陳秋容 林慧慧
一、創(chuàng)設(shè)情境,引出“比”的概念
(一)創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣
(多媒體播放運(yùn)動(dòng)員孫楊400米游泳比賽的視頻。)
師:在2012年倫敦奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上,孫楊的表現(xiàn),讓世界泳壇感受到了中國(guó)游泳隊(duì)的力量。
(二)提出問(wèn)題,討論關(guān)系
(多媒體課件出示印在泳帽上的國(guó)旗。)
師:孫楊戴的泳帽上印有一面國(guó)旗,國(guó)旗的長(zhǎng)是6厘米,寬是4厘米。比較國(guó)旗的長(zhǎng)和寬,你能提出什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題?怎樣列式呢?
生1:長(zhǎng)比寬多幾厘米?列式是6-4。
生2:寬比長(zhǎng)少幾厘米?列式是6-4。
生3:長(zhǎng)是寬的幾倍?列式是6÷4。
生4:寬是長(zhǎng)的幾分之幾?列式是4÷6。
(三)引出概念,揭示課題
師:我們可以用減法表示長(zhǎng)與寬的相差關(guān)系,也可以用除法表示它們的倍數(shù)關(guān)系。關(guān)于倍數(shù)關(guān)系,我們還有一種新的表示方法,那就是“比”。今天,我們一起來(lái)認(rèn)識(shí)什么是“比”。
【評(píng)析】執(zhí)教老師選取“國(guó)旗”這個(gè)素材作為教學(xué)載體,既富有愛(ài)國(guó)主義教育意義,又很自然地引出同類(lèi)量和異類(lèi)量?jī)煞N情形的“比”。
二、分層遞進(jìn),建立“比”的概念
(一)理解同類(lèi)量的比,建立比與包含除的聯(lián)系
1.遷移學(xué)習(xí),理解“比的倍數(shù)關(guān)系”
師:長(zhǎng)是寬的幾倍,我們可以用“6÷4”表示?,F(xiàn)在,我們還可以把長(zhǎng)與寬的關(guān)系說(shuō)成“長(zhǎng)與寬的比是6比4”,寫(xiě)成“6∶4”,“∶”是比號(hào),這就好像除號(hào)抽掉了中間的一橫,比號(hào)要寫(xiě)在兩個(gè)數(shù)的正中間。那么,“6∶4”表示什么意思呢?
生:長(zhǎng)是寬的幾倍。
師:如果寬是長(zhǎng)的幾分之幾,你能用比來(lái)表示嗎?
生:寬與長(zhǎng)的比是4∶6。
師:請(qǐng)大家和老師一起來(lái)寫(xiě)一寫(xiě)。
師:“4∶6”是什么意思?
生:表示寬是長(zhǎng)的幾分之幾。
師:“6∶4”和“4∶6”表示的意思一樣嗎?
生:不一樣。
師:看來(lái),“比”是有順序的,我們要按照敘述的順序來(lái)表示,前后的數(shù)字可不能顛倒。
【評(píng)析】學(xué)生學(xué)習(xí)同類(lèi)量的比,是一個(gè)同化學(xué)習(xí)的過(guò)程,教師將“比”納入學(xué)生已知的“倍比關(guān)系”知識(shí)體系中,使“比的意義”與“包含除”二者建立起了聯(lián)系。
2.數(shù)形結(jié)合,體會(huì)“比能體現(xiàn)圖形的形狀大小”
師:小海和小珍為了給運(yùn)動(dòng)員加油,分別做了兩面旗子。(多媒體課件出示兩面旗子及其長(zhǎng)與寬的比。)
長(zhǎng)和寬的比是2∶1 長(zhǎng)和寬的比是3∶2
師:誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)“2∶1”“3∶2”分別表示什么意思?
生1:“2∶1”表示長(zhǎng)是寬的2倍。
生2:“3∶2”表示長(zhǎng)是寬的1.5倍。
師:觀察泳帽上的國(guó)旗和這兩面旗子的形狀以及長(zhǎng)與寬的比,你有什么發(fā)現(xiàn)?
