一種新的用于換熱網(wǎng)絡(luò)全局優(yōu)化的強制進化隨機游走算法

肖媛，崔國民，李帥龍

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一種新的用于換熱網(wǎng)絡(luò)全局優(yōu)化的強制進化隨機游走算法

肖媛，崔國民，李帥龍

（上海理工大學新能源科學與工程研究所，上海200093）

應(yīng)用啟發(fā)式方法在換熱網(wǎng)絡(luò)全局優(yōu)化上的優(yōu)點，提出了一種全新的強制進化隨機游走算法（random walk algorithm with compulsive evolution, RWCE），算法以目標函數(shù)減小為強制方向，通過各換熱單元面積的隨機擴大或縮小，同時實現(xiàn)了整型變量（換熱單元數(shù)）和連續(xù)變量（換熱單元面積）的同步優(yōu)化。另外，算法能夠以一定的概率選擇接受差解，使其具備極強的跳出局部最優(yōu)解的能力和全局搜索能力。算例驗證表明，RWCE算法相比于其他啟發(fā)式方法具有程序簡單、更易實現(xiàn)、算法適應(yīng)性及全局搜索能力更強的優(yōu)點，使優(yōu)化質(zhì)量得到進一步提升。

強制進化隨機游走算法；換熱網(wǎng)絡(luò)；整型變量；連續(xù)變量；優(yōu)化

引 言

換熱網(wǎng)絡(luò)全局最優(yōu)化目前已經(jīng)成為系統(tǒng)工程領(lǐng)域的一個難點和熱點。對于大規(guī)模換熱網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的混合整數(shù)非線性優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化算法常常受制于局部最優(yōu)解問題，而無法獲得令人滿意的結(jié)果。例如夾點技術(shù)法[1]和數(shù)學規(guī)劃法[2]范疇的確定性方法[3]均受限于問題的非凸和非線性，優(yōu)化極易陷入局部最小解，對于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)難以找到全局最優(yōu)解。因此，近年來啟發(fā)式方法因其對目標函數(shù)的要求較低、可操作性及全局搜索能力較強的優(yōu)點，較確定性方法而言在大規(guī)模換熱網(wǎng)絡(luò)的求解中得到了很好的應(yīng)用[4-6]，包括禁忌搜索算法[6]、遺傳算法(genetic algorithm, GA)[7]、微分進化算法(differential evolution, DE)[8-9]、粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)[10]、模擬退火算法(simulated annealing, SA)[11]等。

啟發(fā)式方法是基于隨機技術(shù)的一類群體智能優(yōu)化算法，其關(guān)鍵步驟在于：隨機生成初始種群，根據(jù)不同的優(yōu)化策略來持續(xù)更新種群，不斷向全局最優(yōu)區(qū)域靠近。然而，啟發(fā)式方法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)時，進化后期往往會由于種群多樣性缺失導致早熟收斂，從而喪失全局搜索能力。近年來，學者們也針對這一問題對相應(yīng)的啟發(fā)式方法進行了改進：何巧樂等[12-13]提出了兩種局部搜索策略來完善PSO的局部搜索能力，使算法具有更優(yōu)的全局收斂性能；肖媛等[14]分析了PSO早熟收斂的本質(zhì)并提出了強制跳出策略來改善算法的早熟收斂；陳上等[15]提出了動態(tài)更新策略來豐富DE的種群多樣性使算法獲得更強的全局搜索能力；方大俊等[16]提出了一種具有罰因子協(xié)同進化的DE來保證算法在優(yōu)化進程的正確方向，提高了優(yōu)化效率和精度。另外，為了實現(xiàn)換熱網(wǎng)絡(luò)整型變量的優(yōu)化，有學者提出了雙層算法，將兩種啟發(fā)式方法結(jié)合來實現(xiàn)整型變量和連續(xù)變量的分層優(yōu)化[11,17-21]。然而，雙層算法本質(zhì)上仍屬于分步優(yōu)化的范疇，盡管內(nèi)層與外層間存在信息交流，但很難給出結(jié)構(gòu)變量的最佳進化方向，因此也很難使優(yōu)化質(zhì)量得到顯著的提高。因此，換熱網(wǎng)絡(luò)的嚴重非凸非線性使啟發(fā)式方法依然受制于局部極小值問題，而難以找到全局最優(yōu)解。

