稀疏信道下基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的精簡(jiǎn)星座盲均衡算法

張 凱 于宏毅 胡赟鵬 沈智翔

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稀疏信道下基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的精簡(jiǎn)星座盲均衡算法

張 凱*于宏毅 胡赟鵬 沈智翔

(信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院 鄭州 450001)

針對(duì)稀疏信道的盲均衡問(wèn)題，在精簡(jiǎn)星座均衡算法框架下建立線性模型，利用稀疏信道下均衡器固有的稀疏特性，引入具有稀疏促進(jìn)作用的先驗(yàn)分布對(duì)均衡器系數(shù)加以約束，使用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法迭代求解均衡器系數(shù)得到最大后驗(yàn)估計(jì)值。該文提出的均衡方法屬于數(shù)據(jù)復(fù)用類均衡算法的范疇，能夠適用于數(shù)據(jù)較短的應(yīng)用場(chǎng)合。與隨機(jī)梯度方法相比，算法性能受均衡器長(zhǎng)度影響較小，收斂后誤符號(hào)率性能更好，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

數(shù)字通信；盲均衡；稀疏信道；精簡(jiǎn)星座算法；稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)

1 引言

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，作為克服符號(hào)間串?dāng)_的重要手段，盲均衡技術(shù)得到了廣泛的研究。在眾多盲均衡算法中，Bussgang類盲均衡算法是目前應(yīng)用最廣泛的一類盲均衡算法[1]，其依據(jù)不同準(zhǔn)則設(shè)計(jì)非線性代價(jià)函數(shù)，采用隨機(jī)梯度法對(duì)均衡器系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，最具代表性[2]的有常模算法(Constant Modulus Algorithm, CMA)、精簡(jiǎn)星座算法(Reduced Constellation Algorithm, RCA)、多模算法(Multi-Modulus Algorithm, MMA)等。該類算法具有原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但也存在收斂速度慢，需要較大的數(shù)據(jù)量，對(duì)步長(zhǎng)因子及均衡器長(zhǎng)度敏感等問(wèn)題。在突發(fā)通信等數(shù)據(jù)量較短的應(yīng)用場(chǎng)合，其應(yīng)用受限。文獻(xiàn)[3]提出了數(shù)據(jù)復(fù)用的思想，即重復(fù)使同一段接收數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代運(yùn)算，該方法降低數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的要求，但其仍存在收斂速度慢、收斂特性不穩(wěn)定且對(duì)步長(zhǎng)因子和均衡器長(zhǎng)度敏感等問(wèn)題。

在許多高速無(wú)線通信系統(tǒng)中，信道往往呈現(xiàn)稀疏特性[4,5]，即信道響應(yīng)的能量集中在少數(shù)幾個(gè)抽頭上，而大多數(shù)抽頭能量很小或者為零。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]分析指出，稀疏信道符號(hào)間隔破零均衡器也為稀疏的，文獻(xiàn)[8]將該結(jié)論擴(kuò)展到了判決反饋均衡器的應(yīng)用。利用均衡器稀疏特性可以降低均衡器維度，降低求解計(jì)算量，提升收斂速度和收斂穩(wěn)健性。本文針對(duì)稀疏信道的盲均衡問(wèn)題，研究了基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian Learning, SBL)[12,13]的稀疏盲均衡器設(shè)計(jì)方法。首次基于精簡(jiǎn)星座均衡算法的代價(jià)函數(shù)，通過(guò)引入擾動(dòng)誤差項(xiàng)建立線性模型，將代價(jià)函數(shù)最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性模型的求解問(wèn)題。在貝葉斯框架下，利用稀疏信道均衡器固有的稀疏特性，引入具有稀疏促進(jìn)作用的先驗(yàn)分布對(duì)均衡器系數(shù)加以約束，然后利用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的方法對(duì)線性方程進(jìn)行迭代求解，最終得到稀疏的均衡器系數(shù)矢量。由于引入稀疏先驗(yàn)約束，均衡器非零元位置及取值在迭代過(guò)程中自動(dòng)調(diào)整，克服了傳統(tǒng)基于隨機(jī)梯度求解時(shí)，性能易受均衡器長(zhǎng)度影響的問(wèn)題，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的優(yōu)越性。

2 系統(tǒng)模型和RCA算法概述

2.1系統(tǒng)模型

考慮如圖1所示的數(shù)字通信系統(tǒng)模型。發(fā)送信號(hào)通過(guò)信道后，接收信號(hào)可表示為

圖1帶有線性均衡器的通信系統(tǒng)模型

均衡器輸出為

將式(2)寫成矩陣形式：

(4)

