“衛(wèi)星變軌”中疑難問題突破舉隅

□ 江蘇省昆山中學(xué) 楊傳頂

“衛(wèi)星變軌”中疑難問題突破舉隅

□ 江蘇省昆山中學(xué) 楊傳頂

處理衛(wèi)星變軌中加速還是減速的問題，關(guān)鍵在于會比較衛(wèi)星在不同位置的速度大小。穩(wěn)定圓軌道上的速度可直接通過公式比較，而變軌前后瞬間的速度大小，則需要根據(jù)其做向心還是離心運動來判斷。

衛(wèi)星變軌向心和離心曲率半徑玻爾模型

一、變軌過程

以發(fā)射地球同步衛(wèi)星為例，將其過程簡化為圖1所示。軌道1為近地圓軌道，軌道2、3分別為同步轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道。發(fā)射同步衛(wèi)星時，并非直接使用運載火箭將其運送至軌道3，而是先發(fā)射至近地圓軌道1，從軌道1至3也不能直接完成，還需要經(jīng)過軌道2的過渡，再調(diào)整到軌道3，加速或減速的操作只在切點P和Q處短暫進行。對該過程的理解，是正確掌握前文所提問題的基礎(chǔ)。

二、變軌原理

假定衛(wèi)星在軌道1上運行速率為v1，軌道1半徑為r1，萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力，由動力學(xué)知識

可知，此時為穩(wěn)定的勻速圓周運動，若需將軌道調(diào)整至軌道2，即在P點處做離心運動，需滿足條件

其中r為軌道2在P、Q點處的曲率半徑。然后衛(wèi)星僅在引力作用下，沿橢圓軌道2從P運行至Q，速率減小至vQ，在無任何其他影響下，又將沿軌道2做向心運動回到P點。若需將軌道從2調(diào)整至3，則應(yīng)在Q點處再次執(zhí)行加速指令，將速率從vQ增加至v3。同理在Q點處滿足方程

其中為軌道3的半徑。由以上分析可知，在P、Q處需要執(zhí)行的是加速操作。我們也可通過簡單的數(shù)學(xué)運算，得到Vp＞V1以及V3＞VQ的結(jié)論。由能量守恒

由⑥式不難看出r1＜r＜r3，比較①式和②式，可知vp＞v1，比較③式和④式，可得v3＞vQ。該過程的另一意義在于，即使不用復(fù)雜數(shù)學(xué)知識，只通過物理方法，也可以解出橢圓軌道2在P、Q處的曲率半徑，這種方法突出體現(xiàn)了數(shù)理結(jié)合的思想，讓學(xué)生有耳目一新的感覺，對提高學(xué)生的認識水平很有好處。

三、曲率半徑

上述計算中使用到了曲率半徑的知識，《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理②必修》（下文簡稱《必修②》）對該部分知識有如下描述：“運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動，可以稱為一般的曲線運動。盡管這時曲線各個位置的彎曲程度不一樣，但在研究時，可以把這條曲線分割為許多很短的小段，質(zhì)點在每小段的運動都可以看作是圓周運動的一部分。這樣，在分析質(zhì)點經(jīng)過曲線上某位置的運動時，就可以采用圓周運動的分析方法來處理了?！薄侗匦蔻凇凡⑽刺峒扒拾霃降母拍?，教授時對此部分內(nèi)容也幾乎一帶而過。其實在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，不妨明確指明曲率半徑的概念，這對后續(xù)學(xué)習(xí)將大有裨益，如圖2所示，圖中的圓周即為曲線分別在A、B點的曲率圓，其半徑即為相應(yīng)的曲率半徑。

也可以通過一種比較特殊的、直觀的辦法來理解曲率半徑。圖3中兩個圓相切于A點，兩個圓在A點處的曲率半徑分別為兩圓的半徑，顯然外圓半徑大于內(nèi)圓半徑。因此，可以得出定性的結(jié)論：在切點處，外弧線的曲率半徑比內(nèi)弧線的大。該圖對理解和比較曲率半徑大小有著積極的意義。

四、能量問題

從能量角度，可以對變軌問題有一個更直觀的認識。從低軌道至高軌道，需要發(fā)動機對衛(wèi)星做正功使其加速，做離心運動；從高軌道至低軌道，則需做負功使其減速，從而做向心運動。反之，如果從低軌道至高軌道，對衛(wèi)星不是做正功，而是做負功，相當(dāng)于發(fā)射衛(wèi)星時不用火箭推進，這是違背自然常識，違背對能量守恒的基本認知的。

五、四個速度

以上分析過程清晰表明：衛(wèi)星從低軌道變軌至高軌道，需要執(zhí)行的是加速操作，而不是減速操作。衛(wèi)星在高軌道運行速度之所以小于在低軌道上的速度，則是在軌道2上從P點至Q點克服引力做功的原因。根據(jù)方程①～④和⑥式可以分別解出 v1≈7.9km/s，vp≈10.4km/s，vQ≈1.6km/s，v3≈3.1km/s，并能直接比較出各個速度的大小。這些計算過程并不復(fù)雜，可以留給學(xué)生自主完成，既熟悉了公式，又可以加深對原理的理解，還可以拓展知識面，可謂一舉多得。

六、軌道漸變和修正

人造衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，衛(wèi)星運行空間仍然有稀薄大氣存在，其運行將會受到阻力的影響，且大氣阻力對衛(wèi)星做負功，這將會導(dǎo)致其軌道半徑緩慢減小。當(dāng)這種改變到了比較明顯的程度，影響正常功能發(fā)揮的時候，就需要對衛(wèi)星進行變軌，通過發(fā)動機對其做正功，使之升高到原來的軌道。對衛(wèi)星進行變軌操作時，需要消耗其所攜帶的燃料，當(dāng)燃料因各種需要耗盡以后，將無法再對其進行軌道修正與控制，最終變成太空垃圾。

七、與玻爾原子模型類比

人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動，與電子繞氫原子核的運動相比，既有相似點，又有不同之處。

1.相似點。衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，電子繞氫原子核運動的向心力則由庫侖力提供，二種運動都是在有心力作用下的勻速圓周運動，遵循完全相似的分析方法。由及前述分析過程可知，當(dāng)電子由內(nèi)層軌道往外層軌道躍遷時，同樣也需要吸收能量，到半徑更大的新軌道上時，速度變小。同理，從外層軌道向內(nèi)層軌道躍遷時，則會放出能量，到半徑更小的內(nèi)層軌道上時，速度變大。

2.不同點。實際問題中更多關(guān)注的是二者的相同點，往往忽視了兩者之間的不同之處。衛(wèi)星繞地球運行時，其軌道是連續(xù)的，不會發(fā)生突變，而在玻爾原子模型中，電子的軌道卻是定態(tài)的，不連續(xù)的，從一個軌道躍遷至另一軌道，會發(fā)生能級的突變。當(dāng)然這是經(jīng)典理論與量子理論的區(qū)別，這里僅僅提出該問題，以引起教學(xué)上的重視，并不做重點討論。