從整數(shù)階微積分到分數(shù)階微積分

宋超

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從整數(shù)階微積分到分數(shù)階微積分

宋超

（南京工程學院 數(shù)理部，江蘇 南京 211167）

分數(shù)階微積分理論及其工程應(yīng)用已經(jīng)成為科研工作者關(guān)注的熱點課題之一．從經(jīng)典的整數(shù)階積分和導數(shù)的定義談起，簡要介紹了如何從整數(shù)階微積分的概念推廣到一般的分數(shù)階微積分及其分數(shù)階微積分的基本性質(zhì)．

整數(shù)階微積分；分數(shù)階微積分；分數(shù)階微積分的性質(zhì)

作為一門古老的學科，分數(shù)階微積分已有300余年的發(fā)展歷史，它最早出現(xiàn)在1695年9月30日Leibniz的日記中，其誕生幾乎與整數(shù)階微積分同步，但由于缺少實際應(yīng)用背景，長期以來發(fā)展緩慢[1-2]．分數(shù)階微積分準確地理解應(yīng)該為非整數(shù)階微積分，它是整數(shù)階微積分的推廣，其階數(shù)不局限于整數(shù)而可為任意復數(shù)，它實現(xiàn)了連續(xù)階微積分，從而擴展了整數(shù)階微積分的功能．由于分數(shù)階導數(shù)包含了從初始時刻開始到當前時刻的所有信息（整數(shù)階導數(shù)只包含了當前時刻附近的信息），因而可以更加真實地刻畫實際物理系統(tǒng)．分數(shù)階系統(tǒng)和經(jīng)典的整數(shù)階系統(tǒng)相比，最大的優(yōu)點在于可以描述各種物質(zhì)及其演化過程的記憶和繼承的性質(zhì)，而在整數(shù)階系統(tǒng)中這些性質(zhì)都被忽略了．已有的研究表明，分數(shù)階模型包含了經(jīng)典的整數(shù)階情形，而整數(shù)階的情形可以作為分數(shù)階情形的特殊情況．正因為有了如此強大的應(yīng)用前景，分數(shù)階微積分才重新回到人們的視野，受到來自各個領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注，成為國際上的熱點研究課題之一[3-4]．從整數(shù)階微積分講起，一步一步推廣到分數(shù)階微積分，并簡單地介紹了分數(shù)階微積分的基本性質(zhì)，為認識分數(shù)階微積分的發(fā)展脈絡(luò)和應(yīng)用提供了必備的基礎(chǔ)知識．

1　從整數(shù)階積分到分數(shù)階積分

2　從整數(shù)階導數(shù)到分數(shù)階導數(shù)

容易看出對于常數(shù)而言，它的Riemann-Liouville導數(shù)不為零，這與經(jīng)典的常數(shù)的一階導數(shù)為零相矛盾．并且實際中Riemann-Liouville分數(shù)階微分方程的初值不易給出，它的Laplace變換較繁瑣復雜，于是有了另外一種常見的分數(shù)階導數(shù)——Caputo導數(shù)，其定義為[7]

性質(zhì)2無論是Riemann-Liouville導數(shù)還是Caputo導數(shù)，一般情形下，不成立，其中：．

3　結(jié)束語

分數(shù)階微積分已在自然和社會科學的各個領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用，它正在影響和改變?nèi)藗兊乃季S方式[8]．也許不久的將來，分數(shù)階微積分理論將進入到大學數(shù)學的教材中，成為大學生所熟悉的工具．

[1] Cafagna D．Past and present-fractional calculus：A mathematical tool from the past for present engineers [J]．IEEE Industrial Electronics Magazine，2007，2（1）：35-40

[2] Ma C，Hori Y．Fractional-order control：theory and applications in motion control：past and present [J]．IEEE Industrial Electronics Magazine，2007，1（4）：6-16

[3] Ortigueira M D．An introduction to the fractional continuous time linear systems：The 21st century systems [J]．IEEE Circuits and Systems Magazine，2008，8（3）：19-26

[4] West B J．Colloquium：Fractional calculus view of complexity：A tutorial[J]．Reviews of Modern Physics，2014，86（4）：1169

[5] Diethelm K．The Analysis of Fractional Differential Equations--An application-oriented exposition using differential operators of Caputo type[M]．NewYork：Springer，Lecture Notes in Mathematics，2010

[6] Podlubny I．Fractional differential equations： an introduction to fractional derivatives，fractional differential equations，to methods of their solution and some of their applications[M]．SanDiego：Academic press，1998

[7] Kilbas A A A，Srivastava H M，Trujillo J J．Theory and applications of fractional differential equations[M]．Amsterda：Elsevier Science B V，2006

[8] West B J．Fractional Calculus View of Complexity：Tomorrow′s Science[M]．Florida：CRC Press，2015

From integer-order calculus to fractional-order calculus

SONG Chao

（Department of Mathematics and Physics，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167，China）

The theory of fractional calculus and its engineering applications have become one of the hot topics for researchers．From the definition of the classical integer-order integral and derivative，briefly introduces how to generalize from the concept of integer-order calculus to general fractional-order calculus and basic properties of fractional calculus．

integer-order calculus；fractional-order calculus；basic properties of fractional calculus

1007-9831（2016）09-0015-03

O172

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.005

2016-05-12

南京工程學院校級高等教育研究立項課題（2015ZC14）

宋超（1980-），男，山東臨沂人，講師，博士，從事分數(shù)階系統(tǒng)理論及其應(yīng)用研究．E-mail：chaosong@njit.edu.cn