基于不完備信息系統(tǒng)的三角模糊數(shù)決策粗糙集

李亞鴿，楊宏志，徐久成

(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 河南財經(jīng)政法大學(xué)，河南 鄭州 450046； 3. 河南師范大學(xué) 計算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007； 4.新鄉(xiāng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

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基于不完備信息系統(tǒng)的三角模糊數(shù)決策粗糙集

李亞鴿1,4，楊宏志2，徐久成3

(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 河南財經(jīng)政法大學(xué)，河南 鄭州 450046； 3. 河南師范大學(xué) 計算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007； 4.新鄉(xiāng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

在不完備信息系統(tǒng)中，針對用區(qū)間值表示一個未知參量時，整個區(qū)間內(nèi)取值機(jī)會被認(rèn)為是均等的，得到的結(jié)果可能會產(chǎn)生過大誤差的問題，將三角模糊數(shù)引入到?jīng)Q策粗糙集中，提出了一種基于不完備信息系統(tǒng)的三角模糊數(shù)決策粗糙集。首先，定義了一種描述不完備信息的相似關(guān)系；然后，針對不完備信息系統(tǒng)中的缺失值，利用三角模糊數(shù)來獲取損失函數(shù)，構(gòu)建了三角模糊數(shù)決策粗糙集模型；實例表明，本文提出的方法不僅能夠彌補(bǔ)用區(qū)間數(shù)表示的不足，而且可以突出可能性最大的主值，從而減少分類誤差。

不完備信息系統(tǒng)；區(qū)間值；三角模糊數(shù)；決策粗糙集

中文引用格式：李亞鴿，楊宏志，徐久成. 基于不完備信息系統(tǒng)的三角模糊數(shù)決策粗糙集[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報， 2016, 11(4): 449-458.

英文引用格式：LI Yage ， YANG Hongzhi， XU Jiucheng. Triangular fuzzy number decision-theoretic rough sets under incomplete information systems[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2016, 11(4): 449-458.

在現(xiàn)實生活中，由于測量誤差、數(shù)據(jù)獲取能力不足等原因，使得大量的信息系統(tǒng)都是不完備的[1]。一般來說，不完備信息系統(tǒng)(incomplete information systems, IIS)中的未知屬性值有3種不同的情況。一種是未知屬性值是被遺漏的，但又確實存在的[2]。根據(jù)這樣的解釋，Kryszkiewicz構(gòu)建滿足自反性和對稱性的容差關(guān)系[3]，并研究了IIS中的知識約簡問題；基于容差關(guān)系，王國胤等[1]提出了限制容差關(guān)系；楊習(xí)貝等[4]給出了一種可變精度分類關(guān)系，對限制容差關(guān)系進(jìn)行了擴(kuò)展；一種是未知屬性值被認(rèn)為是丟失的，不允許被比較[5]，據(jù)此，Stefanowski等構(gòu)建了非對稱相似關(guān)系[6]，并建立了近似集的概念；另外一種是未知屬性值被認(rèn)為是暫時性缺失。

決策粗糙集是20世紀(jì)90年代由Yao提出的一種重要的粗糙集模型[7]，該理論的核心內(nèi)容是通過分析比較各種決策的風(fēng)險損失，找出最小風(fēng)險損失決策，以此作為把對象劃分到正域、負(fù)域和邊界域的依據(jù)。賈修一等[8]提出了一種基于決策風(fēng)險最最小化的屬性約簡定義，它要求在約簡后的屬性集合上所做出的決策風(fēng)險?。煌鯂返萚9]對國內(nèi)外有關(guān)決策粗糙集模型進(jìn)行了綜述和分析；Li等[10]根據(jù)決策者的不同風(fēng)險偏好，給出了樂觀決策、悲觀決策與中性決策的多角度決策粗糙集模型；葉東毅等[11]提出了基于模糊數(shù)風(fēng)險最小化的拓展決策粗糙集模型；此外，決策粗糙集已在郵件信息過濾系統(tǒng)、文本聚類和分類、石油開采中得到了較好應(yīng)用[12-16]。

