配電網(wǎng)重構(gòu)的凸模型

榮德生，胡舉爽

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，葫蘆島125105）

配電網(wǎng)重構(gòu)的凸模型

榮德生，胡舉爽

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，葫蘆島125105）

推導(dǎo)出了配電網(wǎng)重構(gòu)的混合整數(shù)二次規(guī)劃模型、二次規(guī)劃二次約束模型和二階錐規(guī)劃模型，并提出有連續(xù)凸松弛的AC潮流問(wèn)題。所提各模型可由標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)軟件可靠、有效地解決最優(yōu)性問(wèn)題。在推導(dǎo)各模型的過(guò)程中，得到了放射性網(wǎng)絡(luò)潮流的近似原始二次約束模型和二階錐規(guī)劃模型。

配電網(wǎng)重構(gòu)；負(fù)載平衡；混合整數(shù)二次規(guī)劃；二階錐規(guī)劃

引言

配電網(wǎng)重構(gòu)需要合理選擇開(kāi)關(guān)的開(kāi)、閉組合，優(yōu)化某些性能，同時(shí)保持網(wǎng)絡(luò)的放射性［1-2］。配電網(wǎng)重構(gòu)最初由支路交換法處理，隨后由遺傳算法、模擬退火算法和其他一些啟發(fā)式算法處理［3-6］。由于其廣泛適用性，這些方法很受歡迎，比如在黑盒模型中，但是反過(guò)來(lái)有可能忽略在更大的問(wèn)題中比較重要的內(nèi)在結(jié)構(gòu)問(wèn)題。為此，本文推導(dǎo)出了配電網(wǎng)重構(gòu)的混合整數(shù)二次規(guī)劃QP （quadratic programming）、二次約束二次規(guī)劃QCP （quadratically constrained programming）、二階錐規(guī)劃SOCP（second-order cone programming）。

當(dāng)所有變量都連續(xù)時(shí)，所有此類(lèi)問(wèn)題總是凸的，而且可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)高效求解。眾所周知，當(dāng)這類(lèi)問(wèn)題中的部分變量是離散變量時(shí)，這類(lèi)問(wèn)題變成非確定多項(xiàng)式時(shí)間難（NP-hard）問(wèn)題。然而，很多整數(shù)規(guī)劃算法，像分支定界算法，在可以有效地計(jì)算邊界時(shí)能夠保持優(yōu)良性能。因此，希望混合整數(shù)問(wèn)題有凸的，多項(xiàng)式時(shí)間連續(xù)的松弛。文獻(xiàn)［7］中，使用Benders分解法解決了混合整數(shù)非線性規(guī)劃，同理，本文解決了混合整數(shù)非線性凸規(guī)劃。

本文介紹了3種新的凸模型，第3部分展示了它們的實(shí)用性。同時(shí)，在推導(dǎo)這些公式的過(guò)程中，獲得了放射式網(wǎng)絡(luò)的近似潮流公式。該模型代表了AC潮流問(wèn)題的凸近似，是一種已經(jīng)在最優(yōu)潮流、輸電規(guī)劃和機(jī)組組合取得成功的方法。本文公式的應(yīng)用已經(jīng)超出配電網(wǎng)重構(gòu)，擴(kuò)展到許多放射性網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化問(wèn)題，如儲(chǔ)能裝置配置和分布式發(fā)電。

有兩點(diǎn)能區(qū)分現(xiàn)有方法和本文方法的不同。第一是方便，該模型可以使用許多強(qiáng)大的商業(yè)軟件解決，讓用戶(hù)只對(duì)模型編程而規(guī)避算法。雖然標(biāo)準(zhǔn)軟件中有許多可調(diào)參數(shù)，但是默認(rèn)設(shè)置和自動(dòng)參數(shù)選擇通常會(huì)使算法性能更強(qiáng)大，而且無(wú)需用戶(hù)干預(yù)。同樣，起始點(diǎn)可以由用戶(hù)設(shè)定，但是如果沒(méi)有設(shè)定，就會(huì)自動(dòng)生成；第二該算法可以保證全局最優(yōu)，好多啟發(fā)式算法無(wú)法真正地保證全局最優(yōu)。如結(jié)果部分所示，這些解決方案可能確實(shí)需要大量的計(jì)算時(shí)間，然后提供有用的基本解決方案，可作為快速、實(shí)時(shí)技術(shù)的起始解。

