應(yīng)用邊界交叉法的高超聲速滑翔飛行器多目標(biāo)軌跡優(yōu)化*

汪　雷，葛健全，楊　濤，豐志偉，李正楠

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙　410073)

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應(yīng)用邊界交叉法的高超聲速滑翔飛行器多目標(biāo)軌跡優(yōu)化*

汪雷，葛健全，楊濤，豐志偉，李正楠

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙410073)

針對(duì)高超聲速滑翔飛行器復(fù)雜約束條件下多目標(biāo)軌跡設(shè)計(jì)問題，基于邊界交叉法和偽譜法提出多目標(biāo)軌跡優(yōu)化方法。分析高超聲速滑翔飛行器復(fù)雜約束軌跡優(yōu)化問題的特點(diǎn)，提出多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題。采用邊界交叉法和偽譜法將多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一組單目標(biāo)優(yōu)化子問題，利用非線性規(guī)劃算法分別求解。在優(yōu)化過程中，將已求解子問題的解作為下一個(gè)子問題的初始值，求解最大橫程和最小峰值熱流軌跡優(yōu)化問題。仿真結(jié)果表明：所提方法能夠有效搜索到優(yōu)化軌跡的Pareto前沿，可以為高超聲速滑翔飛行器軌跡設(shè)計(jì)提供參考。

高超聲速滑翔飛行器；軌跡優(yōu)化；多目標(biāo)優(yōu)化；邊界交叉法；高斯偽譜法

助推-滑翔式飛行器以其增加射程、提高突防能力的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)正成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。彈道優(yōu)化技術(shù)是該類飛行器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)之一，其再入彈道設(shè)計(jì)通常需要同時(shí)考慮多個(gè)性能指標(biāo)，如縱程、橫程、駐點(diǎn)最大熱流、總加熱量等。這些目標(biāo)有些是沖突的，如縱程和射程、縱程和總加熱量等。對(duì)于這種多個(gè)沖突目標(biāo)的軌跡優(yōu)化問題，工程中通常采用的方法是選擇最重要的目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，而將其他目標(biāo)作為約束，或采用加權(quán)和方法聚合為一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。但是上述方法每次只能優(yōu)化得到一個(gè)解，無法得到整個(gè)Pareto前沿。

近年來，隨著非線性規(guī)劃方法的廣泛應(yīng)用，出現(xiàn)了許多新的基于權(quán)重方法的多目標(biāo)優(yōu)化方法，其中最具代表性的方法是邊界交叉法。Das等[1]提出了求解多目標(biāo)優(yōu)化問題(Multi-objective Optimization Problem，MOP)的正規(guī)邊界交叉(Normal Boundary Intersection，NBI)方法。之后，Messac等[2]提出了歸一化正規(guī)約束(Normalized Normal Constraint，NNC)方法。這兩種方法均屬于邊界交叉(Boundary Intersection，BI)法[3]，其基本思想是：在一般情況下，連續(xù)MOP的Pareto前沿是可達(dá)目標(biāo)集左下邊界的一部分。BI方法的基本思想是尋找該邊界與一組直線的交點(diǎn)來近似Pareto前沿。如果這一組直線在某種意義下是均勻分布的，則可獲得對(duì)Pareto前沿的較均勻近似。BI法將原MOP轉(zhuǎn)化為一組單目標(biāo)優(yōu)化問題，并采用非線性規(guī)劃對(duì)這些單目標(biāo)問題逐一求解，并利用相鄰單目標(biāo)問題的解作為初始值來提高求解效率。Logist等[4]將BI應(yīng)用于多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題的求解，用于快速產(chǎn)生多個(gè)Pareto前沿。

1　滑翔飛行器軌跡優(yōu)化模型

1.1三自由度再入運(yùn)動(dòng)模型

由于滑翔飛行器為升力體，彈體扁平，常采用傾斜轉(zhuǎn)彎(Bank To Turn, BTT)，可認(rèn)為飛行中側(cè)滑角保持為零。不考慮地球旋轉(zhuǎn)，建立三自由度運(yùn)動(dòng)模型，其中位置參數(shù)以地心距r、經(jīng)度λ和緯度φ三個(gè)參數(shù)來描述，速度參數(shù)由速度大小V、速度傾角θ和速度偏角σ確定。速度傾角θ是速度矢量與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角，速度矢量指向水平面上方則θ為正。速度偏角σ是速度矢量在當(dāng)?shù)厮矫嫱队芭c正北方向的夾角，從正北方向到速度矢量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)σ為正。由上述參數(shù)表示的無動(dòng)力三自由度再入運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