然而，在已有對決策粗糙集的研究中，代價敏感損失函數(shù)大都由專家提供?？紤]到人為判斷的模糊性，單值損失函數(shù)存在很大誤差，損失函數(shù)應(yīng)具有一定的伸縮性，為此，劉盾等[17]提出區(qū)間決策粗糙集，討論了用區(qū)間值來刻畫損失函數(shù)；考慮到信息系統(tǒng)的不完備性，馬興斌等[18]討論了不完備信息系統(tǒng)中的多重代價決策粗糙集；劉盾等[19]將不完備信息引入到區(qū)間決策粗糙集中，構(gòu)建了一個混合信息知識表，用以處理IIS中的三支決策問題，但是這仍具有一定的誤差，特別地，在IIS中，用區(qū)間數(shù)表示一個未知參量時，整個區(qū)間內(nèi)取值機(jī)會被認(rèn)為是均等的，得到的結(jié)果可能會產(chǎn)生過大誤差。而在三角模糊數(shù)區(qū)間取值中，主值a的取值機(jī)會最大，由a靠近上限、下限取值可能性遞減。因此，使用三角模糊數(shù)進(jìn)行不確定性值的評判，不僅能夠突出取可能性最大的主值，而且可以彌補(bǔ)用區(qū)間數(shù)表示的不足。基于此，本文在IIS的基礎(chǔ)上提出了使用三角模糊數(shù)來改善只用上下限表示的區(qū)間數(shù)取值，構(gòu)建了三角模糊數(shù)決策粗糙集模型。

1　基礎(chǔ)知識

1.1決策粗糙集

決策粗糙集[20-21]模型利用兩個狀態(tài)集和3個行動集描述決策過程。狀態(tài)集Ω= {X,X}分別表示某事件屬于X和不屬于X，行動集A={aP,aB,aN}分別表示接受某事件、延遲決策和拒絕某事件3種行動?？紤]到采取不同行動會產(chǎn)生不同的損失，用λPP、λBP、λNP分別表示當(dāng)x屬于X時，采取行動aP、aB、aN下的損失；用λPN、λBN、λNN分別表示當(dāng)x不屬于X時，采取行動aP、aB、aN下的損失。因此采取aP、aB、aN3種行動下的期望損失可分別表示為

(1)式中：[x]為樣本在屬性集下的等價類，P(X| [x])和P(X| [x])分別表示將等價類[x]劃分為X和X的概率。根據(jù)貝葉斯決策準(zhǔn)則，需要選擇期望損失最小的行動集作為最佳行動方案，于是得到如下3條決策規(guī)則：

P) 若R(aP|[x]) ≤R(aB|[x])和R(aP|[x]) ≤R(aN|[x]同時成立，那么xPOS(X)；

B) 若R(aB|[x]) ≤R(aP|[x])和R(aB|[x]) ≤R(aN|[x])同時成立，那么xBND(X)；

N) 若R(aN|[x]) ≤R(aP|[x])和R(aN|[x]) ≤R(aB|[x]同時成立，那么xNEG(X)。

由于P(X| [x])+P(X| [x])=1，所以上述規(guī)則只與概率P(X| [x])和相關(guān)的損失函數(shù)λ有關(guān)?；诔ＷR，做出正確決策產(chǎn)生的損失要小于做出錯誤決策產(chǎn)生的損失，故有0 ≤λPP≤λBPλNP，0 ≤λNN≤λBNλPN?；谶@兩個條件，從規(guī)則P)～N)可以獲得以下3個閾值

(2)基于上述3個閾值，規(guī)則P)～N)可簡明表示為

P′) 若P(X|[x]) ≥α且P(X|[x]) ≥γ，則xPOS(X)；

B′) 若P(X|[x]) ≤α且P(X|[x]) ≥β，則xBND(X)；

N′) 若P(X|[x]) ≤β且P(X|[x]) ≤γ，則xNEG(X)。

1.2三角模糊數(shù)

模糊集作為精確數(shù)值的一種擴(kuò)展形式，被用于處理模糊、不精確和不確定性決策問題。在模糊集理論中，隸屬函數(shù)是它的一個最基本元素。在隸屬函數(shù)中，三角模糊數(shù)是其中具有代表性的一個。

定義2[22]實數(shù)R上的模糊數(shù)a=(l, m, u)是一個三角模糊數(shù)，其中，l、m、u為實數(shù)，且lλmλu，m稱為三角模糊數(shù)a的主值，l與u分別稱為a的下界和上界。

