探索高中立體幾何的學(xué)法

摘 要：本文分析了高中數(shù)學(xué)教育在立體幾何的學(xué)法困難，著重從幾方面探究教學(xué)中如何操作使學(xué)生輕松掌握，提出用模型給學(xué)生直觀的感官刺激，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，能作圖才能識圖，分析圖形用降維，切割，補(bǔ)形等有效手段實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生化繁為簡，輕松駕馭。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；模型；作圖；轉(zhuǎn)化

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，從平面幾何到立體幾何是一道難度較高的臺階，對學(xué)生的空間思維要求較高，學(xué)生們往往對立體幾何的學(xué)習(xí)倍感畏懼。究其原因，不外乎沿襲平面幾何的思維，缺乏空間想象力，造成思維受阻。因此，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，突破空間思維上的障礙，是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。就此，結(jié)合自己的教學(xué)體會，談一點(diǎn)做法。

1 加強(qiáng)形象直觀 善于使用模型

按照烏申斯基的說法，直觀的教學(xué)不是以抽象的概念和詞語為依據(jù)，而是以學(xué)生的直接感知的具體形式為依據(jù)的。

教會學(xué)生去有意識地使用立體幾何模型，是順利地進(jìn)入立體幾何之門的有用鑰匙。這里所說的模型并不僅指教學(xué)使用的立體幾何教具，而主要是指學(xué)生人人都有的桌面、書本、筆、手掌（表示平面）、手指（表示直線）、打開的書本（表示二面角）等等。善于使用這些現(xiàn)成的模型，可以使許多立體幾何問題變得比較直觀，比較容易解決。

一些立體幾何問題，不通過使用模型是很難作出判斷的。如：“一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是什么？”此題僅靠空間想象很難得出結(jié)果，作圖呢又較難，且作出的圖形是不會運(yùn)動的（模型是可以運(yùn)動的），要作出各種情況下的圖形既費(fèi)時(shí)圖形也難畫，另外學(xué)生往往還會依據(jù)平面幾何中一個(gè)類似的結(jié)論而去習(xí)慣性思維，得出“相等或互補(bǔ)”的錯(cuò)誤結(jié)果，其實(shí)此題只需用兩本打開的書本比劃一下，結(jié)論很快就可以得到（兩個(gè)角沒有任何關(guān)系）。這一教法，融知識性和趣味性于一體，形象、直觀，突破解題障礙，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了他們的空間想象力。

2 重視對學(xué)生識圖、作圖能力培養(yǎng)

識圖和作圖教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的重要途徑之一。識圖、作圖能力是空間想象力的組成部分。我們常遇到這種情況，學(xué)生把題目看了幾遍，但仍然畫不出適合題意的圖形以輔助解題。因此，在立體幾何教學(xué)之初，要重視對學(xué)生識圖、作圖能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練。

識圖、作圖訓(xùn)練可從以下兩方面進(jìn)行

1、用直觀教具與實(shí)物，培養(yǎng)識圖、作圖能力

作圖和識圖有著密切的關(guān)系，如果學(xué)生的識圖能力差，就很難畫出所需要的圖形。在立體幾何教學(xué)中，應(yīng)特別注意利用實(shí)物和模型，幫助學(xué)生認(rèn)清點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，增強(qiáng)感性認(rèn)識，加深對理論的理解。學(xué)生識圖、作圖能力的提高，就意味著他們在空間的抽象思維能力有了提高。

2、通過解剖圖形，提高識圖、作圖能力

立體幾何圖形是由點(diǎn)、線、面這些基本元素通過一定的關(guān)系組合而成，這種關(guān)系到了空間已經(jīng)較平面上發(fā)生了很大的變化，不熟悉、不適應(yīng)這種變化，是學(xué)生難以從平面幾何進(jìn)入到立體幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)障礙。如果能將元素按照題意組合成幾何圖形，又能將圖形分解成部件（有簡單關(guān)系的基本元素的幾何體），也就能將復(fù)雜問題分解為簡單問題，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為已熟悉的平面幾何問題加以解決。

