控制工程基礎(chǔ)課程中伯德圖繪制的探討[1]

崔吉，張燕超

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控制工程基礎(chǔ)課程中伯德圖繪制的探討[1]

崔吉1，張燕超2

（1. 中國礦業(yè)大學(xué) 徐海學(xué)院，江蘇 徐州 221000；2. 中國石油天然氣管道第二工程公司，江蘇 徐州 221008）

伯德圖的繪制既是控制工程基礎(chǔ)課程中的重點(diǎn)又是難點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生不易理解掌握．根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將高等數(shù)學(xué)分段函數(shù)思想應(yīng)用在對(duì)數(shù)幅值曲線繪制中，降低了伯德圖繪制的難度，便于學(xué)生理解掌握；同時(shí)又可利用分段表達(dá)式來求解剪切頻率，分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，使其更加便捷地應(yīng)用于實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)．

伯德圖；分段函數(shù)；剪切頻率；穩(wěn)定判據(jù)

在控制工程基礎(chǔ)課程中，頻率特性分析（有時(shí)也稱為頻率響應(yīng)）是利用開環(huán)系統(tǒng)函數(shù)來分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的主要方法，并借助伯德圖分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，相比勞斯代數(shù)判斷更直觀．頻率響應(yīng)有乃奎斯特圖（極坐標(biāo)圖）和伯德圖（對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖）兩種方法[1]．兩者相比，極坐標(biāo)圖繪制相對(duì)簡單些，但精度不是很高，所以有時(shí)會(huì)影響系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性判斷的準(zhǔn)確性[2]；伯德圖繪制相對(duì)復(fù)雜些，但判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性較高，且判斷穩(wěn)定性原理相對(duì)簡單．因此，伯德圖的繪制就成為控制課程的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)．根據(jù)多年教學(xué)實(shí)踐，借助高等數(shù)學(xué)中分段函數(shù)思想，根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率，將伯德圖自變量劃分為若干區(qū)間，然后繪制出每一區(qū)間的伯德圖，進(jìn)而得到整體伯德圖．使學(xué)生既懂得了伯德圖的繪制，又掌握了利用伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及剪切頻率等性能參數(shù)的計(jì)算，極大地提高了教學(xué)效果．

1 利用分段函數(shù)繪制伯德圖

學(xué)生不容易掌握伯德圖繪制的原因有兩個(gè)[3]：一是求解頻率特性的幅頻和相頻；二是如何建立對(duì)數(shù)坐標(biāo)系．雖然借助MATLAB等軟件可以比較簡單地繪制出伯德圖[4]，但要讓學(xué)生掌握伯德圖思想就需要把這些內(nèi)容介紹清楚．選用董景新主編的《控制工程基礎(chǔ)》[5]為教材，書中先介紹了典型環(huán)節(jié)的伯德圖繪制；開環(huán)傳遞函數(shù)伯德圖則要將系統(tǒng)頻率特性化為典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積，這里要強(qiáng)調(diào)的一定要換成標(biāo)準(zhǔn)的典型環(huán)節(jié)；然后求解出各個(gè)典型環(huán)節(jié)的幅值和轉(zhuǎn)折頻率，最后依照轉(zhuǎn)折頻率的大小依次畫出伯德圖．概括為“先比例后積分然后按照轉(zhuǎn)角頻率的大小依次疊加”[6]．根據(jù)伯德圖繪制的方法，按照轉(zhuǎn)角頻率將橫坐標(biāo)劃分為幾個(gè)區(qū)間，整個(gè)伯德圖表達(dá)式就可以變換成分段函數(shù)，然后按照區(qū)間段來繪制每個(gè)表達(dá)式，這樣學(xué)生就容易繪制幅值的伯德圖．

２繪制伯德圖的實(shí)例

（2）換成標(biāo)準(zhǔn)形式．由于該表達(dá)式已經(jīng)為標(biāo)準(zhǔn)式，無需再變換，這一步驟要給學(xué)生著重強(qiáng)調(diào)．

