從內(nèi)涵出發(fā)，豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知

夏井川

《對稱》是人教版新課標(biāo)教材二年級下冊第3單元第一課時的教學(xué)內(nèi)容。筆者曾執(zhí)教了本課，現(xiàn)將備課思考和課堂實踐整理如下，以期與同行討論交流。

一、教材解讀

實驗教材中，《對稱》編排在二年級上冊第五單元《觀察物體》的第二課時、第三課時，包括軸對稱和鏡面對稱?！白鲆蛔觥敝忻鞔_要求畫出軸對稱圖形的對稱軸，練習(xí)題中還要求按對稱軸畫出軸對稱圖形的另一半。新教材中，根據(jù)一線教師的反饋，去掉了鏡面對稱，將軸對稱單獨拿出來編排在二下《圖形的運(yùn)動（一）》中，同時將“畫對稱軸”和“按對稱軸畫出軸對稱圖形的另一半”這兩點后移到了四年級下冊《圖形的運(yùn)動（二）》中。

實驗教材二下第三單元《圖形與變換》包括“銳角和鈍角”“平移和旋轉(zhuǎn)”以及“剪一剪”等內(nèi)容。新教材將“銳角和鈍角”整合到二上《角的初步認(rèn)識》中，與直角一起編排。將二上的“對稱”后移到二下，和“平移”“旋轉(zhuǎn)”一起編排。知識的呈現(xiàn)更加合理化、系統(tǒng)化，便于學(xué)生學(xué)習(xí)和系統(tǒng)理解。

對比實驗教材，新教材指向性更為明確和清晰。

二、備課思考與課堂呈現(xiàn)

課標(biāo)（2011年版）中關(guān)于圖形的運(yùn)動學(xué)段要求

人教版教材中關(guān)于圖形的運(yùn)動的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容編排

運(yùn)動是世間萬物的特征，是物質(zhì)存在的基本形式。在現(xiàn)實生活中，我們會遇到很多物體的運(yùn)動與變化。例如，將一塊三角板移動位置，把一張照片放大若干倍，等等。在這個過程中，物體的某些性質(zhì)發(fā)生了變化，而某些性質(zhì)卻保留了下來。例如，移動三角板，三角板的位置變了，形狀、大小都不變；放大照片，照片中物體的大小變了，形狀不變。從數(shù)學(xué)的角度看，物體的運(yùn)動與變化，可以抽象為圖形的變換。幾何圖形是點的集合，所以幾何變換就是兩個圖形上點之間的一一對應(yīng)，即點變換。

對稱是一種最基本的圖形變換，包括軸對稱（也叫反轉(zhuǎn)對稱）、中心對稱、平移對稱、旋轉(zhuǎn)對稱和鏡面對稱等多種形式。在自然界和日常生活中具有對稱性質(zhì)的事物很多，學(xué)生對于對稱現(xiàn)象并不很陌生。

基于對人教版有關(guān)“圖形的運(yùn)動”新舊教材、縱向教材編排的研究和整體、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)把握，以及對《教師教學(xué)用書》的認(rèn)真研讀，感到“對稱”這一知識在整個小學(xué)“圖形與運(yùn)動”結(jié)構(gòu)中的重要地位和育人價值。“對稱”是學(xué)生接觸的第一種圖形的運(yùn)動，而兒童的年齡特點卻決定他們在理解“對稱”的運(yùn)動性上遠(yuǎn)不及理解“平移”和“旋轉(zhuǎn)”的運(yùn)動來得直觀。當(dāng)然，如果從“圖形的變換”角度來理解“對稱”，則要容易得多。因此，備課時，筆者主要思考了這樣幾個問題：