1　DistFlow方程

對(duì)放射式AC網(wǎng)絡(luò)，廣泛地利用DistFlow方程。pij和qij表示節(jié)點(diǎn)i注入節(jié)點(diǎn)j的有功功率和無(wú)功功率，Vi表示電壓幅值，和表示節(jié)點(diǎn)i的有功和無(wú)功負(fù)荷。注意pij和qij不等于pji和qji。由于Vi沒(méi)有在公式中出現(xiàn)，把v2i本身作為一個(gè)變量。B為節(jié)點(diǎn)集合，W為線路集合，rij和xij為線路電阻和電抗，除非另有說(shuō)明，單下表約束都是B矩陣中節(jié)點(diǎn)i的約束，雙下表約束是W矩陣中節(jié)點(diǎn)（i，j）的約束。DistFlow方程為

2　凸模型

2.1二次規(guī)劃

本文使用去除所有二次項(xiàng)約束、與固定電壓幅值在同一標(biāo)幺值下得到的簡(jiǎn)化DistFlow方程。Ws為W中有開(kāi)關(guān)的線路集合，BF為變電站節(jié)點(diǎn)集合。為變電站節(jié)點(diǎn)的有功功率和無(wú)功功率，M是一個(gè)足夠大的分離參數(shù)。需要注意的是集合BF可以包含多個(gè)變電站節(jié)點(diǎn)，這些變電站節(jié)點(diǎn)連接到一個(gè)樹(shù)上。通過(guò)耦合目標(biāo)，得到混合整數(shù)二次規(guī)劃網(wǎng)損最小的目標(biāo)函數(shù)，即

把式（7）～式（16）作為Ω。連續(xù)變量zij和zji指出潮流流動(dòng)方向的線路有關(guān)。每一條開(kāi)關(guān)線路和二進(jìn)制變量yij有關(guān)，當(dāng)開(kāi)關(guān)打開(kāi)時(shí)是0，閉合時(shí)是1。需要注意的是，由于此變量無(wú)方向性，因此，二進(jìn)制變量的個(gè)數(shù)就等于開(kāi)關(guān)的數(shù)量。由此，盡管zij只取0或1，沒(méi)有必要強(qiáng)制它們是離散的，因此它們的計(jì)算量較小。這些放射式約束和文獻(xiàn)［7］幾乎相同。然而，本文提法更有一般性，因?yàn)椴⒉皇敲織l線路都需要開(kāi)關(guān)，這樣就潛在地節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。為了徹底考慮本文和之前放射式約束提法的不同，將證明本文方案的結(jié)果總是放射式重構(gòu)，首先給出一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

以一個(gè)3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例。第1個(gè)節(jié)點(diǎn)和第3個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有個(gè)變電站，每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間設(shè)有開(kāi)關(guān)線路。由式（12）得，z21=z23=0，那么y12=z12，y23=z32。由式（15）可知z12+z32=1，因此y12或y23為0，導(dǎo)致放射式網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)中，2條饋線之間不存在路徑。下面的參數(shù)普遍延伸到本文后面的模型中。

要求1：任何可行的z必須是0和1，并且，對(duì)于每個(gè)變電站，描述了一個(gè)邊緣的、未加權(quán)的，有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)的有向樹(shù)圖。

證明：假設(shè)y是固定的，令Wy=｛（i，j∈Ws∶yij=1｝∪WWs，換句話說(shuō)就是開(kāi)關(guān)閉合的線路和沒(méi)有開(kāi)關(guān)的線路的集合。考慮以變電站節(jié)點(diǎn)為起點(diǎn)通過(guò)Wy一條路徑，記為節(jié)點(diǎn)0。對(duì)于任何（0，i）∈Wy，z0i=1由式（13）～式（15），對(duì)于任何j∈B｛0｝，zij=1。通過(guò)沿著路徑歸納可以知道，由變電站節(jié)點(diǎn)起始的路徑的任何z，必須滿(mǎn)足：流進(jìn)時(shí)z為0，流出時(shí)z為1。因此，2條起始于同一個(gè)變電站節(jié)點(diǎn)的路徑不能滿(mǎn)足（因?yàn)槠鹗加谕粋€(gè)變電站節(jié)點(diǎn)，會(huì)形成一個(gè)環(huán)）。如果形成了一個(gè)不包含變電站節(jié)點(diǎn)的環(huán)，那么這個(gè)環(huán)中的節(jié)點(diǎn)沒(méi)有流入任何潮流，式（5）和式（6）不能被滿(mǎn)足。由此得出結(jié)論：z必須是描述變電站節(jié)點(diǎn)的樹(shù)狀圖。要滿(mǎn)足這一點(diǎn)，Wy自身必須由樹(shù)構(gòu)成，這樣才能滿(mǎn)足所有可行解的結(jié)果是放射式重構(gòu)。