其中，ν為側(cè)傾角，表示升力方向與包含速度矢量的鉛垂面之間的夾角，從飛行器尾部向前看，若升力方向向右傾斜，則側(cè)傾角為正。

從最優(yōu)控制的角度看，再入動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是飛行器的位置參數(shù)、速度參數(shù)，控制變量就是攻角、側(cè)傾角，彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的就是尋找最優(yōu)的攻角、側(cè)傾角曲線，使得性能指標(biāo)最小化。

1.2彈道約束條件

1.2.1氣動(dòng)熱約束

再入彈道設(shè)計(jì)必須考慮氣動(dòng)加熱對(duì)熱防護(hù)系統(tǒng)(Thermal Protection System, TPS)的影響，TPS材質(zhì)確定了飛行器表面溫度、駐點(diǎn)熱流的極限。通常對(duì)沿彈道飛行的總吸熱量與駐點(diǎn)最大熱流進(jìn)行限制。駐點(diǎn)熱流約束為：

(2)

1.2.2過載約束

飛行器再入時(shí)必須考慮過載對(duì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響。飛行器在再入段總過載通常較小，總過載約束對(duì)滑翔式飛行器再入影響不是很嚴(yán)重，再入段主要考慮法向過載約束，即

(3)

1.2.3動(dòng)壓約束

主要考慮動(dòng)壓對(duì)飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)和穩(wěn)定性的影響。動(dòng)壓是飛行力學(xué)中最重要的量，空氣動(dòng)力和力矩與動(dòng)壓直接相關(guān)，它影響氣動(dòng)控制面的執(zhí)行效率以及飛行器的穩(wěn)定性。過大的鉸鏈力矩將可能損壞舵面控制機(jī)構(gòu)，而且姿態(tài)穩(wěn)定性(特別是側(cè)向穩(wěn)定性)要求動(dòng)壓在一定范圍之內(nèi)，以滿足飛行控制系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)定性的要求。動(dòng)壓q應(yīng)滿足：

(4)

1.2.4平衡滑翔約束

再入飛行器應(yīng)具有充分的機(jī)動(dòng)能力以滿足制導(dǎo)控制系統(tǒng)的要求。當(dāng)彈道高度過高時(shí)，由于空氣稀薄，可獲得的升力不足以平衡重力，一旦飛行器受到擾動(dòng)，飛行器將有可能跟蹤不上預(yù)定彈道，從而影響制導(dǎo)性能，甚至導(dǎo)致無法完成飛行任務(wù)。為保證彈道的可控性，必須保證沿彈道飛行器可獲得的最大升力能夠平衡其他力，即滿足：

(5)

1.2.5禁飛區(qū)約束

禁飛區(qū)指設(shè)計(jì)彈道不能經(jīng)過的區(qū)域，主要是考慮規(guī)避敵方探測(cè)和突防而增加的約束。為便于處理，不考慮禁飛區(qū)的高度約束，認(rèn)為禁飛區(qū)為無限高圓柱形區(qū)域，彈道和該區(qū)域不能相交，彈道點(diǎn)與禁飛區(qū)中心在地面投影的最短距離大于禁飛區(qū)半徑時(shí)即滿足：

(6)

其中，λnfz和φnfz表示禁飛區(qū)中心經(jīng)、緯度，Rnfz表示禁飛區(qū)半徑。

1.2.6控制量約束

在飛行過程中由于受硬件限制，攻角、側(cè)傾角等控制量的幅值不能超過約束值。

(7)

1.2.7終端約束

終端約束由飛行任務(wù)決定，如要求擊中目標(biāo)，則彈道終端位置參數(shù)應(yīng)與目標(biāo)一致，即

(8)

作為對(duì)地打擊的再入飛行器，根據(jù)作戰(zhàn)需要，通常還對(duì)落地彈道傾角和落地速度有要求，即

(9)

1.3性能指標(biāo)

對(duì)飛行器性能分析時(shí)，常取射程最大、末速最大等性能指標(biāo)。如取終端射程最大為優(yōu)化指標(biāo)時(shí)，

J=min[-L(tf)]

(10)

當(dāng)彈道終點(diǎn)位置確定，需得到一條標(biāo)準(zhǔn)彈道時(shí)，常取路徑最短、時(shí)間最短、總加熱量最小等優(yōu)化指標(biāo)。如選擇總加熱量最小作為性能指標(biāo)時(shí)，

