組元厚度結(jié)構(gòu)對(duì)層狀聲子晶體導(dǎo)帶的影響

唐啟祥，邱學(xué)云，胡家光

（文山學(xué)院信息科學(xué)學(xué)院，云南文山　663099）

組元厚度結(jié)構(gòu)對(duì)層狀聲子晶體導(dǎo)帶的影響

唐啟祥，邱學(xué)云，胡家光

（文山學(xué)院信息科學(xué)學(xué)院，云南文山663099）

以三組元層狀聲子晶體為例，采用一定的中心頻率確定各組元的中心波長(zhǎng)，以各組元中心波長(zhǎng)的倍數(shù)為該組元的厚度系數(shù)，以不同組元與某一組元的厚度系數(shù)之比為相應(yīng)的厚度系數(shù)比，采用傳輸矩陣法計(jì)算傳輸特性，研究了不同厚度系數(shù)、厚度系數(shù)比及原胞數(shù)對(duì)聲子晶體的傳輸特性的影響。結(jié)果顯示，導(dǎo)帶分布具有非常完美的對(duì)稱性，且每個(gè)導(dǎo)帶的頻率中心值、導(dǎo)帶寬度以及相鄰導(dǎo)帶頻率中心的間隔均隨厚度系數(shù)及厚度系數(shù)比的變化呈現(xiàn)明顯的變化規(guī)律，而與原胞數(shù)無(wú)關(guān)。

聲子晶體；導(dǎo)帶；中心波長(zhǎng)；厚度系數(shù)；厚度系數(shù)比

［DOI］10. 3969 / j. issn. 2096-2266. 2016. 06. 006

聲子晶體是密度和彈性常數(shù)呈周期性變化的人造帶隙材料。根據(jù)材料的形狀和排列方式不同，可分為一維、二維和三維聲子晶體。根據(jù)組元的不同，每一維的聲子晶體又可以分成二組元、三組元甚至更多組元的結(jié)構(gòu)材料。已有豐富的研究結(jié)果表明，不同的密度和彈性常數(shù)，對(duì)聲子晶體的帶隙均具有相應(yīng)的影響〔1-9〕。劉啟能對(duì)二組元的情況作了解析研究〔10〕，對(duì)三組元的斜入射情況作了模擬計(jì)算研究〔11〕。文獻(xiàn)中注重對(duì)二組元層狀或桿狀的帶隙的變化進(jìn)行研究，而本文作者在對(duì)三組元層狀結(jié)構(gòu)的聲子晶體進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，合理選擇各組元材料的厚度，禁帶的變化特征不顯著，但導(dǎo)帶的分布及其變化則表現(xiàn)出非常強(qiáng)的規(guī)律性。

1　模型和理論

設(shè)3種不同密度和彈性常數(shù)的組元A、B和C均為無(wú)限大平面材料，并沿z軸方向依次排列，置于外界均勻彈性介質(zhì)E（未單獨(dú)畫出）中，平面彈性橫波和縱波自E垂直于材料A沿z軸方向傳播，如圖1所示。

圖1　一維三組元聲子晶體的結(jié)構(gòu)模型

當(dāng)位移波矢Ui通過(guò)一個(gè)界面后變成新的位移波矢Uj，Ui與Uj之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

式中Mij為從介質(zhì)i到相鄰介質(zhì)j（j為A、B或C）的轉(zhuǎn)移矩陣，根據(jù)胡克定律及彈性波的位移和應(yīng)力在界面兩側(cè)的z分量和x分量的連續(xù)條件可得到。

其中

彈性波通過(guò)厚度為di的介質(zhì)i，波矢的相位發(fā)生變化，相應(yīng)的傳遞矩陣為

彈性波通過(guò)置于均勻彈性介質(zhì)E中具有N個(gè)原胞的整個(gè)聲子晶體的傳遞矩陣為

由W的矩陣元求得縱波透射率TL和橫波的透射率TT分別為

2　實(shí)例計(jì)算

以鋼、環(huán)氧樹(shù)脂和塑料構(gòu)成晶體材料，置于有機(jī)玻璃中。有關(guān)材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

具有N個(gè)原胞的聲子晶體的厚度：

為便于討論，設(shè)定xA=xB=xC=x。則有

圖2　縱波透射率譜圖

2.1厚度系數(shù)對(duì)導(dǎo)帶頻率中心及間隔的影響固定原胞數(shù)N=4，改變厚度系數(shù)x（實(shí)際上在改變晶格常數(shù)d），分別為0.1，0.2，…，1.0，選擇第二導(dǎo)帶計(jì)算它的頻率中心 f20和相鄰導(dǎo)帶頻率中心的間隔Δf0，結(jié)果顯示，導(dǎo)帶的頻率中心 f20和相鄰導(dǎo)帶頻率中心間隔Δf0均隨厚度系數(shù)增大而減小，如圖3和圖4所示。