生3:泳帽上的國(guó)旗與②號(hào)旗一樣,長(zhǎng)都是寬的1.5倍,看不出差別;而①號(hào)旗的長(zhǎng)是寬的2倍,看上去顯得長(zhǎng)一些。
生4:雖然泳帽上的國(guó)旗和②號(hào)旗的大小不一樣,但是它們的長(zhǎng)和寬的倍數(shù)關(guān)系是一樣的。
師:看來(lái)大家都感受到了長(zhǎng)與寬的比可以反映出長(zhǎng)方形不同的形狀。
【評(píng)析】“比”源于度量。長(zhǎng)與寬的比,不僅能夠反映物體可度量屬性(即長(zhǎng)度)的可比性,還可以表征事物不可度量屬性的可比性,如形狀。執(zhí)教老師借助直觀圖,引導(dǎo)學(xué)生初步感受“長(zhǎng)與寬的比能夠確定圖形的形狀”,即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比也是一種“形狀比”,凸顯了比的本質(zhì)。
(二)理解異類(lèi)量的比
(多媒體播放運(yùn)動(dòng)員孫楊游400米大約用時(shí)4分鐘的視頻。)
師:你認(rèn)為視頻中出現(xiàn)的兩個(gè)量能用比來(lái)表示嗎?為什么?先獨(dú)立思考,再與同桌交流。
生1:兩個(gè)量的單位名稱(chēng)不一樣,不能用比來(lái)表示。
師:聽(tīng)起來(lái)似乎有道理,我看到許多同學(xué)點(diǎn)頭了。誰(shuí)有不同的意見(jiàn)?
生2:我認(rèn)為兩個(gè)量可以用比來(lái)表示。400÷4,得到每分鐘游100米,400和4是相除關(guān)系,可以用“比”來(lái)表示。
師:這位同學(xué)提到了一個(gè)很關(guān)鍵的詞,誰(shuí)聽(tīng)懂了?
生3:相除,意思是400÷4也可以寫(xiě)成400∶4。
師:你說(shuō)對(duì)了。因?yàn)槁烦毯蜁r(shí)間是相除關(guān)系,所以路程和時(shí)間的關(guān)系也可以說(shuō)成“路程和時(shí)間的比是400∶4”。
(三)抽象比的意義
師:觀察這兩個(gè)例子,說(shuō)說(shuō)它們有什么聯(lián)系與區(qū)別?(多媒體課件出示比的算式。)
生1:這些比都表示相除關(guān)系。
生2:前兩個(gè)比式中,兩個(gè)量都表示長(zhǎng)度,即表示兩個(gè)長(zhǎng)度的倍數(shù)關(guān)系。
生3:第三個(gè)比中的兩個(gè)量,一個(gè)表示路程,一個(gè)表示時(shí)間,它們相除得到速度。
生4:我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)相除可以寫(xiě)成比的形式。
師:是的。兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除,這就是“比的意義”。
【評(píng)析】在游泳情境中,學(xué)生理解了異類(lèi)量“比”的內(nèi)涵,而在兩個(gè)例子的對(duì)比中,學(xué)生進(jìn)行求同思維,抽象出了“比的意義”,順利地從概念的引入走向概念的建立。
三、自主學(xué)習(xí),理解“比”的知識(shí)
(一)自學(xué)比的相關(guān)知識(shí)
1.自學(xué)比的相關(guān)知識(shí)
師:自學(xué)教材里“做一做”這部分內(nèi)容,思考問(wèn)題:比各部分的名稱(chēng)分別叫什么?怎樣求一個(gè)比的比值?
2.匯報(bào)交流
學(xué)生匯報(bào)比的各部分名稱(chēng),說(shuō)明比值的意義。
3.比較比和比值
師:比和比值有什么區(qū)別?
生:比表示一種關(guān)系,而比值是一個(gè)數(shù),通常用分?jǐn)?shù)表示,也可以用小數(shù)或整數(shù)表示。
【評(píng)析】執(zhí)教老師將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生在概括出比的意義的基礎(chǔ)上自主學(xué)習(xí)比的相關(guān)知識(shí),促進(jìn)了學(xué)生自主探究能力的發(fā)展。
(二)溝通比與舊知的聯(lián)系
師:請(qǐng)同學(xué)們思考以下幾個(gè)問(wèn)題:比與除法、分?jǐn)?shù)之間有什么聯(lián)系?比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值分別相當(dāng)于分?jǐn)?shù)算式和除法算式中的什么?比的后項(xiàng)可以是0嗎?