(11)

2　多目標(biāo)軌跡優(yōu)化方法

2.1多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題

多目標(biāo)軌跡優(yōu)化與普通軌跡優(yōu)化問題的主要區(qū)別在于優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)較多，其他約束條件均不變。參考單目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題，多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題可以表述[4]為：

確定控制函數(shù)u(t)∈Rm(和時(shí)間t0，tf)，使得多個(gè)性能函數(shù)最小。

min J=(J1,…,Jm)T

(12)

滿足狀態(tài)方程約束：

(13)

滿足邊界條件約束：

G(x0,t0;xf,tf;p)=0

(14)

滿足路徑約束：

C[x(t),u(t),p,t]≤0,t∈[t0,tf]

(15)

其中，x為狀態(tài)變量，邊界條件x0=x(t0)，xf=x(tf)。

單個(gè)目標(biāo)函數(shù)為：

(16)

式(12)～(16)給出了多目標(biāo)軌跡優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，求解這類問題的一個(gè)有效方法是通過參數(shù)化方法(如常用的偽譜法)轉(zhuǎn)化為一般的多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化問題，采用基于梯度的算法(如序列二次規(guī)劃算法)進(jìn)行求解。Logist等[4]在其最優(yōu)控制和動(dòng)態(tài)優(yōu)化工具箱的基礎(chǔ)上考慮了多種分解方法(加權(quán)和法、正規(guī)邊界交叉法、正規(guī)約束法等)，具備了多目標(biāo)軌跡優(yōu)化求解能力。

2.2正規(guī)邊界交叉法

為了克服加權(quán)和方法的缺陷，Das等[1]提出的NBI方法的基本思想是尋找該邊界與一組直線的交點(diǎn)來近似Pareto前沿。在一般情況下，連續(xù)MOP的Pareto前沿是可達(dá)目標(biāo)集左下邊界的一部分。如果這一組直線在某種意義下是均勻分布的，則可獲得對(duì)Pareto前沿的一個(gè)近似。

NBI方法的計(jì)算過程[1]為：首先找到單目標(biāo)最優(yōu)點(diǎn)；然后在目標(biāo)空間建立一個(gè)過單目標(biāo)最優(yōu)點(diǎn)的超平面(Das定義為個(gè)體最小凸包(Convex Hull of Individual Minima，CHIM))并構(gòu)建一組該超平面的(擬)法線；最后通過單目標(biāo)優(yōu)化方法求解(擬)法線與可達(dá)目標(biāo)集的左下邊界的交叉點(diǎn)得到近似Pareto前沿。NBI方法的單目標(biāo)優(yōu)化問題為：

(17)

有時(shí)為了方便，也經(jīng)常使用從理想點(diǎn)z*出發(fā)的一組直線，這種情況下，聚合目標(biāo)轉(zhuǎn)化為尋找在某直線上可達(dá)目標(biāo)空間到理想點(diǎn)距離最小的點(diǎn)，即

(18)

NBI方法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)Pareto前沿的形狀不敏感，并且得到的Pareto最優(yōu)點(diǎn)分布比較均勻。但是需要增加多個(gè)等式約束(與目標(biāo)個(gè)數(shù)一致)，并且有可能找到被支配解，需要對(duì)解集進(jìn)行過濾。同時(shí)，對(duì)于某些具有兩個(gè)以上目標(biāo)的優(yōu)化問題，該方法得到的解可能無法覆蓋整個(gè)Pareto前沿[5]。圖1為NBI方法的示意圖，其中圖1(a)是采用理想點(diǎn)出發(fā)的擬法線作為約束，而圖1(b)是采用CHIM上不同點(diǎn)的法線作為約束。

(a) 旋轉(zhuǎn)(a) Rotation

(b) 平移(b) Translation圖1　NBI方法示意圖Fig.1　Schematic diagram of NBI method

2.3偽譜法

基本思想是采用Legendre多項(xiàng)式的根作為離散點(diǎn)，將連續(xù)最優(yōu)控制問題的狀態(tài)變量和控制變量離散化，并以離散點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)采用全區(qū)間Lagrange插值多項(xiàng)式來近似狀態(tài)變量和控制變量，從而將軌跡優(yōu)化的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解[6]。