注意到上述公式中的連續(xù)變量比必要的多：由等式約束式（13）和式（14）可知，每條線路都需要的變量只有z。然而，由于限制因素是離散的、不連續(xù)的變量的數(shù)目，為了便于闡述，選擇了上述稍微不太有效的表述。此外，期望模型的靈活性是內(nèi)在的，也就是說(shuō)，一條潮流只能單向流動(dòng)的線路可以通過(guò)明確設(shè)置zij=0或zji=1而被模型容納。需要注意的是，在可行的重構(gòu)中，連接在一起的每個(gè)部分只能有1個(gè)變電站節(jié)點(diǎn)。

2.2二次約束二次規(guī)劃

把本文的框架擴(kuò)展到QCP，通過(guò)3種方式增強(qiáng)模型的能力。首先，線路潮流約束可以描述為p2ij+ q2ij≤S2ij，此處S表示線路容量，這是新的約束；其次，認(rèn)識(shí)到式（5）和式（6）要求流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的潮流大于負(fù)荷加上流出的潮流，如果用式（17）和式（18）替代式（5）和式（6），那么損耗就近似考慮在潮流平衡中，即

剩下的QP約束不變。由于潮流平衡考慮了損耗，則變電站節(jié)點(diǎn)潮流總和為

式（19）可以代替式（4），等效作為減小損耗的目標(biāo)函數(shù)。第三，文獻(xiàn)［2］中的負(fù)荷平衡表達(dá)式通過(guò)增加約束被接納，而且最小化了目標(biāo)t，即

實(shí)際上，QCP問(wèn)題通常用SOCP算法解決。

2.3SOCP規(guī)劃

本文推導(dǎo)出二階錐規(guī)劃的近似Distflow方程，和式（3）相比，僅僅缺少最后一項(xiàng)，從而允許電壓變化遠(yuǎn)離標(biāo)幺值。這樣的修改是合理的，因?yàn)殡娮韬碗娍箻?biāo)幺值的平方使得此項(xiàng)比其他項(xiàng)小得多。此近似表達(dá)式由以下約束替代式（5）和式（6）獲得。約束的集合用Φ表示，即

再次在式（23）、式（24）、式（27）、式（28）中使用只有在zji=1才“有效”的分離性約束。具體而言，這些約束的組合等價(jià)于當(dāng)zji=1時(shí)式（3）去掉最后一項(xiàng)，當(dāng)zji=0時(shí)等價(jià)于強(qiáng)制沒(méi)有約束（假設(shè)M足夠大）。式（23），式（24）～式（26）的組合當(dāng)zji=1時(shí)，重現(xiàn)式（1）、式（2），當(dāng)zji=0時(shí)，再次有效地非強(qiáng)制。

式（25）和式（26）是雙曲函數(shù)約束，屬于SOCP問(wèn)題最廣泛的一類(lèi)約束。就QCP和LP問(wèn)題而言，可以寫(xiě)成SOCP形式的任何約束都是凸的，適合SOCP算法的。這一點(diǎn)有上述集合驗(yàn)證，因?yàn)樯鲜黾s束都是有LP，QP和SOCP的約束組成。引入額外變量p~i和q~i的目的是把約束化為SOCP的形式，以便可以被商業(yè)軟件識(shí)別。對(duì)于固定的網(wǎng)絡(luò)，這些約束和第2.2部分的二次約束構(gòu)成了新的放射性網(wǎng)絡(luò)近似潮流方程。