經(jīng)常讓學(xué)生做一些解剖圖形的訓(xùn)練，可增強(qiáng)學(xué)生的識圖、作圖能力。

例1 求證：在已知二面角內(nèi)，從二面角的兩個(gè)半平面出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)任意一點(diǎn)到二面角兩個(gè)面的距離之比是一個(gè)常數(shù)。

分析：如圖1，把平面角從立體圖形中“切”出來，易發(fā)現(xiàn)∠ADB與∠ADC是定量，從而獲得解題線索。

在立體幾何問題中，若作出的圖形較復(fù)雜，線面關(guān)系不易尋找，則可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形解剖，把一個(gè)復(fù)雜的圖形分解為幾個(gè)簡單的常見圖形，并聯(lián)想以往知識尋找解題線索，這對進(jìn)一步提高學(xué)生的識圖能力有很大幫助。

3、介紹基本作圖方法，直接訓(xùn)練作圖能力

畫空間圖形的直觀圖，首先要畫好平面，尤其是相交的平面，如例3。另可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一些基本方法和作圖順序，使他們明確畫圖要領(lǐng)，掌握畫法和程序。畫結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的幾何直觀圖，應(yīng)要求學(xué)生先根據(jù)文字描述進(jìn)行空間想象，在腦海中形成一個(gè)基本圖形，然后畫出草圖，大致確定圖形的形狀、大小和元素間的位置關(guān)系，分清哪些是可見的輪廓線，哪些是不可見的，最后再畫出正式的直觀圖。直觀圖的作圖順序是：由前到后、先線后面、保持平行、實(shí)虛分明。

例2 畫兩對平行平面。（畫法如下圖）

圖形是直觀的語言，圖形的直觀性、準(zhǔn)確性，直接影響數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理，它是學(xué)習(xí)立體幾何的第一道難關(guān)，應(yīng)該引起我們的重視。

突出轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何教學(xué)中占有很重要的地位。立體幾何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化，具體從以下幾個(gè)方面如手。

位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化

線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系是立體幾何中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其精髓就是平行與垂直位置關(guān)系的相互依存及轉(zhuǎn)化，平行與垂直問題不但能橫向轉(zhuǎn)化，而且可以縱向轉(zhuǎn)化。

例3 已知三棱錐S-ABC中，∠ABC=900，側(cè)棱SA⊥底面ABC，點(diǎn)A在棱SB和SC上的射影分別是點(diǎn)E、F。求證EF⊥SC。

分析：∵A、E、F三點(diǎn)不共線，AF⊥SC，

∴要證EF⊥SC，只要證SC⊥平面AEF，

只要證SC⊥AE（如圖3）。

又∵BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB，

∴SB是SC在平面SAB上的射影。

∴只要證AE⊥SB（已知），∴EF⊥SC。

例4 設(shè)矩形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，以EF為棱將矩形折成二面角A-EF-C1（如圖-4）。求證：平面AB1E∥平面CD1F。

分析一（縱向轉(zhuǎn)化）：∵AE∥DF，AE平面C1DF，∴

AE∥平面C1DF.同理，B1E∥平面C1DF，又AE∩B1E=E，∴平面AB1E∥平面C1DF。

分析二（橫向轉(zhuǎn)化）：∵AE∥EF，B1E⊥EF，且AE∩B1E=E，∴EF⊥平面C1DF。同理，EF⊥平面C1DF 。平面AB1E∥平面C1DF。

2、降維轉(zhuǎn)化

由三維空間向二維平面轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問題的重要數(shù)學(xué)方法之一。降維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面中去，用學(xué)生們比較熟悉的平面幾何知識來解決問題。如線面垂直的判定定理就是轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面問題。

例5 設(shè)正三棱錐S-ABC的底邊長為a，側(cè)棱長為2a，過A作與側(cè)棱SB、SC都相交的截面AEF（如圖5），求這個(gè)截面周長的最小值。

分析：這類問題通常都是將幾何體的側(cè)面展開成平面圖形來解決。

沿側(cè)棱SA將三棱錐剪開，得側(cè)面展開圖（如圖6），則求截面⊿AEF周長的最小值問題就轉(zhuǎn)化為側(cè)面展開圖中求A、A1兩點(diǎn)的最短連線段長的問題（解略）。