2.2 精簡(jiǎn)星座均衡算法概述

精簡(jiǎn)星座算法(Reduced Constellation Algorithm, RCA)由文獻(xiàn)[14]中提出，其基本原理如圖2所示，通過(guò)使均衡器輸出與其對(duì)應(yīng)精簡(jiǎn)星座點(diǎn)距離最小設(shè)計(jì)均衡器。代價(jià)函數(shù)為

其中，為復(fù)的signum函數(shù)，和分別表示為均衡器輸出的實(shí)部和虛部，為發(fā)送符號(hào)統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)[2]，為求期望運(yùn)算。

RCA在最小均方誤差準(zhǔn)則下，通過(guò)使上述代價(jià)函數(shù)最小化求解均衡器系數(shù)，即

常用隨機(jī)梯度方法對(duì)式(6)進(jìn)行求解，均衡器權(quán)系數(shù)更新公式為

(7)

3 基于稀疏貝葉斯的精簡(jiǎn)星座盲均衡算法

3.1算法推導(dǎo)

在精簡(jiǎn)星座均衡方法框架下，引入擾動(dòng)項(xiàng)，可以建立式(8)的線性模型：

稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的基本思想是：首先給待估參數(shù)加入具有稀疏促進(jìn)作用的先驗(yàn)分布，然后在貝葉斯框架下求其最大后驗(yàn)估計(jì)值。

(10)

式(10)中，等號(hào)右邊第1項(xiàng)來(lái)自于似然函數(shù)，后兩項(xiàng)來(lái)源于均衡器系數(shù)的先驗(yàn)分布，其中為均衡器系數(shù)矢量的協(xié)方差矩陣。下面給出基于稀疏貝葉斯的迭代求解過(guò)程。

由式(10)可以看出，均衡器系數(shù)最大后驗(yàn)估計(jì)值包含未知參數(shù)和，需要對(duì)待估參數(shù)，未知參數(shù)和進(jìn)行聯(lián)合求解，直接對(duì)全后驗(yàn)概率最大化，求解復(fù)雜度較大，將全后驗(yàn)概率分解為

(12)

(14)

使式(14)最大化，得到[12]

(16)

上述求解方法為一個(gè)迭代求解的過(guò)程，在迭代的過(guò)程中，很多超參數(shù)變?yōu)闊o(wú)限小，后驗(yàn)均值無(wú)限接近零，當(dāng)超參數(shù)低于某一預(yù)設(shè)門限時(shí)，可將與其對(duì)應(yīng)的均衡器系數(shù)值強(qiáng)制置零，最終得到最大后驗(yàn)估計(jì)值中只有極少數(shù)非零元素，從而得到稀疏解。從上面的分析，可以得到基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的均衡算法計(jì)算流程如表1所示。

表1基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的均衡算法計(jì)算步驟

3.2 算法性能分析

3.1節(jié)中提出的基于稀疏貝葉斯迭代求解的均衡算法具有如下特性：

(1)算法屬于數(shù)據(jù)重用類均衡算法的范疇。重復(fù)使用同一段數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代求解，接收數(shù)據(jù)較短時(shí)，依然具有較好的性能，可應(yīng)用于突發(fā)通信等數(shù)據(jù)量較短的場(chǎng)合。

(2)算法穩(wěn)健?；陔S機(jī)梯度求解的方法收斂特性及穩(wěn)態(tài)性能易受均衡器長(zhǎng)度及步長(zhǎng)因子等條件的影響。本文算法在稀疏貝葉斯框架下進(jìn)行求解，影響算法性能的因素為：超參數(shù)初始值和均衡器長(zhǎng)度。超參數(shù)在迭代過(guò)程中自適應(yīng)求解，其初始值僅對(duì)收斂速度產(chǎn)生一定影響，不會(huì)影響最終的算法性能。由于對(duì)均衡器系數(shù)加入稀疏約束的先驗(yàn)分布，迭代過(guò)程中，均衡器非零元位置及取值自動(dòng)調(diào)整，降低了均衡器長(zhǎng)度對(duì)算法性能的影響，將在第4節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。

(3)較低的計(jì)算量。由式(7)可計(jì)算出，基于隨機(jī)梯度的求解算法：每次迭代需要次乘法運(yùn)算和次加法運(yùn)算。一般至少需要數(shù)千次迭代才能收斂，且均衡器長(zhǎng)度越長(zhǎng)，收斂速度越慢。

基于稀疏貝葉斯迭代求解各步驟計(jì)算量如下：

均衡階段，由于基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的方法得到的是稀疏解，即很多均衡器系數(shù)為零，不需要參與運(yùn)算，計(jì)算量正比于非零元的數(shù)目。而隨機(jī)梯度的方法需要使用所有均衡器系數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波運(yùn)算，計(jì)算量取決于均衡器的長(zhǎng)度。在均衡器總長(zhǎng)一定的情況下，本文方法得到均衡器在均衡階段具有更小的計(jì)算量。