SOCP是凸的QCP問(wèn)題的多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)的概括，可以用內(nèi)點(diǎn)算法高效地解決。雖然混合整數(shù)SOCP沒(méi)有達(dá)到混合整數(shù)LP和混合整數(shù)QP的成熟程度，但是可以通過(guò)商業(yè)解算器用分支定界法解決。此外，割平面法和改進(jìn)的連續(xù)松弛法是研究的熱點(diǎn)，因此，在不遠(yuǎn)的將來(lái)會(huì)有大幅改善。

3　算例分析

用本文中的各種模型對(duì)69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu)。69節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)系統(tǒng)，有74條支路，5個(gè)聯(lián)絡(luò)開(kāi)關(guān)，如圖1所示［8］。對(duì)于所有的節(jié)點(diǎn)i增加約束

表1　算例中的目標(biāo)和約束Tab.1 Objectives and constraints of the example

圖1　69節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)系統(tǒng)Fig.1 Schematic diagram of 69-bus distribution system

這樣用簡(jiǎn)化的DistFlow方程處理最低節(jié)點(diǎn)電壓實(shí)際上是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題。

表1中總結(jié)了算例中的目標(biāo)函數(shù)和約束。

由此產(chǎn)生的混合整數(shù)規(guī)劃可以用AMPL建模語(yǔ)言和CPLEX解算器在目前水平計(jì)算機(jī)上解決?？梢哉f(shuō)CPLEX能夠方便地解決本文的所有問(wèn)題，而不用調(diào)用其他程序。

表2給出了本文每個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算速度。當(dāng)然，所有的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)都是放射性的。從表中可以看出，通過(guò)配電網(wǎng)重構(gòu)，不僅網(wǎng)損顯著降低，而且節(jié)點(diǎn)電壓質(zhì)量得到很好改善。同時(shí)可以看出，QCP和SOCP模型比QP模型更精確，但是使用目前可用的算法要花費(fèi)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間。增加電阻和電抗會(huì)阻礙所有模型的性能，因?yàn)镼P不考慮約束的損耗，期望QCP和SOCP模型在這種情形下保持比QP更好的精度。

表2　配電網(wǎng)重構(gòu)前后結(jié)果Tab.2 Results before and after reconfiguration

4　結(jié)語(yǔ)

本文介紹了3種配電網(wǎng)重構(gòu)的混合整數(shù)規(guī)劃凸模型，并且這些模型都可以使用強(qiáng)大的凸優(yōu)化算法。算例表明二次規(guī)劃模型是有效的，并且實(shí)用性很強(qiáng)。二階錐規(guī)劃在產(chǎn)生可靠解決方案時(shí)更有效，但是計(jì)算代價(jià)稍高。待混合整數(shù)二階錐規(guī)劃算法得到實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)后，SOCP和QCP模型會(huì)成為更具擴(kuò)展性的選擇。各個(gè)模型另一個(gè)亮點(diǎn)是利用已有商業(yè)軟件的便利性，并且其可擴(kuò)展性可以通過(guò)對(duì)最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行松弛達(dá)到。未來(lái)進(jìn)一步的研究工作包括更好地了解對(duì)最優(yōu)性要求進(jìn)行松弛的方法，以及如何利用正在改進(jìn)的混合整數(shù)二階錐規(guī)劃算法。

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RONG Desheng，HU Jushuang
（Faculty of Electrical and Control Engineering，Liaoning Technical University，Huludao 125105，China）

Convex Model of Distribution System Reconfiguration

Three models of new mixed-integer quadratic，quadratically constrained and second-order cone programming of distribution system reconfiguration are derived，and the AC problem about convex，continuous relaxations is proposed.Each model optimality can be solved reliably and efficiently by standard commercial software.In the course of deriving for each model，the original quadratically constrained and second-order cone approximations model are obtained，to power flow in radial networks.

distribution system reconfiguration；load balancing；mixed-integer quadratic programming；second-order cone programming.

榮德生

榮德生（1975-），男，博士，副教授，研究方向：節(jié)能型電力電子技術(shù)及應(yīng)用，E-mail：345178299@qq.com。

2015-09-14

胡舉爽（1990-），男，通信作者，碩士研究生，研究方向：配電網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)、規(guī)劃與可靠性，E-mail：1403436227@qq.com。