模糊數(shù)a的隸屬函數(shù)的表達(dá)式可表示為

(3)當(dāng)l=m或m=u時，三角模糊數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間數(shù)，由此可見區(qū)間數(shù)是三角模糊數(shù)的一個特例。在區(qū)間數(shù)取值中，上下限的各個取值可以認(rèn)為是機(jī)會均等的，而在三角模糊數(shù)區(qū)間取值中，主值a的取值機(jī)會最大，而由a靠近上限、下限的取值可能性遞減。

對于任意兩個模糊三角數(shù)a1=(l1,m1,u1)，a2=(l2,m2,u2)，根據(jù)擴(kuò)展定理[24]相應(yīng)的運算規(guī)則如下：

1)a1+a1=(l1+l2,m1+m2,u1+u2)；

2)a1-a2=(l1-l2,m1-m2,u1-u2)；

3) a1a2=(l1l2,m1m2,u1u2)；

4)a1/a2=(l1/u2,m1/m2,u1/l2)；

5) λ a2=(λ l2, λ m2, λ u2), λR且λ >0。

2　基于IIS的三角模糊數(shù)決策粗糙集

2.1不完備信息系統(tǒng)

定義1[23]不完備信息系統(tǒng)IIS= (U, AT,V,f)。其中，U是一個被稱為論域的對象集合；AT是非空有限的屬性集合；對于aAT，有a:UVa，其中Va是屬性a的值域(包括遺漏型空值和缺失型空值)。屬性值域集合V=UaATVa，f為信息函數(shù)，對于aA，xU，有f(x,a)Va。在本文中，IIS中所有的未知值都被認(rèn)為是被遺漏的。

2.2相似度及相關(guān)知識

在IIS= (U, AT,V,f)中，V=Va{}，表示未知的值。陳圣兵等[25]在不完備信息系統(tǒng)中，分析并討論了空值相等的概率問題。基于文獻(xiàn)[25]，我們提出了在不完備信息系統(tǒng)中相似度的概念。

定義3 不完備信息系統(tǒng)IIS= (U, AT,V,f)。U={x1,x2, …,xn}為n個對象的集合，A={a1,a2, …,am}為m個屬性的集合。xi,xj, 由ai確定的相似度關(guān)系Sai(xi,xj)為

(4)

任意兩個對象xi、xj的相似度S(xi,xj)為

(5)

定義4不完備信息系統(tǒng)IIS= (U, AT,V,f)。L[0, 1]，相似關(guān)系SRAL為SRA的L-截集，其中L稱為閾值或置信水平，即

根據(jù)相似度的定義(5)，基于L-截集相似關(guān)系(6)，我們定義在IIS中的兩個近似和3個決策區(qū)域。

定義5 不完備信息系統(tǒng)IIS= (U, AT,V,f)。xU，令0<β≤α≤1，基于L-截集相似關(guān)系的下、上近似為

(7)

(8)

相對應(yīng)的3個決策區(qū)域分別為

(9)

2.3整數(shù)值排序法

整數(shù)值排序法是通過把模糊數(shù)直接轉(zhuǎn)化成單個實數(shù)，然后依據(jù)實數(shù)大小來判定模糊數(shù)的次序。這種排序方法，涉及到?jīng)Q策者的風(fēng)險偏好。根據(jù)Kumar A[26]的研究結(jié)論，三角模糊數(shù)r(a)的排序函數(shù)為

(10)式中：ρ是決策者的風(fēng)險偏好指數(shù)，反映出決策者的樂觀程度。在式(10)中ρ值越大意味著決策者越樂觀，即悲觀決策者會高估損失值，而樂觀決策者則會低估損失值。特別地，當(dāng)ρ= 0和ρ= 1時，r(a)的值分別代表了悲觀決策者和樂觀決策者的觀點。

2.4基于IIS的三角模糊數(shù)決策粗糙集的模型實現(xiàn)

根據(jù)貝葉斯決策過程，運用三角模糊數(shù)，不同狀態(tài)對應(yīng)的三角模糊數(shù)損失值如表1所示。

表1　不同狀態(tài)下對應(yīng)的三角模糊數(shù)損失值

在表1中，λPP=(lPP,mPP,uPP)、λBP=(lBP,mBP,uBP)、λNP=(lNP,mNP,uNP)分別表示當(dāng)x屬于X時，采取行動aP、aB、aN下的損失；用λPN=(lPN,mPN,uPN)、λBN=(lBN,mBN,uBN)、λNN=(lNN,mNN,uNN)分別表示當(dāng)x不屬于X時，采取行動aP、aB、aN下的損失。根據(jù)決策粗糙集的基本條件，假定損失值滿足以下條件

