類比引領(lǐng)　探究生成
——以“圓錐曲線”的教學(xué)為例談?lì)惐人季S能力的培養(yǎng)

陶　蕊　談?dòng)袂?/p>

(浙江省海鹽元濟(jì)高級(jí)中學(xué)，314300)

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類比引領(lǐng)探究生成
——以“圓錐曲線”的教學(xué)為例談?lì)惐人季S能力的培養(yǎng)

陶蕊談?dòng)袂?/p>

(浙江省海鹽元濟(jì)高級(jí)中學(xué)，314300)

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)能力的核心是思維能力,類比思維能力是思維能力的具體體現(xiàn)．在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,我們用類比的思想可以輕松地發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論或命題,圓錐曲線的學(xué)習(xí)就是一個(gè)很好的例子．本文以圓錐曲線為例淺談?lì)惐人季S能力的培養(yǎng)．

數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō):“類比是一個(gè)偉大的引路人”．?dāng)?shù)學(xué)史上有許多數(shù)學(xué)家通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)了許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)論．在數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中,類比是進(jìn)行合情推理的一種非常重要的思維方法,高中數(shù)學(xué)新課程也已經(jīng)將類比推理能力的培養(yǎng)作為課程目標(biāo)之一,在近幾年的高考中也大量出現(xiàn)類比題．把課本內(nèi)容有效整合,進(jìn)行類比教學(xué),可以提高效率,開(kāi)拓學(xué)生的視野,提高創(chuàng)新思維．由此可見(jiàn)，類比在教學(xué)中的作用不可低估.我們應(yīng)在日常教學(xué)中有意識(shí)地教會(huì)學(xué)生用類比的方法探究問(wèn)題,發(fā)展學(xué)生的類比思維．

一、用類比架設(shè)溫故求新的橋梁,激發(fā)類比意識(shí)

建構(gòu)主義認(rèn)為,學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者以自身已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng),不應(yīng)被看成對(duì)教師所授知識(shí)的被動(dòng)接受．在教學(xué)活動(dòng)中,教師應(yīng)抓住知識(shí)的最近發(fā)展區(qū),引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與探究過(guò)程,形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．如，概念、定義、定理的導(dǎo)入,?？梢詮膯?wèn)題在知識(shí)體系中的地位、與原有知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,從學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)提出新的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生類比探究,實(shí)現(xiàn)有意義的知識(shí)建構(gòu)．

案例1在雙曲線定義的教學(xué)中,筆者嘗試引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的定義自主探究，引入雙曲線的定義.

(1)復(fù)習(xí)回顧:橢圓的定義是什么?

(2)質(zhì)疑激發(fā)探究欲望:橢圓的定義中的“和”字,你會(huì)想到什么?學(xué)生自然聯(lián)想到“差”字,即平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線呢?

(4)畫曲線:類比橢圓的性質(zhì)研究,很快學(xué)生就作出了雙曲線的大致圖形．并能夠聯(lián)想到反比例函數(shù)．

(5)完善雙曲線的定義：教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考下列問(wèn)題:

(i)滿足|PF1|-|PF2|=8的點(diǎn)的軌跡就是上述曲線嗎?學(xué)生思考后得知,只有右支上的點(diǎn)滿足條件；

(ii)左支上的點(diǎn)滿足什么條件呢?取特殊點(diǎn)A(-4,0)檢驗(yàn)，學(xué)生計(jì)算并得AF1-AF2=-8；

(iii)教師引導(dǎo)啟發(fā):右支上的點(diǎn)滿足|PF1|-|PF2|=8,左支上的點(diǎn)滿足|PF1|-|PF2|=-8,那么應(yīng)該如何定義雙曲線呢?

(6)給出雙曲線的完整定義．

心理學(xué)研究表明:當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”范圍之內(nèi)時(shí)學(xué)生更容易獲得成功.這種成功感可以有力地保證學(xué)生不會(huì)因過(guò)多的失敗而放棄他們的努力, 失去發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)．同時(shí),應(yīng)用類比法,可以促使學(xué)生回顧舊知，嘗試在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、構(gòu)建新知識(shí), 可以有效地實(shí)現(xiàn)舊知識(shí)在新內(nèi)容中的正遷移,幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，突破教學(xué)難點(diǎn)、降低教學(xué)難度．由此可見(jiàn)，在講授新知識(shí)的同時(shí),要經(jīng)常聯(lián)系舊知識(shí),創(chuàng)造條件進(jìn)行類比,擴(kuò)展學(xué)生的思路,養(yǎng)成學(xué)生進(jìn)行類比推理的習(xí)慣．通過(guò)這樣新舊知識(shí)的聯(lián)系來(lái)進(jìn)行類比,既有利于理解、掌握新知識(shí),還能使舊知識(shí)得到鞏固,同時(shí)拓寬視野,有利于培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力．

二、巧借類比，探究性質(zhì),培養(yǎng)類比思維能力

波利亞還說(shuō)過(guò):“類比就是一種相似．”把兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較,找出它們相似的地方,從而猜測(cè)這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的其它一些屬性也有類似的地方,這是關(guān)于概念、性質(zhì)的教學(xué)中最常用的方法．

證明設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為(m,n)、(x,y),則N(-m,-n).