4 算法仿真及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)條件如下：(1)均衡器階數(shù)，采用中心抽頭初始化，即均衡器中心系數(shù)為1，其它為0；(2)分別采用剩余碼間干擾(ISI)和穩(wěn)態(tài)誤符號(hào)率兩個(gè)指標(biāo)對(duì)算法收斂特性和穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行度量。

仿真1 以剩余碼間干擾(ISI)為指標(biāo)，對(duì)本文提出的算法收斂性能進(jìn)行分析。剩余ISI計(jì)算為

圖3和圖4所示為不同數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度、不同均衡器長(zhǎng)度下剩余ISI隨迭代次數(shù)變化的曲線。發(fā)送符號(hào)為獨(dú)立同分布的16QAM信號(hào)，噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比SNR=20 dB，信道為6徑FIR信道[8]，非零元數(shù)目為3，信道沖擊響應(yīng)如表2所示。均衡器長(zhǎng)度分別取11, 21和31。圖3和圖4中數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度分別取600和1000。從收斂速度看，均衡器長(zhǎng)度越長(zhǎng)，收斂速度越慢，但總體差別不大，如圖3中，=11時(shí)，算法需要9次迭代達(dá)到收斂，=21和31時(shí)，也僅需要12次迭代即可完成收斂；=1000時(shí)，均衡器長(zhǎng)為11時(shí)，算法收斂約需要進(jìn)行7次迭代運(yùn)算，=21和31時(shí)，算法需要10次迭代實(shí)現(xiàn)收斂。從算法收斂后，剩余ISI角度看，=600和1000時(shí)，均衡器長(zhǎng)度=21時(shí)，剩余ISI最小，=11時(shí)最大，穩(wěn)態(tài)最大ISI和最小ISI差分別為1 dB (=600)和2 dB (=1000)?？梢钥闯?，在不同均衡器長(zhǎng)度、不同數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度下，本文提出的算法表現(xiàn)出較高的穩(wěn)定性。

表2 信道1沖擊響應(yīng)

圖 3 不同迭代次數(shù)下平均剩余ISI曲線(K=600)???????? 圖4 不同迭代次數(shù)下平均剩余ISI曲線(K=1000)

仿真2 由于穩(wěn)態(tài)誤符號(hào)率能夠反映算法在不同信噪比下的性能，因此采用誤符號(hào)率(SER)指標(biāo)對(duì)算法的穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行分析，并同采用數(shù)據(jù)重用的隨機(jī)梯度RCA求解方法(RC-SGD-RCA)性能進(jìn)行對(duì)比。同樣采用表2所示的FIR信道，發(fā)送信號(hào)采用獨(dú)立同分布的16QAM調(diào)制信號(hào)。圖5和圖6為兩種算法收斂后的誤符號(hào)率曲線，其中，圖5固定均衡器長(zhǎng)度為21，觀測(cè)符號(hào)長(zhǎng)度分別取800, 1000和1200，而圖6中，觀測(cè)信號(hào)長(zhǎng)度固定為1000，而均衡器長(zhǎng)度分別取11, 21和31。RC-SGD-RCA算法仿真中，數(shù)據(jù)復(fù)用長(zhǎng)度為觀測(cè)數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度，迭代步長(zhǎng)因子。

圖5 不同觀測(cè)長(zhǎng)度下兩種算法誤符號(hào)率性能對(duì)比(信道1) ???????? 圖6 不同均衡器長(zhǎng)度下兩種算法誤符號(hào)率性能對(duì)比(信道1)

從圖5和圖6可以看出，由于利用均衡器稀疏特性，通過(guò)加入具有稀疏促進(jìn)作用的先驗(yàn)分布對(duì)均衡器系數(shù)加以約束，本文提出的基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(SBL)的均衡算法性能明顯優(yōu)于基于數(shù)據(jù)復(fù)用的隨機(jī)梯度求解方法，且在高信噪比下優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)更加明顯。此外，本文算法誤符號(hào)率性能在均衡器長(zhǎng)度及觀測(cè)長(zhǎng)度在一定范圍內(nèi)變化時(shí)具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，而RC-SGD-RCA則易受二者的影響。