1. 對相關(guān)概念的理解。在本課中，至少有這樣幾個概念需要學(xué)生初步感知和理解：對稱（基于單個物體和圖形的）、對稱軸、軸對稱圖形。在此基礎(chǔ)上，可適當(dāng)延伸“軸對稱”的概念。對于二年級下學(xué)期的孩子來說，“對稱”的生活經(jīng)驗是有的，生活中的建筑、藝術(shù)、生物、飲食等，到處都能看到和感受到對稱現(xiàn)象，因此孩子們在課堂上說到了裙子、披薩、課本等。孩子們的問題在于，他們不能從這些對稱表象中抽象出對稱的特征，他們的年齡特征決定他們在感知對稱上還處于“只可意會不可言傳”的階段。但是，如前所述，“對稱”有很多種，二年級下冊“軸對稱圖形”是最基本的一種。如果不給學(xué)生適當(dāng)滲透，很容易使孩子形成思維定勢：對稱就是對折后能完全重合的，對稱圖形就是左右對稱的（軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)一定角度后就容易對他們產(chǎn)生思維干擾），等等。課堂實踐后，總感覺自己在這一塊還講得不夠清晰，讓學(xué)生把“對稱”和“軸對稱”混為一談了，最典型的例子有兩個：一個是學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)識產(chǎn)生了歧義（反思：這里也有沒有讓學(xué)生動手操作的原因），一個是“做一做”中香港特區(qū)區(qū)徽紫荊花的圖案（這其實是一種旋轉(zhuǎn)對稱，但不是中心對稱）。因此，我們在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，可以把視野放寬些，眼光放高些，從上往下來考量，盡量層次分明地、有步驟地給學(xué)生滲透“對稱”“軸對稱”這樣的概念。

2. 從表象走向抽象。為了彌補(bǔ)學(xué)生對“對稱”概念理解的不足，在備課和課堂教學(xué)中，筆者堅定地選擇了學(xué)生感知眾多的對稱現(xiàn)象和對稱圖形：蜻蜓、樹葉、荊州古城九龍橋、剪紙、國旗……并配以感性的描述語言，讓學(xué)生在感知對稱現(xiàn)象的同時感受到生活中對稱的美。課堂實踐表明，讓學(xué)生感受對稱現(xiàn)象和感受對稱的美做到了和諧統(tǒng)一，實效較好。當(dāng)然，在此過程中，筆者注意了“生活中的對稱現(xiàn)象”和“圖形中的對稱圖形”的用詞。

3. 教學(xué)要求的把握。前面學(xué)段要求中清楚表明，新教材二年級下冊是初步感知“軸對稱”和“軸對稱圖形”，不再教學(xué)軸對稱的特征，不再要求畫出對稱軸，也不再要求在方格紙上根據(jù)軸對稱的一半畫出另一半。這些，都后移到了四年級下冊《圖形的運(yùn)動（二）》中。但是，不作為正式的教學(xué)要求并不表示就完全不需要學(xué)生去初步感受。因此，在課堂教學(xué)中，筆者設(shè)計了3個小細(xì)節(jié)讓學(xué)生來感受這三點：①用折一折讓學(xué)生感受軸對稱的特征；②用手比劃對稱軸讓學(xué)生感受對稱軸的位置和條數(shù)；③根據(jù)軸對稱圖形的一半以及給出的三個選項，在腦海中想象正確的圖形并做出選擇。另外，還有一些其他的小教學(xué)要求也需要教師把握，如，筆者在課堂中回避了數(shù)字的對稱性，為什么？因為即使對稱的數(shù)字也是基于它的字體，一個數(shù)字并不是所有字體下都是對稱的。因此，在呈現(xiàn)對稱的漢字時，筆者也特別說明“這種字體的這個字是對稱的”。

三、課后研討

課后，團(tuán)隊伙伴們針對筆者的教學(xué)設(shè)計和課堂呈現(xiàn)，發(fā)表了各自的看法，提出了很多很好的建議，主要有四點：

1. 關(guān)于操作。本課有些地方應(yīng)該讓學(xué)生動手操作，例如，讓學(xué)生體驗學(xué)過的平面圖形中，哪些是軸對稱圖形，哪些不是，可以讓學(xué)生動手對折一下長方形紙、正方形紙、三角形紙、平行四邊形紙以及圓形紙，印象會更為深刻，感知更為直觀。

