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    不等式證明中的5種新觀點

    2016-09-26 06:47:43北京齊龍新特級教師
    高中數(shù)理化 2016年5期
    關(guān)鍵詞:育英特級教師觀點

    ◇ 北京 齊龍新(特級教師)

    (作者單位:北京市育英學(xué)校)

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    不等式證明中的5種新觀點

    ◇北京齊龍新(特級教師)

    不等式證明的常規(guī)方法有比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、幾何法、函數(shù)法、向量法等等,但是即使了解這些常規(guī)方法,解題中也常常感覺無從下手.隨著課程改革的深入,知識面的擴展,證明不等式問題還應(yīng)有新的觀點.本文介紹5個證明不等式問題的新觀點,供同學(xué)們參考.

    1 模型觀點

    模型識別能起到定向訓(xùn)練的作用,可以訓(xùn)練我們在遇到新問題時善于識別問題的特征,準(zhǔn)確地將其歸納為某種數(shù)學(xué)模型, 從而盡快地明確解題思路, 選擇解題方向.

    證明

    [(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]·

    所以

    2 湊“等”觀點

    上面3式相加得

    16+13(x+y+z)+3=32,

    3 “黃金不等式”觀點

    在近年各地高考試卷中,對函數(shù)y=ex和y=lnx的考察是??汲P?其中關(guān)于不等式的證明更是考察的重點和難點.這類題目命制根源常常是以下幾個不等式:

    1) ?x∈R,有ex≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立;

    2) ?x∈R,有ex≥ex,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立;

    3) ?x∈R*,有l(wèi)nx≤x-1;

    4) ?x∈R*,有l(wèi)nx≤x/e.

    上述不等式的幾何意義如圖1、2所示,利用導(dǎo)數(shù)可以輕易證出.

    圖1         圖2

    若能記住上述幾個放縮公式,可以快速突破不等式證明的難點.故筆者把它們都稱為“黃金”不等式.

    (1) 求a、b;

    (2) 證明f(x)>1.

    當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

    4 定積分觀點

    圖3

    由此可以得到n個不等式:

    所以

    5 概率觀點

    把不等式中出現(xiàn)的參數(shù)看成隨機事件的概率,這樣就能把不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為概率論中隨機事件的關(guān)系問題.這使得不等式的證明變得簡單、清晰,同時使得不等式具有某種概率意義.

    證明通過對不等式的觀察,可以看出其中包含的規(guī)律和運算,構(gòu)造以下概率事件,假設(shè)A、B、C、D是概率分別為a、b、c、d的相互獨立事件,那么通過概率中事件之間的關(guān)系和運算可以得出

    (A∪B)∩(C∪D)=

    (A∩C)∪(A∩D)∪(B∩C)∪(B∩D)?

    (A∩C)∪(B∩D),

    所以

    P[(A∩C)∪(B∩D)]≤

    P[(A∪B)∩(C∪D)].

    因為A、B、C、D彼此獨立,所以(A∪B)與(C∪D)也是獨立.根據(jù)概率的加法與乘法公式可以得出

    P(A∩C)+P(B∩D)-

    P(A∩C∩B∩D)≤P(A∪B)P(C∪D).

    又因為

    P(A∩C)=P(A)P(C)=ac,

    P(B∩D)=P(B)P(D)=bd,

    P(A∩C∩B∩D)=P(A)P(B)P(C)P(D)=abcd,

    P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=a+b-ab,

    P(C∪D)=P(C)+P(D)-P(C∩D)=c+d-cd,

    所以

    ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd).

    (作者單位:北京市育英學(xué)校)

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