又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計(jì)算，最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線成的角來進(jìn)行的。

實(shí)現(xiàn)空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展開法和輔助面法等等。

3、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化

“割形”與“補(bǔ)形”是解決立體幾何問題的常用方法之一，通過“割”或“補(bǔ)”

可化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單幾何體，從而較快地找到解決問題的突破口。如教材中斜棱柱側(cè)面積公式的推導(dǎo)，就是通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為直棱柱后進(jìn)行的。

例6 如圖7，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=n，PA/BC的公垂線ED=h，求證：三棱錐P-ABC的體積V=n2h/6.（1987年全國高考試題）

此題證法很多，下面用割補(bǔ)法證明如下：

分析一：如圖7，連結(jié)AD、PD，∵BC⊥DE，BC⊥AB，∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，

∴VP-ABC=VB-APD+VC-APD=BC·S⊿APD= 。

分析二：如圖8，以三棱錐P-ABC的底面為底面，側(cè)棱PA為側(cè)棱，補(bǔ)成三棱拄PB1C1-ABC，連結(jié)EC、EB，則易證AP⊥平面EBC，

∴V三棱拄=AP·S⊿EBC= n2h。

∴VP-ABC = V三棱拄 = 。

4、等積轉(zhuǎn)化

“等積法”在初中平面幾何中就已經(jīng)有所應(yīng)用，是一種很實(shí)用的數(shù)學(xué)方法與技巧。立體幾何中的“等積轉(zhuǎn)化”（或稱等積變換）是以面積、體積（尤其是四面體的體積）作為媒介，來溝通有關(guān)元素之間的聯(lián)系，從而使問題得到解決。

例7 如圖9，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA1與CC1的中點(diǎn)，求四棱錐A1-EBFD1的體積。

略解：易證四邊形EBFD1是菱形，連結(jié)A1C1、EC1、AC1、AD1，則VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF- A1ED1=

2VC1- A1ED1=2VE- A1C1D1=VA-A1C1D1=V正方體AC1=a3。

還有如92年高考的立體幾何解答題，求線面距離，最好的方法就是通過轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離、再轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，最后利用等積轉(zhuǎn)換而求出的，若用其他方法則較難。

5、抽象向具體轉(zhuǎn)化

例8 A、B、C是球O面上三點(diǎn)，弧AB、AC、BC的度數(shù)分別是900、900、600。求球O夾在二面角B-AO-C間部分的體積。

分析：此題難點(diǎn)在于空間想象，即較抽象。教師引導(dǎo)學(xué)生讀題：條件即∠AOB=∠AOC=900，∠BOC=600，然后給出圖形（如圖10），則可想象此題意即為用刀沿600二面角，以直徑為棱將一個(gè)西瓜切下一塊，求這一塊西瓜的體積，（答：）。問題于是變得直觀具體多了。

例9 三條直線兩兩垂直，現(xiàn)有一條直線與其中兩條直線都成600角，求此直線與另外一條直線所成的角。

分析：由條件想象到長方體的三條棱也兩兩垂直，于是問題可以轉(zhuǎn)化為如下問題：長方體一條對角線與同一頂點(diǎn)上的三條棱所成的角分別是600、600、α，求α的大小。

根據(jù)長方體的性質(zhì)，有COS2α+COS2600+COS2600=1，可求得α=450。

立體幾何的教學(xué)，關(guān)鍵是要調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們學(xué)會聯(lián)想與轉(zhuǎn)化。立體幾何的許多定理、結(jié)論源自生活實(shí)際，源自平面幾何，要教會學(xué)生聯(lián)想實(shí)際模型，聯(lián)想平面幾何中已經(jīng)熟悉的東西，借助可取之材來建立空間想象，加強(qiáng)直觀教學(xué)，這樣就容易讓學(xué)生接受，讓他們喜歡上這一門學(xué)科，從而更有效地培養(yǎng)他們的空間想象力，提高他們解決立體幾何問題的能力。

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作者簡介

吳清稚（1978-），女，重慶，畢業(yè)于四川師范大學(xué)，碩士，就職于四川省西昌市第一中學(xué)，現(xiàn)為中學(xué)一級數(shù)學(xué)教師。