因此采取aP、aB、aN3種行動下的期望損失可分別表示為

(11)根據(jù)貝葉斯決策準(zhǔn)則，需要選擇期望損失最小的行動集作為最佳行動方案，于是可得到如下3條決策規(guī)則：

在本文，我們選取整數(shù)值排序方法來研究三角模糊數(shù)決策粗糙集?；谑?10)，各期望損失值可以分別計算得到

其中

故得到如下3條決策規(guī)則：

由此，可推導(dǎo)出三角模糊數(shù)決策粗糙集的3個閾值，其結(jié)果為

(12)考慮到?jīng)Q策者的風(fēng)險態(tài)度，基于決策粗糙集依次提出樂觀決策模型、中性決策模型和悲觀決策模型。類似于Li、Zhou的思想[10]，在整數(shù)值排序方法中決策者的風(fēng)險態(tài)度指數(shù)是三角模糊數(shù)排序的重要要素，它會影響到閾值的取值。特別地，當(dāng)ρ=1，對于樂觀決策者，其閾值可以表達(dá)為

當(dāng)ρ=0，對于悲觀決策者，其閾值可以表達(dá)為

鑒于Yao[27]的討論結(jié)果，首先考慮決策規(guī)則(B)中存在αβ的情況，即

對于樂觀決策者，此時ρ=1，所對應(yīng)的三支決策規(guī)則為

對于悲觀決策者，此時ρ=0，所對應(yīng)的三支決策規(guī)則為

此外，為了保證研究的完備性，決策規(guī)則(B)還有另一種情況，即：

該條件蘊含著0≤α<γ<β≤1，此時，通過權(quán)衡可以得到以下簡化規(guī)則：

3　案例分析

醫(yī)學(xué)診斷是一種根據(jù)病人現(xiàn)有癥狀來判斷所得疾病類列的決策過程，在下面的討論中，以醫(yī)學(xué)流感診斷決策表S=為例[19]，來說明基于IIS的三角模糊數(shù)決策粗糙集決策過程。U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}分別是10位病人的編號，條件屬性集C={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7}分別表示以上病人的7種癥狀：溫度、咳嗽、流鼻涕、頭疼、惡心、有痰、肌肉疼。決策屬性集D= {X,X}，其中X表示病人患有流感，X表示病人沒有患有流感。病人患病的實際情況如表2。

表2　病人患病的實際情況

為描述方便，在表2中，根據(jù)醫(yī)生的經(jīng)驗，對每個屬性所對應(yīng)值的大小有如下定義：

溫度a1：1代表高，2代表較高，3代表正常；

咳嗽a2：1代表是，2代表不是；

流鼻涕a3：1代表是，2代表不是；

頭疼a4：1代表很嚴(yán)重，2代表有點嚴(yán)重，3代表不嚴(yán)重；

惡心a5：1代表是，2代表不是；

有痰a6：1代表有，2代表沒有；

肌肉疼a7：1代表很嚴(yán)重，2代表有點嚴(yán)重，3代表不嚴(yán)重，*代表缺失值。

首先，根據(jù)醫(yī)生的經(jīng)驗給出三角模糊數(shù)的損失區(qū)間，如表3所示。然后，根據(jù)式(4)，計算對象U中任意兩位患者xi,xj的相似度，結(jié)果如表4所示。

表3　病人的綜合評估損失情況

表4　各個病人之間相似度表示

在表3中，令L=0.5+ε(ε是正的無窮小數(shù))，基于相似度可得xi的等價類：

根據(jù)醫(yī)生的經(jīng)驗，集合X={ x1, x4, x5, x7, x8}時，這些患者得流感的概率相對較高。根據(jù)表2，每位患者得流感的條件概率如下：

