微積分基礎(chǔ)理論三個(gè)重要節(jié)點(diǎn)的研究

朱孝春[1]

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微積分基礎(chǔ)理論三個(gè)重要節(jié)點(diǎn)的研究

朱孝春[1]

（浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，浙江 杭州 311231）

微積分的學(xué)習(xí)，需要改變原來的靜態(tài)思維模式，把握函數(shù)是微積分學(xué)科的研究對(duì)象，極限是考察數(shù)值變化的基本思想，導(dǎo)數(shù)是分析函數(shù)變化的主要工具．用動(dòng)態(tài)的角度去探索量的變化關(guān)系，進(jìn)而提煉為用哲學(xué)的理念去觀察事物的現(xiàn)象和發(fā)展規(guī)律，理解微積分基礎(chǔ)的理論結(jié)構(gòu)，最終領(lǐng)悟微積分學(xué)的數(shù)學(xué)思想．

思維模式；數(shù)學(xué)思想；辯證法

微積分的學(xué)習(xí)不僅為后續(xù)課程的探究提供了有力的數(shù)學(xué)工具，它的思想對(duì)于學(xué)生一生的學(xué)習(xí)與工作將產(chǎn)生重要而深遠(yuǎn)的影響[1]．要學(xué)好微積分這門課程，必須了解它的結(jié)構(gòu)、原理和內(nèi)在的關(guān)系，本文總結(jié)了微積分基礎(chǔ)理論的三個(gè)重要節(jié)點(diǎn)，并對(duì)其教學(xué)過程進(jìn)行研究．

1牢記基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)

2熟練掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)變化關(guān)系的最常用工具，因?yàn)槲⒎e分理論中處處都有求導(dǎo)的問題．如平面光滑曲線上切線的點(diǎn)斜式方程、洛比達(dá)法則的運(yùn)算式、可導(dǎo)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的單調(diào)判別及二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的凹向判別、不定積分概念和定積分牛頓-萊布尼茲公式中被積函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系、空間光滑曲線上切線的點(diǎn)向式方程及法平面的點(diǎn)法式方程、空間光滑曲面的切平面方程及法線方程、曲線積分中的格林公式、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式的通項(xiàng)等．在記憶公式和性質(zhì)時(shí)，同樣需要運(yùn)用記憶術(shù)．如三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，需要模塊記憶，它們的符號(hào)依次是“先正后負(fù)、正負(fù)交錯(cuò)”．反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式分兩組，每組大小相等，形式另記．需要指出的是，公式和法則中出現(xiàn)的變量只是一個(gè)符號(hào)，表示一個(gè)元素，而等號(hào)的右邊正是說明左邊的表達(dá)式關(guān)于這個(gè)元素求導(dǎo)的結(jié)果．對(duì)于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，只要把中間變量整體看成為一個(gè)元素，先對(duì)原來的函數(shù)關(guān)于這個(gè)元素求導(dǎo)，再乘上這個(gè)元素關(guān)于最終變量（即自變量）的導(dǎo)數(shù)，即便是中間變量有許多，無非是重復(fù)使用該方法罷了．

3用哲學(xué)思想去理解和體會(huì)微積分學(xué)

數(shù)學(xué)和哲學(xué)的關(guān)系，猶如物理和數(shù)學(xué)，相互依賴，相互促進(jìn)[4]．學(xué)習(xí)微積分，就是要學(xué)習(xí)它的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和辨證性，它的靈魂便是哲學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)的哲學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁[5]，運(yùn)用數(shù)學(xué)的哲學(xué)思想，能使學(xué)生對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)和理解，提升到更加宏觀和系統(tǒng)的層次[6]．