學(xué)生填寫(xiě)下表并進(jìn)行交流。
師:請(qǐng)你嘗試用字母表示比和除法、分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。
板書(shū):a∶b=a÷b=(b≠0)
師:根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,兩個(gè)數(shù)的比還可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式,如6∶4可以寫(xiě)成,讀作6比4。
【評(píng)析】在討論交流環(huán)節(jié),執(zhí)教老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)比和除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。
四、放眼生活,深化“比”的概念
(一)辨析比賽中“比分”的含義
師:剛才大家說(shuō)比的后項(xiàng)不能為0,但我們?cè)诤芏啾荣愔谐3?吹?∶0的情況,這是怎么回事呢?這個(gè)比分是我們數(shù)學(xué)上講的比嗎?
生1:“2∶0”表示每個(gè)隊(duì)的得分是多少,是一種相差關(guān)系。
師:你善于利用比的意義分析問(wèn)題,非常好!
生2:因?yàn)楸鹊暮箜?xiàng)不能為0,所以比分不是比。
師:從后項(xiàng)的取值范圍分析問(wèn)題,我們也能夠得出結(jié)論?,F(xiàn)在,我們知道了比分雖然借用了比的書(shū)寫(xiě)形式,但它不具備比的本質(zhì)屬性,因此,它不是數(shù)學(xué)上所說(shuō)的比。
(二)用比表示生活中兩種數(shù)量的關(guān)系
多媒體課件出示題目:下面每一組的兩個(gè)信息能用比來(lái)表示嗎?能的話(huà)請(qǐng)寫(xiě)出比,并求出比值;不能的,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(1)在2012年倫敦奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上,中國(guó)代表隊(duì)一共獲得88枚獎(jiǎng)牌,德國(guó)代表隊(duì)一共獲得44枚獎(jiǎng)牌。
(2)小敏買(mǎi)6本練習(xí)本,一共花了1.8元。
(3)小亮每分鐘打32個(gè)字,總共打了10分鐘。
生1:中國(guó)代表隊(duì)和德國(guó)代表隊(duì)的獎(jiǎng)牌數(shù)的比是88∶44,比值是2。
生2:小敏花的錢(qián)和練習(xí)本的數(shù)量的比是1.8∶6,比值是0.3。
生3:第(2)(3)題中兩個(gè)量的單位名稱(chēng)都不同,既然第(2)題可以寫(xiě)成比的形式,那么第(3)題也可以寫(xiě)成比的形式。
生4:我認(rèn)為第(3)題不能寫(xiě)成比。用每分鐘打的字?jǐn)?shù)乘以時(shí)間可以得到總共打了多少個(gè)字,這兩個(gè)量是相乘關(guān)系,不是相除關(guān)系,而比表示的是兩個(gè)數(shù)相除,所以它們不能用比來(lái)表示。
師:同學(xué)們能夠緊扣比的意義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行判斷,分析得很到位。
【評(píng)析】深入理解數(shù)學(xué)概念需要用到適量的反面例子,執(zhí)教老師列舉了兩個(gè)反面例子:比分和相乘關(guān)系的兩個(gè)量,讓學(xué)生進(jìn)行比較、辨析,突出了比的本質(zhì)屬性是相除關(guān)系,促進(jìn)了學(xué)生對(duì)比的概念的理解。
(三)生活中的比
師:在生活中,比的應(yīng)用十分廣泛。(播放視頻介紹黃金比、比例尺、正反比例。)
師:比“創(chuàng)造”了生活中的美,其實(shí),比的價(jià)值遠(yuǎn)不只于此,后面我們將會(huì)了解到更多比的價(jià)值。
【評(píng)析】從黃金比的美學(xué)價(jià)值到比例尺、正反比例等數(shù)學(xué)知識(shí)的逐步滲透,執(zhí)教老師從知識(shí)整體性的角度出發(fā),體現(xiàn)了新知識(shí)產(chǎn)生的必然性、發(fā)展性,達(dá)到了一種“言有盡而意無(wú)窮”的教學(xué)效果。
【總評(píng)】《比的意義》是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容。學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前,已經(jīng)掌握了除法的意義與商不變的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的意義與基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等知識(shí)。在本課教學(xué)中,教師充分利用學(xué)生已有的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),遵循概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律,幫助學(xué)生形成比的概念。