根據(jù)2.2節(jié)整數(shù)排序法的三角模糊數(shù)r(a)的排序函數(shù)式(10)，當(dāng)ρ= 0和ρ= 1時，r(a)的值分別代表悲觀決策者和樂觀決策者的觀點。根據(jù)式(12)可得各個病人的三角模糊數(shù)決策粗糙集相關(guān)閾值，計算結(jié)果如表5所示。

表5　各個病人的相關(guān)閾值計算結(jié)果

表5列出了每位病人在風(fēng)險偏好者決策準(zhǔn)則、風(fēng)險厭惡者決策準(zhǔn)則下，α、β和γ的取值情況?？梢钥闯?，α2較α1取值普遍大，β2較β1取值普遍小，這說明悲觀主義者厭惡風(fēng)險，它通過較大的α 值和較小的β 值避免生病被延誤的概率；而樂觀主義者偏好風(fēng)險，它通過較小的α 值和較大的β 值獲取無病的概率。

根據(jù)三角模糊數(shù)決策粗糙集中的決策規(guī)則，在決策判定過程中需要比較條件概率Pr(X|[xi]SRL)和閾值αi、βi的大小。當(dāng)L= 0.5+ε時，樂觀決策者和悲觀決策者的決策結(jié)果如表6所示。

表6　決策結(jié)果

從表6可以看出，在樂觀決策者看來，{x1,x4,x5,x7,x8,x9}POS(X)，{x2,x6,x10}NEG(X)，{x3}BND(X)。但在悲觀決策者看來，{x1,x4,x5,x7,x8,x9POS(X)，{x2,x3,x6,x10}NEG(X)。通過與X={x1,x4,x5,x7,x8}對比可以發(fā)現(xiàn)，x3不是誘發(fā)患者患病的主要因素，但對于樂觀決策者來說，還需對它進(jìn)行進(jìn)一步的診斷。x9也不是誘發(fā)患者患病的主要因素，但樂觀決策者和悲觀決策者認(rèn)為都需要進(jìn)一步的診斷。因此，決策粗糙集能為現(xiàn)實的決策系統(tǒng)提供了一種修正誤分類錯誤的方法。

在上述實例中，我們求得的相似關(guān)系及條件概率是在L=0.5+ε的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論的。下面我們將探討L[0.5, 1]，步長0.1時，與之相對應(yīng)的樂觀決策者和悲觀決策者的決策，結(jié)果如表7所示。

表7　L取不同的值所對應(yīng)的決策結(jié)果

從表7可以看出，隨著決策偏好的粒度L的變化，決策者的選擇會有一定的變化。當(dāng)L=0.7時，樂觀決策者和悲觀決策者認(rèn)為x3、x6需要進(jìn)一步的診斷，才能確診。然而當(dāng)L≥0.8時，樂觀決策者和悲觀決策者認(rèn)為x3、x6不需要進(jìn)一步診斷，即可視為無患病者。且隨著粒度的增大，決策者的決策趨于穩(wěn)定的狀態(tài)。

在IIS中，基于已給出的相似關(guān)系及已求得的條件概率，取三角模糊數(shù)的端點值作為區(qū)間值，將基于不完備信息系統(tǒng)的三角模糊數(shù)決策粗糙集與文獻(xiàn)[17]中的區(qū)間決策粗糙集方法作對比，在測試數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實驗，根據(jù)文獻(xiàn)[17]可得相對應(yīng)的各個病人的相關(guān)閾值，樂觀和悲觀決策者的決策結(jié)果，及當(dāng)L[0.5, 1]，步長0.1時，隨著L粒度的變化，與之對應(yīng)的樂觀和悲觀決策者的決策，結(jié)果如表8～10所示。

表8　各個病人的相關(guān)閾值計算結(jié)果

表9　決策結(jié)果

從表9可以看出，取區(qū)間值作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)集時，在樂觀決策者看來，{x1,x3,x4,x7,x8,x9}POS(X)， {x2,x6,x10}NEG(X)，{x5}BND(X)。但在悲觀決策者看來，{x1,x3,x4,x7,x8,x9}POS(X)，{x2,x5,x6,x10}NEG(X)。通過與表6及集合X={x1,x4,x5,x7,x8}得流感的概率相對較高的患者對比可以發(fā)現(xiàn)，x5是誘發(fā)患者患病的主要因素，但是悲觀決策者認(rèn)為不需要進(jìn)一步的診斷。而x3不是誘發(fā)患者患病的主要因素，但是對于取區(qū)間值的樂觀決策者和悲觀決策者來說，都需對它進(jìn)行進(jìn)一步的診斷。