2.關(guān)于語言?！皩ΨQ”是非常規(guī)范和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言，課堂實踐表明，二年級的學(xué)生對此有自己的語言描述。在小學(xué)階段，兒童的語言和數(shù)學(xué)語言之間是有距離的。作為教師，應(yīng)該在兒童的感性語言和數(shù)學(xué)的理性、規(guī)范語言之間架起一座橋梁，促進(jìn)兒童對數(shù)學(xué)概念的理解和感知。

3.關(guān)于拓展?？梢栽谥v完軸對稱圖形的對稱后，適當(dāng)拓展一下兩個相同的物體（或圖形）關(guān)于對稱軸的軸對稱現(xiàn)象，開闊學(xué)生的視野。

四、課后的再思考

課后，針對本節(jié)課的呈現(xiàn)和伙伴們的建議，筆者再一次進(jìn)行了備課思考。先后查閱了課標(biāo)、初中教材，上網(wǎng)查詢了相關(guān)資料。

1.對稱知識編排的分與合

下圖是初中九年級《數(shù)學(xué)》中學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”一章時的知識結(jié)構(gòu)圖，可以讓我們對“圖形的運(yùn)動”在義務(wù)教育階段的分布及其作用有一個更為清晰的認(rèn)識。

2. 關(guān)于對稱

百度百科上對于“對稱”是這樣梳理的。

對稱：指物體或圖形在某種變換條件（例如繞直線的旋轉(zhuǎn)、對于平面的反映，等等）下，其相同部分間有規(guī)律重復(fù)的現(xiàn)象，亦即在一定變換條件下的不變現(xiàn)象。

軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形。折痕所在的直線叫做它的對稱軸。

中心對稱圖形：如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。而這個中心點，叫做中心對稱點。

旋轉(zhuǎn)對稱圖形：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（0°<旋轉(zhuǎn)角<360°）。常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有：線段、正多邊形、平行四邊形、圓等（注：所有的中心對稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形）。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊《教師教學(xué)用書》第84頁有這樣的資料：

基于以上的分析，到現(xiàn)在，我們是不是可以在腦海里對“對稱”形成一個清晰的框架：對稱從大的方面分為反轉(zhuǎn)對稱（軸對稱）和旋轉(zhuǎn)對稱（中心對稱是特殊的旋轉(zhuǎn)對稱）；對稱可以是一個圖形內(nèi)部的左右兩部分的聯(lián)系，也可以是兩個圖形之間的一種關(guān)系。

3. 關(guān)于軸對稱和軸對稱圖形

軸對稱與軸對稱圖形是既有聯(lián)系也有區(qū)別的兩個概念。這一點，初中數(shù)學(xué)教材中介紹得比較清楚，同時也是教師必須了解和清楚的知識背景和專業(yè)儲備。

把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱。

如下圖，可以看成是兩只小雞圖關(guān)于直線l對稱，也可以看成是一幅圖中的兩只小雞關(guān)于直線l軸對稱。當(dāng)然，教學(xué)中應(yīng)順便打破學(xué)生對軸對稱的定式思維認(rèn)知，如右圖。

五、二下“軸對稱圖形”教學(xué)建議

到此為止，希望能簡要而又清晰地給出二下“軸對稱圖形”的備課和教學(xué)建議：

1.盡量講清楚“對稱”和“軸對稱”的不同與聯(lián)系；

2.重視學(xué)生的動手操作；

3.重視生活中的對稱現(xiàn)象（可以有軸對稱，也可以有中心對稱）的感受和欣賞，幫助學(xué)生豐富對稱的表象，開闊數(shù)學(xué)視野；

4.把握好教學(xué)要求，既不超綱，又不能太低估學(xué)生的思維水平和已有經(jīng)驗基礎(chǔ)。

（作者單位：荊州市教育科學(xué)研究院）

責(zé)任編輯 劉玉琴