實(shí)際情況。由于每一類專家給出的判斷矩陣不盡相同，一致性程度也難以保持一致，使得排序向量之間存在著差異，從而造成專家類別間也存在差異。所以，即使某幾類專家包含有相同的人數(shù)，其類間權(quán)重也不盡相等。因此，本文采用了一種改進(jìn)型專家類別間權(quán)重的計(jì)算方法。在考慮類別間專家數(shù)目的基礎(chǔ)上，又通過比較每個(gè)專家給出的歸一化排序向量，得到各類專家一致性權(quán)重差異值。若某類專家一致性權(quán)重差異值越小，則說明該類專家的意見更能體現(xiàn)多數(shù)專家的意見，則這類專家被賦予更大的權(quán)重系數(shù)。

設(shè)經(jīng)過聚類分析可知M位專家被分為H類。設(shè)第m位專家所在類Gh中專家的人數(shù)為φh。

Dm表示第m位專家與其他專家的一致性權(quán)重差異值，表示為：

Dh表示第h類專家與其他類專家類別間一致性權(quán)重差異值，由式（3）確定

本文中采用βh作為既考慮類別間專家人數(shù)，又考慮專家類別間專家的類別間權(quán)重系數(shù)。

綜合考慮類別間專家人數(shù)和一致性差異兩個(gè)方面，由判斷矩陣集結(jié)的全部信息可以得到計(jì)算類間權(quán)重的模型：

上述類間權(quán)重計(jì)算模型可以轉(zhuǎn)化為等式約束條件下的求解極值問題。結(jié)合等式約束下取得最優(yōu)解的條件，本文采用構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法，采用文獻(xiàn)［14］中的方法，使得等式約束條件下的求解極值問題變成無約束求解極值問題。由于函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，則其在定義域內(nèi)必可微，進(jìn)而可以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)來求解。

為求解該模型，構(gòu)造Lagrange函數(shù)得

分別對βh和求偏導(dǎo)得：

整理后得：

2.2類內(nèi)賦權(quán)分析

通過聚類分析，可將專家按相似程度分成幾類。不妨設(shè)ψhl為第h類中第l位專家對形成類別一致性意見的貢獻(xiàn)度，即其對應(yīng)的類內(nèi)權(quán)重；υhl為第h類中第l位專家的總體權(quán)重。第h類專家中第l位專家的判斷矩陣可表示為：

本文采用加權(quán)幾何平均算子（WGA）集結(jié)專家意見。由判斷矩陣性質(zhì)可知，aijhl為第h類中第l位專家認(rèn)為方案i優(yōu)于方案j的度量指標(biāo)。定義第h類專家認(rèn)為方案i優(yōu)于方案j的度量指標(biāo)為：

將式（8）兩邊取對數(shù)得

對于方案i優(yōu)于方案j這一認(rèn)識(shí)，第h類中第l位專家的意見與第h類專家的類別一致性意見之間的偏差可定義為：

那么針對所有評價(jià)方案，第h類中第l位專家的意見與第h類專家類別一致性意見的偏差程度可以表示為：

本文通過偏差熵來描述不同專家的意見與專家群體意見之間的差異。即可定義第h類中第l位專家的偏差熵為：

根據(jù)偏差熵的定義，熵值的大小與專家類別一致性意見的差異成反比關(guān)系。對于第h類專家，可認(rèn)為該類專家在評價(jià)時(shí)達(dá)成了一致，形成了一致性意見。為了保證最終形成的類別一致性意見能夠較為準(zhǔn)確且盡可能反映所有專家的意愿，那么單個(gè)專家意見與類別一致性意見之間的偏差之和應(yīng)當(dāng)盡可能小，即偏差熵之和應(yīng)盡可能大。由此可以建立第h類專家意見的偏差熵模型：