鑒于啟發(fā)式方法隨機性的共性及進化后期早熟收斂的缺點，建立了一種全新的強制進化隨機游走算法(random walk algorithm with compulsive evolution, RWCE)，充分利用啟發(fā)式方法隨機性的特點，通過各換熱單元面積的隨機擴大或縮小，實現(xiàn)整型變量（換熱單元數(shù)）和連續(xù)變量（換熱單元面積）的同步優(yōu)化，且割裂種群中個體之間的相互牽制作用，保持個體進化的活躍度和種群的多樣性，從而保證算法在進化過程始終保持較強的全局搜索能力。

1 換熱網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 目標函數(shù)

換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題的目標是能量回收最大或者經(jīng)濟費用最小。本文基于Peng等[11]提出的帶有公用工程靈活布置的分級超結(jié)構(gòu)模型，以經(jīng)濟費用最小為目標，數(shù)學描述為

等式右邊前兩項為公用工程運行費用，后3項分別是換熱器、冷公用工程、熱公用工程的設(shè)備投資費用。在實際優(yōu)化過程中，以單個換熱器的換熱量Q,j,k為優(yōu)化變量，依據(jù)模型中的假設(shè)，冷熱流股逆流布置。依據(jù)換熱器換熱平衡

1.2 主要約束

（1）單股流體熱平衡

（2）冷熱流股可行出口溫度

（3）冷熱公用工程熱平衡

此外，還隱含了換熱面積和換熱量在傳熱計算中的非負約束。每個換熱單元必須滿足如下最小傳熱溫差約束，本文最小傳熱溫差Dmin均取值為0℃。

2 強制進化隨機游走算法

鑒于目前啟發(fā)式方法隨機性的共性及進化后期易早熟收斂的缺點，充分發(fā)揮隨機性方法發(fā)散性搜索的特點，提出了一種完全隨機的強制進化隨機游走算法，其主要策略和目標為：①充分利用隨機性的共性，將樣本粒子的行為處理為最簡單的隨機游走；②使進化策略更簡潔，程序?qū)崿F(xiàn)更方便，整個進化過程只需幾條語句；③減少控制參數(shù)，簡單的限制條件直接轉(zhuǎn)化為進化效率的提升；④全面揭示啟發(fā)式優(yōu)化方法隨機性的共性及本質(zhì)，強制進化和發(fā)散搜索保持算法始終具有極強的全局搜索能力?；谶@些考慮，強制進化隨機游走算法在進化操作上主要體現(xiàn)為：隨機產(chǎn)生初始換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上以目標函數(shù)減小為強制進化方向，隨機地擴大或縮小換熱器的面積實現(xiàn)連續(xù)變量和結(jié)構(gòu)變量的混合進化；同時，當游走到局部最優(yōu)點附近時，有一定的概率隨機接受差解，使其跳出局部最優(yōu)而持續(xù)全局優(yōu)化。RWCE算法流程如圖1所示，其進化的主要步驟如下。

（1）種群初始化。隨機產(chǎn)生初始種群1，其中包含個個體,=1,…,，每個個體對應(yīng)一個E維的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（每個換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的所有換熱器均存在，E為換熱器的個數(shù)），如式(14)所示。每個換熱器的換熱量即表示為Q,p，=1,…,，=1,…,E。初始種群表示如式(15)所示。

其中，max為求解域的大小，為(0,1)區(qū)間均勻隨機數(shù)。

（2）進化階段。對種群內(nèi)部的所有樣本個體循環(huán)進行隨機游走操作，其主要方式如式(16)所示。其中，(=1,…,)為個體在第次迭代的初始換熱量，(=1,…,)為個體隨機游走后的換熱量，,為(0,1)的隨機數(shù)，D表示游走的最大步長。樣本粒子的進化由控制變量組合實現(xiàn)，一個是粒子某一維度上的行走方向(1-2)，=1,…,E；另一個是粒子在這一維度上的行走步長D，=1,…,E。

當完成所有維度上的行走方向和行走步長后，則該粒子在多維空間內(nèi)的隨機游走行為即被確定下來。

進化過程中，最小換熱量或最小換熱面積被作為該換熱單元是否存在的臨界尺度。引入該尺度，在實現(xiàn)連續(xù)變量優(yōu)化的基礎(chǔ)上能同時實現(xiàn)整型變量的同步優(yōu)化，一方面通過實現(xiàn)換熱單元的消去而改變結(jié)構(gòu)，另一方面提供了一個產(chǎn)生新?lián)Q熱單元的“閾值”來控制整型變量的進化進度。具體操作如式(17)所示。

（3）選擇操作?；谝阅繕撕瘮?shù)減小為強制方向的進化思想，若個體隨機游走后的有效換熱量能夠得到更小的年度總費用，則接受該換熱量作為該個體第(+1)次迭代的初始換熱量，=1,…,，否則不更新該樣本粒子，仍保持第次迭代的結(jié)構(gòu)，如式(18)所示。