表10　L取不同的值所對應(yīng)的決策結(jié)果

從表10可以看出，當(dāng)L≥0.8時，樂觀和悲觀決策者的決策結(jié)果趨于穩(wěn)定，其中x9不是誘發(fā)患者患病的主要因素，但是對于取區(qū)間值的樂觀和悲觀決策者來說，都需對它進(jìn)行進(jìn)一步的診斷。與采用三角模糊數(shù)方法相比，采用區(qū)間值分析與實際經(jīng)驗值會產(chǎn)生較大的誤差。

4　結(jié)束語

本文基于IIS，從決策粗糙集出發(fā)，利用三角模糊數(shù)來設(shè)定損失函數(shù)，首先提出一種描述不完備信息的相似關(guān)系。然后，針對IIS中缺失值，借助三角模糊數(shù)的運算法則，利用三角模糊數(shù)來獲取損失函數(shù)，構(gòu)建出三角模糊數(shù)決策粗糙集的基礎(chǔ)模型。通過實例可知，不同于區(qū)間數(shù)決策粗糙集的決策機(jī)制，利用三角模糊數(shù)來獲取損失函數(shù)，不僅能彌補(bǔ)使用區(qū)間參數(shù)時無法考慮區(qū)間內(nèi)取值機(jī)會不等的問題，而且能更加細(xì)致地描述各個參量，使決策結(jié)果更加符合實際應(yīng)用。下一個階段，將著重研究其他不確定環(huán)境下相應(yīng)的擴(kuò)展粗糙集模型的建立，如損失函數(shù)是隨機(jī)數(shù)且服從正態(tài)分布等情況下的研究。

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李亞鴿，女，1990年生，碩士研究生，主要研究方向為粗糙集、粒計算、三支決策。

楊宏志，男，1962年生，教授，博士，主要研究方向為粗糙集、概念格、粒計算。楊宏志教授長期從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究工作，先后發(fā)表學(xué)術(shù)論文30余篇，出版著作2部，承擔(dān)并完成省級項目8項。

徐久成，男，1964年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為數(shù)據(jù)挖掘、粒計算與知識獲取、生物信息學(xué)等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100余篇，其中被SCI收錄14篇，被EI收錄30余篇；出版專著1部，主編國家“十一.五”、“十二.五”規(guī)劃統(tǒng)編教材3部。獲河南省自然科學(xué)優(yōu)秀學(xué)術(shù)論文一等獎3項、河南省高等教育省級教學(xué)成果一等獎2項，河南省教育廳科技成果一等獎1項。

Triangular fuzzy number decision-theoretic rough sets under incomplete information systems

LI Yage1，4， YANG Hongzhi2， XU Jiucheng3

(1. School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China; 2. Henan University of Economics and Law, Zhengzhou, Zhengzhou 450046, China; 3. College of Computer and Information Engineering, Henan Normal University, Xinxiang 453007, China； 4. Department of Mathematics and Information Science,Xinxiang University, Xinxiang 453007,China)

Aiming at the problems that when using an interval value to represent an unknown parameter in an incomplete information system, the opportunity to obtain the value over the whole interval is considered to be equal, but the result may cause an over-large error. In order to solve this problem, a triangular fuzzy number was introduced into decision-theoretic rough sets, and a triangular fuzzy decision-theoretic rough set under incomplete information systems is proposed. Firstly, a new similarity relation was defined to describe incomplete information systems. Then, in view of the missing values, a model of triangular fuzzy number decision-theoretic rough sets was constructed to obtain the loss function. Finally, examples show that the proposed method not only makes up for deficiency in representation of the interval value, but also highlights the main value most likely to reduce the classification error.

incomplete information system; interval value; triangular fuzzy number; decision-theoretic rough sets

10.11992/tis.201606016

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160808.0831.026.html

2016-06-03. 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-08-08.

國家自然科學(xué)基金項目(61370169, 61402153)；河南省科技攻關(guān)重點項目(142102210056, 162102210261)；河南省高等學(xué)校重點科研項目(16A520057).

李亞鴿. E-mail：liyagezzu@163.com.

TP18

A

1673-4785(2016)04-0449-10