滲透數學思想 提煉數學方法

黃懷芳

【摘 要】闡述在平時教學中如何滲透數學思想，形成思想方法，并進行應用。

【關鍵詞】數學思想 數學方法 數學素養(yǎng)

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）07B-0116-02

教過數學的人都知道，要讓學生學好數學，不只是讓他們自己讀讀數學課本，強制他們做幾道數學題目就可以掌握好數學的。而是要在平時的數學課堂教學中，幫助學生弄清數學每章節(jié)內容主要概念的內涵與外延，疏理好該內容所涉及的公理、定理、性質、公式等，特別是要有意識地將該內容所涉及的數學精髓——數學思想，滲透其中。讓學生在系統(tǒng)掌握數學基本知識的基礎上，培養(yǎng)數學思維能力，掌握數學解題方法，并將數學思想方法靈活運用于平時的數學學習中，從而掌握學習數學的方法，不斷提高自身的數學素養(yǎng)。眾所周知，數學思想與數學方法是讓學生形成數學認知結構的紐帶，是學生將數學基本知識轉化為解決數學問題基本能力的橋梁，是讓學生養(yǎng)成良好的數學素質、形成數學思維及數學創(chuàng)新能力的載體，所以，數學教師，在平時的數學課堂教學中，要重視數學思想的滲透、提煉數學解題方法、培養(yǎng)學生開拓創(chuàng)新的數學思維能力。

一、數學思想的滲透

在平時的教學活動中，我們經常聽見有的老師抱怨說“現在的學生真奇怪了，講課本的數學基本知識，如定義、定理、公式、原理、公理等時都說懂了，講解習題時也說懂了，但一給他們類似的題目，卻又沒有思路，不知如何去解題”。這就是學生學習數學時出現的典型的“懂而不會”的現象。

針對諸如此類問題，筆者通過細致地調查研究，發(fā)現出現這些問題，是因為有些老師講解新知時照本宣科、生搬硬套，講解習題時也只是就題論題、講完了事，沒有讓學生理解知識的內涵，沒有教會學生掌握解題的思想方法。

如對于某個數學題，他們只向學生展示思維的結果，做完題目便了事，沒有重視思維的過程訓練，讓學生自己仔細審題，積極探究，然后朝著正確的數學思想方向去思考問題；更不會引導學生在做題中，養(yǎng)成良好的數學思維習慣和數學反思習慣，因此無法做到舉一反三，觸類旁通。下面以例子來說明在教學中滲透數學思想的方法。

比如轉化思想中的換元法的應用，如求的值域。

這是復合函數的值域問題，如果用常規(guī)方法，那么比較難求。就平方根的性質來看，我們知道，如果用“換元法”，令，則，由知，因，得；于是得到函數的值域為。

學生從這一個題目中，學會了換元法，掌握了轉化的基本思想。在這一過程中，要讓學生知道數學思想是對數學現象、概念、公理、定理、公式等的本質認識，是數學知識的高度概括，是數學思維的行動指南。在課堂教學活動中重視滲透一些基本且重要的數學思想，如轉化與化歸思想、數形結合思想、分類討論思想等。引導學生在平時的訓練中恰如其分地運用各種數學思想去解決數學問題。

二、數學方法的形成

數學方法是將數學思想展現在數學認知過程中的具體反映和體現，是解決數學的具體問題、應用數學思想的技能和工具。也就是說，數學方法就是寓數學思想于平時的教學過程與學生練習過程之中，使學生形成個性的思維活動，形成具體的解題方式。

如上面講的第1個例子，明確數學思考方向（轉化思想）以后，教給學應用這個思想去解決問題的具體方法——換元法，并總結出換元法的解題步驟：

（1）寫——寫出子母函數；

（2）定——定好新元的范圍；

（3）求——結合母函數圖象求出原函數的值域。

之后，總結出利用換元法求值域的兩個關鍵問題：一要注意新元范圍；二用新元 t 去求解（即將舊元 x 換為 t 后，就應該由 t 去求值域，而不能用 x 就去求值域）。之后進行反思，讓學生形成“遇難則換”的思維習慣，然后進一步鞏固用“換元法”求值域（或最值）的方法，牢記解題步驟。

在分析這兩道題的時候，提醒學生觀察這個函數，一個是指數函數，一個是對數函數，而且都有（x2-x+3），都是比較復雜的復合函數，如果用常規(guī)方法如觀察法、圖解法、配方法等無從下手，由此要聯想“遇難則換”的思想方法，轉換思想，通過換元的方法，將比較復雜的函數問題轉化為我們常見的基本函數問題，化繁為簡、化難為易，從而輕松解決這一類復雜的數學問題。

俗話說得好“授人以魚，魚不如授人以漁”，跟學生探索習題時，滲透數學思想，讓學生有了明確的思維方向，并在解題的過程中幫助他們提煉出解題的方法。就會取得舉一反三、觸類旁通的功效，以后學生遇到偏難的題目時，就會很快地想到這些方法，從而迎刃而解。

例2.求函數 y=sin2x-2asinx+1的最小值。

筆者結合自己近25年的高中數學教學經驗，經過總結與細致的反思發(fā)現，凡是數學學習成績較好的學生，都是遵循“理清數學知識，形成基本題型”的方法去訓練和學習數學，讓每個數學內容都與一定的題型相對應，做到舉一反三、觸類旁通。

“理清數學結構知識”不是簡單的整理，而是在理解數學的基本定義、定理、公式、公理等的前提下，將它們進行有機地整合，并提煉成基本的解題思想和解題方法；“形成基本題型”也不是簡單歸納幾個題目就形成題型，而是將知識的內涵跟學生一起探索清楚，并通過設計一些有針對性的習題講解，然后才能逐步提煉出相應的解題思想和方法，最后才讓學生做到做一個題目掌握一類題目，做一類題目掌握整章知識的內涵。這就是“滲透數學思想，形成數學方法”的魅力。

那么，數學基本思想方法的結構是什么呢？

數學思想方法分兩個方面：

一是思想。也就是數學思考（思維）方向，這是一個人在解決實際問題時必須的一種行為方式，而思維是人的高級行為活動，人們常說“數學是思維的體操”，數學最能培養(yǎng)一個的思維能力，這個思維能力包括觀察、試驗、綜合、處理、分析、想象、抽象、概括、聯想、類比、猜想、歸納、化歸、演繹、一般與特殊的轉化等。

二是方法。也就是平常說的數學解題方法，它要求數學人要在理解數學知識內涵的前提下，通過一些習題的講解與訓練，揭示數學知識的本質，并提煉出具體解決數學問題的通法。相對于特殊的解題技巧而言，它更加具有一般規(guī)律性。

常見的數學主觀題的解題方法有：配方法、換元法、消元法、數形結合法、待定系數法、參數法等。

常見的數學客觀題目的解題方法有：特殊值法、代入驗證法、數形結合法、篩選法等。

總之，數學思想方法就是用所學的數學基本知識特點，按照數學思維方式去思考，運用數學語言、數學符號等表述事物的狀態(tài)、關系和過程，并用數學公式、性質、定理等加以推導、演算和分析，以形成對數學問題的猜測、解釋、判斷和解答的具體方法。