因?yàn)辄c(diǎn)M，P在已知雙曲線上,所以

本案例引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的思想推導(dǎo)出雙曲線的性質(zhì),然后再讓學(xué)生類比橢圓性質(zhì)的證明方法加以證明,驗(yàn)證類比出來(lái)的結(jié)論的正確性.這有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣,同時(shí)也是放手還課堂給學(xué)生,讓學(xué)生體驗(yàn)類比探究發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,并在此過(guò)程中動(dòng)手,動(dòng)腦,感受成功的喜悅，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)．類比是重要的學(xué)習(xí)遷移能力,通過(guò)對(duì)橢圓和雙曲線類比分析,幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們有很多相似的地方,可以用相同的方法來(lái)處理問(wèn)題,開(kāi)闊了解題的思路,增強(qiáng)思維靈活性,促進(jìn)類比思維能力的提高．

三、在解題教學(xué)中加強(qiáng)類比訓(xùn)練,促進(jìn)學(xué)生類比思維的發(fā)展

康德說(shuō)過(guò):“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí),類比這種方法往往能指引我們前進(jìn)．”因此只要學(xué)生學(xué)會(huì)了類比這個(gè)重要的思想方法,不僅能幫助他們理解和掌握新知識(shí),而且還能提高他們的解題能力,促進(jìn)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

由此可見(jiàn)，類比在求解問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.在解題教學(xué)中通過(guò)類比,授之以法,并進(jìn)行有效的訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題;或通過(guò)類比,探求解題途徑,可以達(dá)到梳理知識(shí),歸納題型,總結(jié)解題方法的作用,能夠深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握.通過(guò)類比,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,這樣做既有利于學(xué)生記憶和掌握所學(xué)知識(shí),又有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神．

四、在習(xí)題課教學(xué)中運(yùn)用類比,促進(jìn)類比思維能力的提高

類比推理是各種邏輯思維方法中最富于創(chuàng)造性的一種方法,它可以跨越各類事物的界限,進(jìn)行不同事物間的類比,既可以比較事物的非本質(zhì)屬性(如形式和研究方法),又可以比較事物的本質(zhì)屬性．所以，在新課程背景下,教會(huì)學(xué)生應(yīng)用類比的思想對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析、理解,以及最終解決問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容．特別是在習(xí)題課與講評(píng)課的教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)類比思想,研究不同知識(shí)之間的聯(lián)系,通過(guò)聯(lián)想的方法對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行比較,從而找到解決問(wèn)題的手段與方法．

通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)此三道題所求結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式完全相同,不同的就是已知條件的背景不相同,分別以拋物線、橢圓、雙曲線為背景,在類比探究中可以尋求到處理圓錐曲線焦半徑問(wèn)題的一類通法．

五、應(yīng)用類比要注意的兩點(diǎn)問(wèn)題

(1)類比時(shí)一定要找準(zhǔn)類比對(duì)象,防止類比的陷阱和形式上的類比,絕不能為了類比而類比.在運(yùn)用類比方法得出結(jié)論的過(guò)程中,有可能學(xué)生所得到的結(jié)論不能直接用于原來(lái)的問(wèn)題,這個(gè)時(shí)候,教師就要啟發(fā)或幫助學(xué)生重新考慮問(wèn)題的解答,適當(dāng)修改甚至變更策略,直到嘗試過(guò)解答的各種形式以后,找到一個(gè)可拓展到原來(lái)的問(wèn)題為止．

(2)要克服一些錯(cuò)誤的類比,如易混概念的類比,以及易混性質(zhì)的類比,從而準(zhǔn)確地掌握概念和性質(zhì)的本質(zhì),有區(qū)別地認(rèn)識(shí)具有某種相似性的概念．

法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō)過(guò):“甚至在數(shù)學(xué)里,發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比．” 根據(jù)高中生的抽象邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型向理論型急劇轉(zhuǎn)化的心理特點(diǎn)和高中數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn),教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用類比方法,不僅能突出問(wèn)題的本質(zhì),提高教學(xué)質(zhì)量,而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力等思維品質(zhì),提高認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．