（4）變異操作。若按式(15)個體隨機游走后的有效換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)未能得到好于上一代的費用，則能夠以一定的概率選擇接受差解，操作如下

其中，為(0,1)的均勻隨機數(shù)，為接受差解的概率。該操作的主要目的是增大整型變量的進化和變異概率，擴展整型變量的搜索空間，進而提高隨機游走算法的全局尋優(yōu)能力。的取值一方面應(yīng)保證整型變量的尋優(yōu)能力，另一方面需兼顧個體的自身進化，保證個體有充足的時間進行自身的進化。

（5）結(jié)束條件。記錄進化過程中的最優(yōu)個體BST。當滿足終止條件時，則迭代終止。此處的終止條件可以設(shè)定為進化代數(shù)、目標函數(shù)下降速度等。

3 算例驗證

為驗證提出算法的性能，選取不同的算例進行優(yōu)化，并對優(yōu)化結(jié)果進行比較，采用Fortran77語言編程，計算機配置為：CPU Intel(R)Xeon(R) E5-2670，主頻2.3 GHz，4 GB RAM?？疾焖惴ǖ膬?yōu)化效能的指標主要在于優(yōu)化質(zhì)量和優(yōu)化效率兩方面。對于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，一般在可接受計算費用的條件下，考察最優(yōu)解的質(zhì)量是目前主要的方面?；诖?，本文在相同計算費用條件下，側(cè)重于從優(yōu)化結(jié)果角度來考察RWCE算法。

3.1 算例1

算例1的流體參數(shù)數(shù)據(jù)取自文獻[20]，包含6股熱流體和4股冷流體，換熱器、冷卻器和加熱器的傳熱系數(shù)均為0.025 kW·m-2·℃-1，換熱器面積費用計算公式為60USD·a-1，熱公用工程費用為100 USD·kW-1·a-1，冷公用工程費用為15 USD·kW-1·a-1，其他物流參數(shù)見表1。

表1 算例1流體參數(shù)

Ravagnani等[7]采用GA得到的最優(yōu)解為5672821 USD·a-1；Yerramsetty等[8]采用DE得到的最優(yōu)結(jié)果為5666765 USD·a-1；Khorasany等[20]采用內(nèi)層為序列二次規(guī)劃法(SQP)、外層為和聲搜索算法(HS)的雙層算法得到的最優(yōu)結(jié)果為5662366 USD·a-1；Huo等[22]采用內(nèi)層為PSO、外層為GA的雙層算法得到的最優(yōu)結(jié)果為5645688 USD·a-1；Myankooh等[23]將ACOR算法應(yīng)用到該算例的優(yōu)化得到的最優(yōu)解為5642112 USD·a-1；肖媛等[14]采用結(jié)合強制跳出策略的PSO得到的最優(yōu)結(jié)果是5629748 USD·a-1；He等[24]采用基于流股匹配原則的Powell法獲得的最好結(jié)果是5609271 USD·a-1；Peng等[11]改進了Grossmann等[2]的分級超結(jié)構(gòu)模型，提出了公用工程靈活替代換熱器的模型，并采用內(nèi)層為SA、外層為GA的雙層算法得到的兩個帶有內(nèi)部公用工程的結(jié)果為5619637 USD·a-1和5596079 USD·a-1，5596079 USD·a-1是目前文獻中得到的最優(yōu)費用。這些啟發(fā)式方法在進化后期由于種群多樣性的缺失而早熟收斂，難以跳出局部極小值而實現(xiàn)全局最優(yōu)化。

采用RWCE算法優(yōu)化算例1，當=400，max=7000 kW，D=100 kW，=0.9，=0.02時，得到了5593486 USD·a-1的最小年綜合費用，對應(yīng)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖2的結(jié)果比目前文獻中的其他優(yōu)化方法得到的費用低，費用對比如表2所示，表明RWCE算法具有強大的全局搜索能力。通過進一步調(diào)整算法的關(guān)鍵參數(shù)，分析其對算法性能的影響，并探索更優(yōu)的局部最優(yōu)解。基于上述參數(shù)，將max調(diào)整為8000 kW時，得到了更優(yōu)的年綜合費用5592150 USD·a-1，其對應(yīng)的換熱結(jié)構(gòu)如圖3所示。該結(jié)果說明在可行域范圍內(nèi)max越大，則解的搜索空間越大，對隨機游走越有利。對于不同的算例，一般取該算例中每股流體的換熱潛能的最大值來確定可行域。D作為判斷換熱單元是否存在的臨界尺度，一方面影響著進化過程中換熱器的消去或生成，另一方面影響著進化后期種群逼近局部最優(yōu)解的精密性，D越小就越能逼近局部最優(yōu)解，D越大則易造成局部極值左右的跳躍。