一、遵循認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,促進(jìn)同化,建構(gòu)比的概念
認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰指出,同化與順應(yīng)是兩種最重要的學(xué)習(xí)概念的形式。利用已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行改造,使新內(nèi)容納入到原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,這個(gè)過(guò)程就是同化。比的意義的學(xué)習(xí)就是一個(gè)同化學(xué)習(xí)的過(guò)程。教師從學(xué)生熟悉的生活事例出發(fā),遵循兒童的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,先學(xué)習(xí)“同類(lèi)量”,再認(rèn)識(shí)“異類(lèi)量”,設(shè)計(jì)了“實(shí)例—感知—抽象—認(rèn)知”的學(xué)習(xí)路徑,如在描述“長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系”時(shí),引入比的概念,建立比與包含除的聯(lián)系;在討論“路程與時(shí)間的關(guān)系”時(shí),建立比與當(dāng)量除的聯(lián)系,再次感知比的內(nèi)涵。最后,在教師的啟發(fā)下,學(xué)生進(jìn)行觀察、分析,比較同類(lèi)量和異類(lèi)量的比,歸納得出兩類(lèi)比的共同屬性,抽象出比的概念。學(xué)生一旦將比的概念納入到“兩個(gè)數(shù)相除”的知識(shí)結(jié)構(gòu)中,就完成了概念的同化學(xué)習(xí)。
二、感悟知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,自主學(xué)習(xí),理解比的意義
學(xué)生要理解概念,必須密切聯(lián)系相關(guān)舊知,做到知識(shí)的融會(huì)貫通。教學(xué)時(shí),執(zhí)教老師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)氛圍,為學(xué)生搭建了思考的平臺(tái),如在理解了比的意義的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生自學(xué)比的各部分名稱(chēng),并進(jìn)行交流、展示,最后通過(guò)獨(dú)立思考、小組交流等方式,理解比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系及區(qū)別。這一過(guò)程,落實(shí)了“讓學(xué)于生”的理念,學(xué)生在學(xué)習(xí)中參與知識(shí)的重構(gòu)。
三、精心選取學(xué)習(xí)素材,運(yùn)用反例,深化比的概念
在概念教學(xué)中,教師除了從正面揭示概念的內(nèi)涵,還可以運(yùn)用反例來(lái)突出概念的本質(zhì)屬性,甚至可以通過(guò)對(duì)比正例與反例的差異,突出對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解。為了突出“比表示兩個(gè)數(shù)相除”這一本質(zhì)屬性,教師精心選取了兩個(gè)反例。一是在學(xué)生確定了比的后項(xiàng)不能為0后,提出了“賽場(chǎng)上常常有2∶0這樣的比分是怎么回事”這一問(wèn)題,引發(fā)學(xué)生的討論。通過(guò)辨析,學(xué)生明確了體育比賽中的比分表示的是相差關(guān)系,不是相除關(guān)系,并非數(shù)學(xué)中所說(shuō)的比。二是對(duì)“小亮每分鐘打32個(gè)字,打了10分鐘”兩個(gè)數(shù)量的討論,圍繞這兩個(gè)量能否用比來(lái)表示,學(xué)生再次展開(kāi)討論。正是這些反例,促使學(xué)生圍繞比的概念本質(zhì)進(jìn)行深入思考,也正因?yàn)樯羁汤斫饬吮鹊谋举|(zhì)屬性,學(xué)生的辨析才富有生命成長(zhǎng)的氣息。
(注:本課例在廣西第十一屆小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)展評(píng)活動(dòng)中榮獲一等獎(jiǎng)。)
(責(zé)編 歐孔群)