3.1運(yùn)動(dòng)與靜止

靜止是暫時(shí)的，運(yùn)動(dòng)是永恒的．初等數(shù)學(xué)中的觀點(diǎn)和方法，比較注重結(jié)果，通常可以用“靜止”兩個(gè)字來概述，是運(yùn)動(dòng)事物在瞬間的最簡單狀態(tài)．而微積分，因?yàn)橛辛藰O限的理論，它的思維模式完全發(fā)生了變化，更多的是研究事物發(fā)展的趨勢，需要用運(yùn)動(dòng)的角度去觀察問題，這就是微積分的深刻本質(zhì)[7]．如果不能及時(shí)轉(zhuǎn)變觀念，學(xué)習(xí)過程將是非常痛苦的．如數(shù)列：0.9，0.99，0.999，0.999 9，…，它的每一項(xiàng)都是不變的常數(shù)，且不等于1，而它的通項(xiàng)又是一個(gè)關(guān)于的變化量．隨著的不斷增大，數(shù)列的通項(xiàng)越來越接近1，它與1的距離要有多小就有多小，說明在的條件下，的變化趨勢是一個(gè)靜止量1，用極限符號(hào)把它記為，換言之，0.999 9…=1．函數(shù)的定義域，雖然不能取1，但卻可以無限地靠近1，在靠近的過程中又始終不等于1．這時(shí)，即．

3.2一般與特殊

微分中值定理是體現(xiàn)一般與特殊關(guān)系的典例．可以知道，羅爾定理是拉格朗日定理在條件下的特殊形式，而拉格朗日定理又是柯西定理當(dāng)?shù)囊粋€(gè)結(jié)果．說明同一事物（如拉格朗日定理）在一定的條件下是一般的，在另一條件下卻又是特殊的，一般和特殊都是相對(duì)的而不是絕對(duì)的，并且具有遞推性質(zhì)，即是的特殊，又是的特殊，則也是的特殊．同時(shí)，事物與事物之間，在一定的條件下又可以相互轉(zhuǎn)化．若在羅爾定理中令，則可以推出拉格朗日定理，類似地，令，也可以由羅爾定理推出柯西定理．

3.3有限與無限

分析一個(gè)事物，可以通過研究它的對(duì)立面來解決，反例可以使學(xué)生比較直接地發(fā)現(xiàn)其中的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而更好地理解這些內(nèi)容[8]．對(duì)于無限區(qū)間的反常積分，因?yàn)榉e分區(qū)間是一個(gè)無限區(qū)間，無法直接應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式，于是退一步，先討論相應(yīng)的有限區(qū)間，求出，再考察極限．如果此極限存在，則，否則原反常積分發(fā)散．在無窮級(jí)數(shù)收斂和的計(jì)算時(shí)，先求出前個(gè)有限項(xiàng)的和，然后取極限．假設(shè)該極限存在，它的值為常數(shù)，那么收斂于，即，否則原無窮級(jí)數(shù)發(fā)散．這樣，先把無限化有限，再把有限變無限，通過極限理論，使兩個(gè)對(duì)立的事物得到了統(tǒng)一．

[1] 林喜季．高校微積分教學(xué)研究[J]．吉林教育，2012（8）：8-9

[2] 高本重郎．記憶術(shù)[M]．林懷秋，譯．長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1982

[3] 張鼎．微積分教學(xué)方法探討[J]．試題與研究：教學(xué)論壇，2014（17）：21-23

[4] 張慧．高職微積分教學(xué)探索與實(shí)踐[J]．內(nèi)蒙古電大學(xué)刊，2011（1）：99-100

[5] 顏有祥．微積分的基本數(shù)學(xué)思想[J]．學(xué)園·教育科研，2012（17）：61-63

[6] 李明，單連峰．簡論微積分中的四種數(shù)學(xué)哲學(xué)思想[J]．?dāng)?shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2011（2）：250-252

[7] 湯彬如．蘇步青先生的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想[J]．南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（3）：8-10

[8] 殷煒棟．微積分教學(xué)中的反例[J]．浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（3）：232-236

Research on basic theories of calculus from three important nodes

ZHU Xiao-chun

（Department of Basic Course，Zhejiang Tongji Vocational College of Science and Technology，Hangzhou 311231，China）

The thinking mode of learning calculus should be changed from the traditional mode to a new mode．In the new mode of learning，the function should be studied，the limit should be paid attention，and the derivative should be used as one of the main tools．The analysis of the change of the quantities should be observed in the dynamic perspective，so that the observation to the phenomenon and developing rules will be on the base of philosophy，and the learning of calculus will be happy．

thinking modes；philosophy of math；dialectic

1007-9831（2016）02-0059-03

O171∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.02.017

2015-08-10

朱孝春（1959-），男，浙江杭州人，副教授，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與教研工作．E-mail：hz.zxc@163.com