將式（8）～式（13）代入式（14），得：

相較文獻(xiàn)［8］中的類內(nèi)賦過程，本文采用的類內(nèi)賦權(quán)方法并未運(yùn)用判斷矩陣的一致性比率和歸一化排序向量作為賦權(quán)依據(jù)，而是通過利用判斷矩陣中的所有元素來實(shí)現(xiàn)對專家的賦權(quán)。從而避免了判斷矩陣的一致性比率和排序向量信息熵都相等但評價(jià)意見不一致的專家被賦予了相同權(quán)重情況的問題發(fā)生。

3　算例分析

針對某型垂直/短距起落（V/STOL）飛行器設(shè)計(jì)的4個(gè)備選方案，6位專家通過兩兩比較法給出的判斷矩陣分別為

E1 W1 1 7 5 4 0.612 5 1/7 1 1 1/2 0.091 6 1/5 1 1 1/3 0.093 4 1/4 2 3 1 0.202 6 CR1=0.025 E2 1 1 1 2 0.285 8 1 1 1 2 0.285 8 1 1 1 2 0.285 8 1/2 1/2 1/2 1 0.142 6 CR2=0 W2 E3 1 6 7 5 0.663 6 1/6 1 1 1 0.111 6 1/7 1 1 1 0.107 7 1/5 1 1 1 0.117 2 CR3=0.004 W3 E4 1 3 2 1 0.354 3 1/3 1 1/2 1/3 0.107 7 1/2 2 1 2 0.277 6 1 3 1/2 1 0.260 5 CR4=0.077 W4 E5 1 4 8 6 0.645 5 1/4 1 2 2 0.173 9 1/8 1/2 1 1 0.086 9 1/6 1/2 1 1 0.093 7 CR5=0.004 W5

E6 W6 1 1 2 1 0.285 8 1 1 2 1 0.285 8 1/2 1/2 1 1/2 0.142 6 1 1 2 1 0.285 8 CR6=0

由式（1）可得專家意見相似系數(shù)矩陣為：

易知矩陣R為相似關(guān)系矩陣，則利用逐次平方法可以求出R的傳遞閉包R。

R8=R4，則R=R4。利用R對專家進(jìn)行聚類。由于專家評價(jià)對象數(shù)目較多加之采用比值的方式衡量專家意見的相似性，會(huì)導(dǎo)致專家意見相似系數(shù)取值較小。經(jīng)分析，本例中專家意見相似程度的門限值應(yīng)取R*=0.67為宜。由此可得專家兩兩聚類集合為｛（1，3），（1，5），（2，4），（2，6），（3，5），（4，6）｝，對含有相同專家的子集進(jìn)行并操作，可得最終聚類結(jié)果為｛G1（1，3，5），G2（2，4，6）｝。

根據(jù)式（2）～式（7）可得專家類間權(quán)重為：

由式（15）可得專家類內(nèi)權(quán)重為：

G1類專家：ψ11（a1）=0.306 5，ψ12（a3）=0.335 0，ψ13（a5）=0.358 5；

G2類專家：ψ21（a2）=0.302 5，ψ22（a4）=0.375 0，ψ23（a6）=0.322 5。

其中am，m=1，2，…，6表示第m位專家。

最后，利用式（16）對專家權(quán)重進(jìn)行集結(jié)，得到專家總體權(quán)重為：

υ=（0.145 6，0.158 8，0.159 1，0.196 9，0.170 3，0.169 3）

通過聚類分析可以發(fā)現(xiàn)，所有專家被分成了兩類。如若按照文獻(xiàn)［2-9］所采用的類間賦權(quán)方法，兩類專家的類間權(quán)重勢必相等。但實(shí)際情況是，G2類專家給出判斷矩陣的整體一致性要小于G1類專家。表明G2類專家在進(jìn)行決策時(shí)更加思路清晰、條理明了，可信性較高。因而即使人數(shù)相等，G2類專家也應(yīng)被賦予相對較大的權(quán)重。