采用高斯偽譜法將高超聲速滑翔飛行器多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一般多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化問題。高斯偽譜法轉(zhuǎn)化后的非線性規(guī)劃問題的Karush-Kuhn-Tucker條件，在一定條件下與離散的哈密爾頓邊值問題的一階最優(yōu)性條件具有一致性[7]，并且可以由此得到原最優(yōu)控制問題的協(xié)態(tài)變量，彌補(bǔ)了直接法無法得到協(xié)態(tài)信息的缺陷。為了在高斯偽譜法中應(yīng)用邊界交叉方法求解多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題，在高斯偽譜法工具箱GPOPS的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改，修改如下：

1)在目標(biāo)函數(shù)中，對(duì)應(yīng)每個(gè)目標(biāo)分別輸出其Mayer和Lagrange型指標(biāo)；

2)修改了稀疏矩陣模板；

3)增加了正規(guī)邊界交叉法。

正規(guī)邊界交叉法通過改變方向矢量，獲得不同的優(yōu)化子問題，求解這些子問題可以得到多個(gè)Pareto最優(yōu)點(diǎn)。在一般情況下，對(duì)于方向矢量相鄰的子問題，由于其目標(biāo)函數(shù)比較接近，可以認(rèn)為其最優(yōu)參數(shù)也是比較接近。因此，采用相鄰子問題的最優(yōu)解作為初始值以提高優(yōu)化效率。

2.4多目標(biāo)軌跡優(yōu)化流程

基于邊界交叉法和偽譜法的高超聲速滑翔飛行器多目標(biāo)軌跡優(yōu)化流程如下：

1)構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化問題。根據(jù)任務(wù)設(shè)定選擇優(yōu)化目標(biāo)，建立再入運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程組，考慮狀態(tài)變量和控制量需要滿足的約束，然后輸出多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。需要說明的是，選取的子優(yōu)化目標(biāo)需要具有沖突性，比如軌跡優(yōu)化問題中，最小化熱流密度和最大化橫程以及最小總吸熱量和最大射程，等等。

3)偽譜法求解單目標(biāo)優(yōu)化問題。在上一步中，通過改變權(quán)重矢量w，多目標(biāo)優(yōu)化問題已被分解成多個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題?；诟咚箓巫V法和序列二次規(guī)劃求解單目標(biāo)優(yōu)化子問題，獲得多目標(biāo)Pareto最優(yōu)前沿和相應(yīng)的最優(yōu)控制、狀態(tài)函數(shù)曲線。

3　最大橫程-最小峰值熱流多目標(biāo)軌跡優(yōu)化

3.1參數(shù)設(shè)置

仿真條件參考文獻(xiàn)[8]，具體參數(shù)如下。

3.1.1飛行器參數(shù)

3.1.2優(yōu)化條件

初始狀態(tài)即再入點(diǎn)參數(shù)取為：地心距r0=R0+79.248 km，經(jīng)度λ0=0°，緯度φ0=0°，速度V0=7802.9 m/s，速度傾角θ0=-1°，速度偏角σ0=90°。

終端約束對(duì)飛行時(shí)間不做限制，只考慮對(duì)高度、速度和彈道傾角的要求，取rf=R0+24.4 km，Vf=762 m/s，θf=-5°。

過程約束考慮熱流約束，即q≤qU；同時(shí)考慮過載約束 、動(dòng)壓約束。攻角、側(cè)傾角約束為8°≤α≤40°,-80°≤ν≤0°。

為了易于采用梯度優(yōu)化算法求解，還需引入額外的參數(shù)變量qU，同時(shí)也作為目標(biāo)函數(shù)之一。

3.2結(jié)果分析

圖2　多目標(biāo)軌跡優(yōu)化解的Pareto前沿Fig.2　Pareto-front of multiple target trajectory optimization solution

采用基于邊界交叉和偽譜法的多目標(biāo)軌跡優(yōu)化方法進(jìn)行求解，多目標(biāo)Pareto前沿如圖2所示，結(jié)果中最小峰值熱流解、最大橫程解的優(yōu)化目標(biāo)見表1。從結(jié)果可以看出，給出的Pareto前沿點(diǎn)較為均勻，通過較少的優(yōu)化次數(shù)即可得到Pareto前沿較好的近似。最大橫程解中的彈道橫程為3799.65 km，對(duì)應(yīng)的緯度為34.17°，其峰值熱流為170.9 W/cm2。最小峰值熱流解中峰值熱流為61.16 W/cm2，其橫程為3122.45 km，對(duì)應(yīng)的緯度為28.08°。其余點(diǎn)的目標(biāo)值介于兩個(gè)極限點(diǎn)之間，說明兩個(gè)目標(biāo)呈現(xiàn)出較強(qiáng)的沖突性。另外，從圖2中的Pareto前沿可以看出，在最大橫程解附近(曲線的右上角)曲線梯度較大，說明橫程改善需要付出的代價(jià)(峰值熱流急劇惡劣)較大，在最大橫程彈道設(shè)計(jì)時(shí)需要重點(diǎn)關(guān)注。

