具有變號位勢和非線性項(xiàng)的薛定諤方程的無窮多解

呂定洋

（湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410205）

具有變號位勢和非線性項(xiàng)的薛定諤方程的無窮多解

呂定洋

（湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410205）

本文用不同于已有文獻(xiàn)的方法研究了一類薛定諤方程的無窮多高能解的存在性，其中位勢V（x）允許變號，的原函數(shù)所滿足的超二次條件與（AR）型條件互為補(bǔ)充。

薛定諤方程；超二次條件；變號位勢；高能解

引言

本文考慮如下的半線性薛定諤方程：

該方程不但在物理應(yīng)用方面有重要的作用，也為數(shù)學(xué)方法的發(fā)展提供了一個很好的模型.利用變分法，方程（1.1）的非平凡解的存在性和多重性得到了廣泛研究，參見文獻(xiàn)［1-4］，在大多數(shù)參考文獻(xiàn)中，以下的（AR）條件被經(jīng)常使用：（AR）存在μ＞2，使得其中F（x，u）=（.AR）條件的作用是用來證明（PS）序列的有界性，這對臨界點(diǎn)理論的應(yīng)用是非常重要的.但有許多函數(shù)并不滿足（AR）條件，如在文獻(xiàn)［5，6］中，作者建立了一些新的超二次條件來代替（AR）條件，其中有些比（AR）條件弱，有些與它互為補(bǔ)充.在最近的文獻(xiàn)［7］中，Qingye Zhang等在對V和f做出一些新的假設(shè)的情況下，得到了方程（1.1）無窮多非平凡解的存在性結(jié)論.在本文中，我們對V和f做如下假設(shè)：，且；（）存在一個常數(shù)d0，使得

其中meas（.）定義為RN中的勒貝斯格測度.，且存在常數(shù)，使得

其中

定理1.1假設(shè)（V1），（V2），（f1）-（f4）成立，則問題（1.1）有無窮多解｛uk｝，其對應(yīng)能量值趨于無窮大.注：1：在我們的假設(shè)中V（x）是允許變號的.

2：條件（f3）是由Jeanjean在文［6］中提出的，它比常見的單調(diào)性假設(shè)弱.有很多函數(shù)如前面提到的.滿足 f（3）但不滿足（AR）條件，條件f（2），f（3）與（AR）條件互為補(bǔ)充.

3：我們的定理的證明方法完全不同于文［7］的證法.

1.變分框架

進(jìn)一步，我們有：

現(xiàn)在，我們在E中定義一個泛函：

定義2.2稱泛函I滿足（C）C條件是指，對任意一列，若滿足和則｛un｝必有收斂子列，其收斂極限是泛函I的臨界點(diǎn).引理2.3（對稱山路定理 ［2，9］）設(shè)X是有限維Banach空間，其中Y是有限維的.如果滿足（C）C條件（c＞0），且

那么I存在無界臨界值序列.

2.定理證明

（1）證明Φ滿足（C）C條件。

那么wn在E中弱收斂于w.

因此，利用Lebesgue控制收斂定理和（2.1）有：

（因?yàn)閙的任意性）.

因此，利用f（3），

矛盾.所以｛un｝在E中有界.

（2）證明｛un｝有收斂子列.

不妨假設(shè)在E中un弱收斂于u，據(jù)引理2.1知，在空間.中，un→u.

由un弱收斂于u知，.根據(jù)假設(shè)（f1），.

（3）驗(yàn)證泛函Φ滿足引理2.3中的其他剩余條件.

（I1）顯然Φ（0）=0.由（f4）知Φ（-u）=Φ（u）.

故我們可以選擇一個整數(shù)m≥1，使得

根據(jù)（V1）知，存在一個常數(shù)V0＞0，使得

引理2.4問題（1.1）與下列問題是等價的.

讓X=E，Y=Ym，Z=Zm.顯然，滿足 （f1），（f2），（f3），（f4），從而由上面的證明知系統(tǒng)（2.3）具有無窮多高能解.再由引理2.4知，問題（1.1）也具有無窮多高能解.定理證畢。

［1］A.Ambrosetti,P.H.Rabinowitz.Dual Variational methods in Critical point theory and applications,［J］.1973,14（4）：349-381.

［2］T.Bartsch,Z.Q.Wang.Existence and multiplicity results for some suplinear elliptic problems［J］.1995,（20）：1725-1741.

［3］T.Bartsch,M.willem,Infinitely many nonradial solutions of a Euclidean Scalar field equation［J1993,（117）：447-460.

［4］Y.H.Ding,Infinitely many entire solutions of an elliptic system with Symmetry［J］.1997,（9）：313-323.

［5］Y.Ding,A.Szulkin,Bound states for semilinear equations with sign-changing potential［J］.,2007,29（3）：397-419.

［6］L.Jeanjean,On the existence of bounded palais-smale sequences and Application to a Landesman-Lazer type problem set on［J］.1999,（129）：787-809.

［7］Q.Zhang,B.Xu,Multiplicity of solutions for a class of semilinear schrodinger equations with sign-changing potential［J2011,（377）：834-840.

［8］T.Bartsch,Z.-Q.Wang,M.Willem,The Dirichlet problem for superlinear Elliptic equations［A］.M.Chipot,P.Quittner（Eds.Elsevier,2005.

［9］P.H.Rabinowitz,Minimax methods in critical point theory with appiications to differential equations［Z］.in：CBMS Reg.Conf.in Math.,Vol.65.Amer.Math.Soc., Providence,RI,1986.

［責(zé)任編輯：胡偉］

Infinitely Many Solutions for a Class of Schrodinger Equations with Sign-changing Potential and Nonlinearity

LV Ding-yang

（Department of Mathematics,Hunan First Normal University,Changsha,Hunan 410205）

Schrodinger equations；super-quadratic；sign-changing potential；high energy solutions

O175

A

1674-831X（2016）02-0097-03

2015-05-12

湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（14JJ7083）；湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（14C0253）

呂定洋（1968-），男，湖南邵陽人，湖南第一師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事偏微分方程臨界點(diǎn)理論。