同時(shí)，經(jīng)過分析可知，第2位專家和第6位專家是同一類專家。易知：

專家判斷矩陣排序向量的信息熵由式（17）確定

則第2位專家和第6位專家判斷矩陣排序向量的信息熵為H（U2）=H（U6）=0.975。

通過上述分析可知，第2位專家與第6位專家無論是一致性比例系數(shù)還是判斷矩陣排序向量的信息熵都相等。則按照文獻(xiàn)［4-9］中所提出的賦權(quán)方法，第2位專家與第6位專家的類內(nèi)權(quán)重應(yīng)當(dāng)相等。但經(jīng)過對判斷矩陣的分析之后可知，第2位專家與第6位專家的意見有著顯著的差異，所以文獻(xiàn)［4-9］中所提出的賦權(quán)方法并不適用于解決本例中的問題。

本文通過綜合考慮類別間專家數(shù)目和各類專家一致性權(quán)重差異值來確定類間權(quán)重，以對形成類別一致性意見的貢獻(xiàn)度為依據(jù)實(shí)現(xiàn)對專家的類內(nèi)賦權(quán)，并確定專家的總體權(quán)重。由本文算例結(jié)果可知，本文提出的基于偏差熵的專家聚類賦權(quán)法可以克服文獻(xiàn)［2-10］提出的賦權(quán)方法的不足，提升專家聚類賦權(quán)的科學(xué)性與準(zhǔn)確性。

4　結(jié)論

本文在分析現(xiàn)有專家聚類賦權(quán)法存在不足的基礎(chǔ)上，提出了一種基于偏差熵的專家聚類賦權(quán)法。并具有以下特點(diǎn)：

①基于比例定義專家意見相似系數(shù)，相比于使用離表示對象的相似程度，能夠更為準(zhǔn)確地反映事物間的相似程度及其內(nèi)在性質(zhì)；

②本文通過綜合考慮類別間專家人數(shù)和一致性差異兩個(gè)方面，得到計(jì)算類間權(quán)重的數(shù)學(xué)模型，并以此為基礎(chǔ)求解類間權(quán)重，克服了僅依據(jù)人數(shù)來對專家進(jìn)行類間賦權(quán)的不足，提高了賦權(quán)的科學(xué)性、合理性；

③克服了單純依據(jù)一致性比率，信息熵或者將一致性比率與信息熵耦合的賦權(quán)方法在實(shí)際應(yīng)用方面的局限性，進(jìn)一步提高了權(quán)值分配的精確性。

④開拓了思路，拓展了專家聚類賦權(quán)方法的應(yīng)用范圍。該方法易于編程實(shí)現(xiàn)，可操作性強(qiáng)，在復(fù)雜大群體決策中具有良好的應(yīng)用前景。

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Expert ClusterW eighting M ethod Based on Deviation Entropy

WANG Ze-zhou，CHEN Yun-xiang，CAIZhong-yi，LIN Si-ming
（School of EquipmentManagement&Safety Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

In order to settle thematter that the experts are given the same weight，which is caused by the case where the consistency ration of judgmentmatrix and information entropy of priority vector are equal although the expert’s opinion is different in the process of group decision-making，an expert cluster weighting method based on deviation entropy is proposed.This method uses the clustering analysis principle to classify experts by constructing the similarity coefficient proportionally；then introduces the consistency weight of expert judgmentmatrix and synthesizes the class capacity which can define the weights of indexes to illustrate the difference between classes，and the experts’betweenclass weights are defined；finally，the deviation entropy models are built for every experts classes to define the experts’within-class weights according to the experts’contribution level of consensus opinion，and the expert’s overall weight is determined.The numerical examples show the effectiveness and feasibility of the proposedmethod.

group decision-making，clustering analysis，deviation entropy，experts’weights，judgmentmatrix

TB114.3

A

1002-0640（2016）09-0061-05

2015-07-05

2015-08-07

總裝“十二五”國防基金資助項(xiàng)目（51327020104）

王澤洲（1992－），男，山西長治人，碩士。研究方向：裝備可靠性與維修性。