最小峰值熱流和最大橫程解的彈道曲線如圖3所示，圖3分別給出了彈道高度、速度、緯度、峰值熱流、攻角和側(cè)傾角隨時(shí)間變化的曲線。

表1　多目標(biāo)優(yōu)化Pareto前沿的重要節(jié)點(diǎn)

(a) 高度-時(shí)間曲線(a) Altitude-time curve

(b) 速度-時(shí)間曲線(b) Speed-time curve

(c) 緯度-時(shí)間曲線(c) Latitude-time curve

(d) 峰值熱流-時(shí)間曲線(d) Peak heat-time curve

(e) 攻角-時(shí)間曲線(e) Angle of attack-time curve

(f) 側(cè)傾角-時(shí)間曲線(f) Angle of bank-time curve圖3　Pareto最優(yōu)解中最小峰值熱流和最大橫程彈道的軌跡參數(shù)Fig.3　Trajectory parameters of minimum peak heat trajectory and maximum cross path trajectory in Pareto optimal solution

以上的仿真結(jié)果表明采用的基于邊界交叉法和偽譜法的多目標(biāo)軌跡優(yōu)化能夠有效地求解滑翔式飛行器多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題，且可對(duì)彈道設(shè)計(jì)提供有益的幫助。

4　結(jié)論

在高超聲速滑翔飛行器彈道設(shè)計(jì)中，通常需要考慮多個(gè)相互沖突的優(yōu)化目標(biāo)，需要采用多目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行求解。針對(duì)該問題，本文提出了基于邊界交叉法和偽譜法的高超聲速滑翔飛行器多目標(biāo)軌跡優(yōu)化方法，通過高斯偽譜法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，利用正規(guī)邊界交叉法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題，從而可以利用成熟的非線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。對(duì)高超聲速滑翔飛行器最大橫程-最小熱流為目標(biāo)的軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行了數(shù)值仿真，獲得了較均勻分布的Pareto前沿，可以為工程設(shè)計(jì)人員在進(jìn)行彈道設(shè)計(jì)時(shí)了解沖突目標(biāo)的變化范圍，并提供了多個(gè)候選解。該方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：①與加權(quán)和方法相比，能夠避免在尚無工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)時(shí)的反復(fù)設(shè)計(jì)；②與基于進(jìn)化算法的多目標(biāo)軌跡優(yōu)化方法相比，可以用相對(duì)較小的計(jì)算量獲得具有足夠精度的Pareto最優(yōu)解。該方法對(duì)于高超聲速滑翔飛行器彈道設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。

References)

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Multi-objective trajectory optimization for hypersonic glide vehicle using boundary intersection method

WANG Lei, GE Jianquan, YANG Tao, FENG Zhiwei, LI Zhengnan

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

The trajectory design for hypersonic glider vehicle subject to complex constraints is a multi-objective trajectory optimization problem. A multi-objective trajectory optimization method combining the boundary intersection method and the pseudospectral method was proposed. The multi-objective trajectory optimization problem was established based on the analysis of the features of trajectory for hypersonic glider vehicle. The multi-objective trajectory optimization problem was translated into a set of general optimization sub-problems by using the boundary intersection method and pseudospectral method. The sub-problems were solved by nonlinear programming algorithm. In the method, the solution that has been solved was employed as the initial guess for the next sub-problem. The maxima cross range and minimal peak heat problem was solved by the proposed method. The numerical results demonstrate that the proposed method can obtain the Pareto front of the optimal trajectory, which can provide reference for the trajectory design for hypersonic glider vehicle.

hypersonic glider vehicle; trajectory optimization; multi-objective optimization; boundary intersection method; Gauss pseudospectral method

10.11887/j.cn.201604022http://journal.nudt.edu.cn

2015-04-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272345)

汪雷(1982—)，男，安徽利辛人，博士研究生，E-mail：star6851404@sohu.com；楊濤(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：taoy90@163.com

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