仿真中發(fā)現(xiàn)，基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的均衡算法收斂后，非零元數(shù)目約占均衡器總長(zhǎng)度的2/3，因此，均衡階段可以減少1/3的計(jì)算量。在算法收斂階段，RC-SGD-RCA方法受均衡器長(zhǎng)度影響較大，其收斂曲線如圖7所示，其中，觀測(cè)信號(hào)長(zhǎng)度取1000，信噪比SNR為20 dB?？梢钥吹?，均衡器長(zhǎng)度=11時(shí)，收斂速度最好，大約需要2000次迭代實(shí)現(xiàn)收斂，性能也最差。=21/31時(shí)，大約需要4000次迭代實(shí)現(xiàn)收斂。結(jié)合3.2節(jié)中算法計(jì)算量公式可知，本文算法在收斂階段需要更大的計(jì)算量。

圖7 RC-SGD-RCA算法不同迭代次數(shù)下平均剩余ISI曲線(信道1)

仿真3 采用國(guó)際電聯(lián)(ITU)Vehicular A信道[17]對(duì)算法性能進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。信道時(shí)延擴(kuò)展為11個(gè)符號(hào)間隔，非零徑數(shù)目為6，非零徑時(shí)延均勻分布，且徑增益服從零均值復(fù)高斯分布，其方差隨時(shí)延呈負(fù)指數(shù)衰減。發(fā)送信號(hào)采用獨(dú)立同分布的16QAM調(diào)制信號(hào)。圖8和圖9為本文算法(SBL)和RC-SGD-RCA算法收斂后的誤符號(hào)率曲線，其中，圖8固定均衡器長(zhǎng)度為31，觀測(cè)符號(hào)長(zhǎng)度分別取800, 1000和1200，而圖9中，觀測(cè)信號(hào)長(zhǎng)度固定為1000，而均衡器長(zhǎng)度分別取21, 31和41。RC-SGD-RCA算法仿真中，迭代步長(zhǎng)因子。可以看出，本文處理方法性能優(yōu)于數(shù)據(jù)復(fù)用的隨機(jī)梯度求解方法，且具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，與仿真2結(jié)論一致。

圖 8 不同觀測(cè)長(zhǎng)度下兩種算法誤符號(hào)率性能對(duì)比(信道2) ????????圖9 不同均衡器長(zhǎng)度下兩種算法誤符號(hào)率性能對(duì)比(信道2)

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)稀疏信道下盲均衡問(wèn)題，在簡(jiǎn)化星座均衡算法框架下建立線性模型，將均衡器系數(shù)視為隨機(jī)變量，使用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的方法求解均衡器后驗(yàn)均值作為其估計(jì)值，得到具有稀疏特性的均衡器系數(shù)。通過(guò)引入具有稀疏特性的先驗(yàn)分布對(duì)均衡器系數(shù)加以約束，在迭代的過(guò)程中，均衡器非零元位置及取值自適應(yīng)調(diào)整，算法收斂特性及穩(wěn)態(tài)誤符號(hào)率性能受均衡器長(zhǎng)度影響較小。本算法屬于數(shù)據(jù)復(fù)用類均衡算法的范疇，重復(fù)使用同一段數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代求解，可以應(yīng)用于突發(fā)通信等數(shù)據(jù)較短的場(chǎng)合。

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Reduced Constellation Equalization Algorithm for Sparse MultipathChannels Based on Sparse Bayesian Learning

ZHANG Kai YU Hongyi HU Yunpeng SHEN Zhixiang

(Institute of Information System Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China)

This paper deals with blind equalization of sparse multipath channels. A linear model is built under the framework of Reduced Constellation Algorithm (RCA). And the inherent sparse nature of the equalizer is exploited by employing a sparse promoting prior distribution. Then, the sparse Bayesian learning iterative inference method is applied to the proposed model in order to obtain the optimal sparse equalizer. The new proposed algorithm, which belongs to data recycling equalization algorithm domain, can be applied to short packet data applications. Compared with traditional Stochastic Gradient Descent (SGD) method, the new proposed algorithm performs more steadily under different equalizer order and has superior steady-state Symbol-Error-Rate (SER) performance. The effectiveness of the proposed algorithm is verified by simulations.

Digital communication; Blind equalization; Sparse channel; Reduced Constellation Algorithm (RCA); Sparse Bayesian learning

TN914.3

A

1009-5896(2016)09-2255-06

10.11999/JEIT151307

2015-11-23；

2016-04-08；

2016-05-25

國(guó)家自然科學(xué)基金(61201380, 61501517)

The National Natual Science Foundation of China (61201380, 61501517)

張凱 zk_xxgc@163.com

張 凱： 男，1988年生，博士生，研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)處理、信道估計(jì).

于宏毅： 男，1963年生，教授，研究方向?yàn)闊o(wú)線通信.

胡赟鵬： 男，1978年生，副教授，研究方向?yàn)闊o(wú)線通信.

沈智翔： 男，1985年生，講師，研究方向?yàn)闊o(wú)線通信.