（3）求出每個(gè)典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率以及斜率．

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，幅值對(duì)數(shù)伯德圖很容易繪制出（見圖1）．但繪制幅值伯德圖時(shí)，可用分段直線來代替曲線，便于在工程現(xiàn)場(chǎng)大致分析系統(tǒng)性能．為保證圖形的連續(xù)性，利用分段函數(shù)表達(dá)式，前一段直線的終點(diǎn)可認(rèn)為是后續(xù)區(qū)間段的起點(diǎn)．

圖1 利用分段函數(shù)繪制的伯德圖幅頻曲線

利用這個(gè)分段函數(shù)，也可以在不繪制伯德圖情況下求出剪切頻率．剪切頻率可以看作是幅值對(duì)數(shù)伯德圖與零分貝線的交點(diǎn)，利用分段函數(shù)的區(qū)間段求出極值．這樣就可以判斷在哪個(gè)區(qū)間段存在剪切頻率，然后令該區(qū)間的函數(shù)值為0，求出剪切頻率[7-8]．在上述實(shí)例中第1段最小值為12 dB，第2段最小值則為-12 dB，因此剪切頻率判斷出在第2區(qū)間內(nèi)．令第2分段函數(shù)的值為0，即可求解剪切頻率值為50 rad·s-1．

此外，利用相位裕量，也可大致判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性．將剪切頻率帶入相頻表達(dá)式中得到：

很顯然，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定．與教材[5]的判斷結(jié)果一致．

通過具體實(shí)例可以看出，分段函數(shù)在伯德圖繪制中起到很大的作用，既方便學(xué)生理解伯德圖的含義，同時(shí)還可以在不繪制出幅值和相頻伯德圖的前提下，大致判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

[1] 彭珍瑞，董海棠．控制工程基礎(chǔ)[M]．北京：高等教育出版社，2010

[2] 方斌．關(guān)于Bode圖穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)的討論[J]．信息與控制，1999，28（4）：293-296

[3] 張翠平．淺談《控制工程基礎(chǔ)》的幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)[J]．長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)：高教版，2009，4（1）：191-192

[4] 張琳．MATLAB與控制系統(tǒng)的頻域分析[J]．邢臺(tái)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，28（1）：86-88

[5] 董景新．控制工程基礎(chǔ)[M]．2版．北京：清華大學(xué)出版社，2003

[6] 李增權(quán)，馬靜婕．關(guān)于伯德圖畫法的探討[J]．內(nèi)蒙古電大學(xué)刊，2005（4）：56-59

[7] 謝麗蓉，程靜，瑪依拉，等．控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判別的虛擬平臺(tái)設(shè)計(jì)[J]．工業(yè)和信息化教育，2014（5）：81-82，90

[8] 張正強(qiáng)．在伯德圖上求截止頻率的一種解析方法[J]．電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2009（31）：31-33

The study for drawing Bode diagram in basis of control engineering

CUI Ji1，ZHANG Yan-chao2

（1. Xuhai College，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221000，China；2. No.2 Subsuduary Construction Company of China Petroleum Pipeline Bureau，Xuzhou 221008，China）

Drawing Bode diagram is important and difficult subject in basis of control engineering，but it isn′ t easy to be understood and mastered．Based on teaching experience，sectional function is used in drawing logarithm amplitude frequency characteristic curve．This method can reduce difficulty in drawing Bode diagram and is easier to be understood and mastered．Meanwhile it is useful to calculate cut off frequency and analysis system stability．And the method is more convenient to be applied to actual field．

Bode diagram；sectional function；cut off frequency；stability criteron

TB23∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.020

2015-12-17

崔吉（1982-），男，山東泰安人，講師，碩士，主要從事機(jī)電一體化系統(tǒng)設(shè)計(jì)、工業(yè)自動(dòng)化控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等研究．E-mail：crest19@163.com