當D由90 kW調(diào)整至80 kW時，得到了更優(yōu)的年綜合費用5591247 USD·a-1，其換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖4所示。實際上，D相同時越大，可保留的最小換熱量越大，從而能控制進化過程中的換熱單元數(shù)而不至于造成換熱單元數(shù)目大幅增加的問題。越大，消去的換熱單元越多，從而有效減少換熱器的面積費用，對于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化是有利的。算例中取=90%。當然，對于存在很小面積的換熱器的換熱網(wǎng)絡(luò)算例，可根據(jù)實際情況調(diào)小。

通過算例模擬發(fā)現(xiàn)，強制進化概率對優(yōu)化的結(jié)果影響很大。當調(diào)整至0.01時，得到了年綜合費用5589493 USD·a-1的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5所示。通過強制接受壞解，在一定程度上改變了原結(jié)構(gòu)而實現(xiàn)了繼承和進化，既保留了原有性能，同時又實現(xiàn)了整型變量的進化。

表2 算例1的優(yōu)化費用對比

3.2 算例2

算例2取自文獻 [25]，包含6股熱流體與5股冷流體，換熱器面積費用計算公式為9094+4850.81USD·a-1，熱公用工程費用為110 USD·kW-1·a-1，冷公用工程費用為15 USD·kW-1·a-1，算例參數(shù)如表3所示。

表3 算例2流體參數(shù)

Castillo等[25]得到的最優(yōu)解為141554.88 USD·a-1，Silva等[10]采用粒子群算法優(yōu)化該算例得到了有分流的最優(yōu)結(jié)果為139777 USD·a-1。通過RWCE算法優(yōu)化算例2，當=600，max=50 kW，D=50 kW，=0.9，=0.01時得到了139775 USD·a-1的最小年綜合費用，包含8個換熱器和3個冷公用工程，相應(yīng)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6所示。該結(jié)果與目前文獻中的其他優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果對比如表4所示。

表4 算例2的優(yōu)化費用對比

從圖6的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)，存在個別換熱面積較小的換熱器和公用工程，如3.1節(jié)所述，D越小，一方面可保留的換熱器的最小面積越小，意味著生成新的換熱器的概率越大，另一方面也影響著進化后期局部極值的精密程度。因此，基于圖6得到的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，當換熱器個數(shù)超過8個時，設(shè)定D和分別為50 kW和0.9，否則設(shè)定為20 kW和0.15，從而得到了如圖7所示的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，包含10個換熱器和1個冷公用工程，其年綜合費用為139655 USD·a-1。

3.3 算例3

算例3取自文獻[26]，包含4股熱流體與4股冷流體，換熱器、冷卻器的傳熱系數(shù)均為0.15 kW·m-2·℃-1，加熱器的傳熱系數(shù)為0.2 kW·m-2·℃-1，換熱器面積費用計算公式為350.6USD·a-1，熱公用工程費用為11.05 USD·kW-1·a-1，冷公用工程費用為5.31 USD·kW-1·a-1，其他物流參數(shù)見表5。Grossmann等[26]得到的最好結(jié)果為31890 USD·a-1；He等[24]采用基于流股匹配原則的Powell法獲得了無分流換熱網(wǎng)絡(luò)綜合的最好結(jié)果為 30793 USD·a-1。羅立等[27]結(jié)合遺傳算法和模擬退火算法獲得了有分流換熱網(wǎng)絡(luò)綜合的最好結(jié)果為29438 USD·a-1。

本文采用RWCE算法進行了無分流優(yōu)化，設(shè)定=100，max=1000 kW，D=50 kW，=0.9，=0.01，得到了30785 USD·a-1的最小年綜合費用，包含7個換熱器和3個熱公用工程，比文獻[24]中的無分流的最小費用更低，優(yōu)化費用對比如表6所示。相應(yīng)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖8所示。

表5 算例3流體參數(shù)

表6 算例3的優(yōu)化費用對比

4 結(jié) 論

（1）強制進化隨機游走算法(RWCE)充分利用了啟發(fā)式優(yōu)化算法隨機性的特點，將進化策略等效化為最簡潔直觀的隨機游走，不同于其他啟發(fā)式算法的是不依賴于種群中個體的信息交流，能夠保持種群多樣性而避免早熟收斂問題，使得整個優(yōu)化方法針對任何非線性全局最優(yōu)化問題具有易實現(xiàn)、適應(yīng)性強的優(yōu)點。

（2）RWCE算法具有控制參數(shù)少的優(yōu)點，其本質(zhì)控制參數(shù)只有保留系數(shù)和接受差解的概率，因此決定了本方法具有更強的可操作性。

（3）RWCE算法能同步優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)變量和整型變量，且進化過程中始終保持個體的活躍度和種群的多樣性，從而保證了算法具有較強的全局搜索能力。

符 號 說 明

ACU,i——第i股熱流體上冷公用工程的面積，m2 AHU,j——第j股冷流體上熱公用工程的面積，m2 Ap——換熱器面積，m2 CCU,CHU——分別為冷、熱公用工程費用系數(shù) C0,C1,C2——分別為換熱器和冷、熱公用工程固定投資費用 C′0,C′1,C′2——分別為換熱器和冷、熱公用工程面積費用系數(shù) LMTDi,j,k——對數(shù)平均溫差，℃ DL——游走的最大步長，kW M1——初始種群，kW NC——冷流體的數(shù)目 NE——換熱網(wǎng)絡(luò)換熱器的總個數(shù) NH——熱流體的數(shù)目 Nk——級數(shù) QCU,i——第i股熱流體與冷公用工程換熱量，kW QHU,j——第j股冷流體與熱公用工程換熱量，kW Qi,j,k——第i股熱流體與第j股冷流體在第k級匹配的換熱器的換熱量，kW Qmax——求解域的大小，kW Qn,p——個體對應(yīng)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中各換熱器的換熱量，kW ——個體在第it次迭代的初始換熱量，kW ——個體隨機游走后的換熱量，kW ——個體隨機游走后的有效換熱量，kW Ti,k——第i股熱流體第k級的入口溫度，℃ , ——分別為換熱器對應(yīng)的熱流體的入口、出口溫度，℃ ——第i股熱流體上末級的換熱器的出口溫度，℃ Tin,i,Tin,j——分別為熱、冷流體的入口溫度，℃ Tj,k——第j股冷流體第k級的入口溫度，℃ , ——分別為換熱器對應(yīng)的冷流體的入口、出口溫度，℃ ——第j股冷流體上第1級的換熱器的出口溫度，℃ Tout,i,Tout,j——分別為熱、冷流體的目標溫度，℃ DTmin——最小傳熱溫差，℃ Ui,j——對流傳熱系數(shù)，W·m-2·K-1 a, e, g,r——(0,1)的均勻隨機數(shù) b——面積費用指數(shù) d——接受差解的概率 h——保留系數(shù) 上角標 in——入口 out——出口 下角標 C——冷流體 CU——冷公用工程 H——熱流體 HU——熱公用工程 i——熱流體編號 in——入口 j——冷流體編號 k——級編號 n——種群中個體編號 out——出口 p——換熱器編號

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A novel random walk algorithm with compulsive evolution for global optimization of heat exchanger networks

XIAO Yuan, CUI Guomin, LI Shuailong

(Institute of New Energy Science and Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

A novel random walk algorithm with compulsive evolution (RWCE) was proposed on the basis of different heuristic methods for global optimization of heat exchanger networks. In RWCE algorithm, both integer (., number of heat exchanger units) and continuous (., area of heat exchanger) variables were optimized simultaneously by expanding or contracting randomly area of heat exchangers in the direction of targeting cost reduction. Moreover, when individuals walked around local optima, the RWCE algorithm could compulsively accept imperfect networks at certain probability such that it had strong capability of jumping out of the local optima and continuing global optimization. Several case studies indicated that the proposed RWCE algorithm, compared to other heuristic methods, possessed characteristics of simple evolution strategy, strong algorithm suitability and global searchability, which significantly improved optimization performance.

random walk algorithm with compulsive evolution；heat exchanger network；integer variable；linear variable；optimization

date: 2016-04-18.

Prof. CUI Guomin, cgm@usst.edu.cn

10.11949/j.issn.0438-1157.20160498

TP 18

A

0438—1157（2016）12—5140—08

國家自然科學基金項目（51176125）；滬江基金研究基地專項（D14001）；上海市科委部分地方院校能力建設(shè)計劃項目（16060502600）。

supported by the National Natural Science Foundation of China (51176125), the Hujiang Foundation of China (D14001) and the Capacity Building Plan for Some Non-military Universities and Colleges of Shanghai Scientific Committee(16060502600).

2016-04-18收到初稿，2016-07-12收到修改稿。

聯(lián)系人：崔國民。第一作者：肖媛（1991—），女，博士研究生。