圖3　第二導(dǎo)帶頻率中心隨厚度系數(shù)變化的響應(yīng)曲線

圖4　相鄰導(dǎo)帶頻率中心間隔隨厚度系數(shù)變化的響應(yīng)曲線

2.2厚度系數(shù)對(duì)導(dǎo)帶寬度的影響在圖2中，存在兩種寬度的導(dǎo)帶，現(xiàn)在分別計(jì)算它們的寬度與材料厚度系數(shù)之間的變化關(guān)系。見(jiàn)圖5。

圖5　厚度系數(shù)對(duì)導(dǎo)帶寬度的影響曲線

結(jié)果顯示，無(wú)論是寬帶還是窄帶的寬度Δf均隨厚度系數(shù)x增加而減小。

（1）在e＜1的范圍內(nèi)，導(dǎo)帶頻率中心間隔保持2.5 kHz不變，但是隨著e的增大，寬帶位置向低頻方向運(yùn)動(dòng)，相鄰寬帶之間的窄帶數(shù)量隨之減少；

（2）當(dāng)e=1時(shí)，各導(dǎo)帶之間的間隔變成完全一樣，但窄帶變成不完整的缺陷狀；

（3）隨著e＞1，導(dǎo)帶頻率中心間隔與e成反比例減小，相鄰2個(gè)導(dǎo)帶之間的窄帶數(shù)量逐漸增多，透射率譜線逐漸變得密集。如圖6所示。

圖6　厚度系數(shù)比對(duì)導(dǎo)帶分布影響的對(duì)比圖

2.4原胞數(shù)對(duì)導(dǎo)帶的影響保持其他參數(shù)不變，改變?cè)麛?shù)N，計(jì)算導(dǎo)帶的頻率中心值和相鄰導(dǎo)帶的頻率間隔。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

（1）N不影響導(dǎo)帶的頻率中心值；

（2）導(dǎo)帶間隔隨原胞數(shù)N量的增加而減小，導(dǎo)帶寬度變寬，導(dǎo)帶內(nèi)的透射率譜線變得致密。

由于篇幅原因，在此不再給出其他圖像。

3　結(jié)果的理論分析

聲子晶體的導(dǎo)帶或帶隙均是不同頻率彈性波在相鄰組元界面上來(lái)回反射疊加出現(xiàn)的結(jié)果。當(dāng)各組元的厚度剛好為波長(zhǎng)的整數(shù)倍或分?jǐn)?shù)倍時(shí)，由該組元引起的相位延遲將會(huì)是π的整數(shù)倍數(shù)或分?jǐn)?shù)倍。根據(jù)Bragg散射機(jī)理，整數(shù)倍中偶數(shù)倍的被透射，奇數(shù)倍的被反射。在不考慮吸收的情況下，一定頻率的波通過(guò)某組元，一般同時(shí)伴有反射和透射。當(dāng)不同頻率的波通過(guò)多層這樣的組元材料后，在某些頻段剛好被完全反射，形成帶隙，而剛好能通過(guò)的頻段即成為導(dǎo)帶，且導(dǎo)帶寬度不一定會(huì)和帶隙寬度一樣。當(dāng)波的頻率變化范圍足夠?qū)捄?，這種帶隙和導(dǎo)帶相間分布的現(xiàn)象又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，于是便出現(xiàn)了本研究中得到的結(jié)果。

4　結(jié)論

將各組元的厚度與其中心波長(zhǎng)的比值取名為厚度系數(shù)x，通過(guò)改變厚度系數(shù)來(lái)改變各組元的厚度，改變厚度系數(shù)的比值來(lái)改變組元的厚度比e，計(jì)算了一維三組元聲子晶體導(dǎo)帶隨厚度系數(shù)x和厚度比e變化的一些規(guī)律。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

（1）隨厚度系數(shù)x增大，每個(gè)導(dǎo)帶的頻率中心和相鄰導(dǎo)帶頻率中心間隔、寬帶和窄帶的頻率寬度均逐漸減小。

（2）厚度系數(shù)比在不同范圍內(nèi)，對(duì)導(dǎo)帶產(chǎn)生的影響不一樣。在e＜1的范圍內(nèi)，導(dǎo)帶頻率中心間隔保持不變，但是隨著e的增大，寬帶位置向低頻方向運(yùn)動(dòng)，相鄰寬帶之間的窄帶數(shù)量隨之減少；當(dāng)e=1時(shí)，各導(dǎo)帶之間的間隔變成完全一樣，但窄帶變成不完整的缺陷狀；隨著e＞1，導(dǎo)帶頻率中心間隔逐漸減小，相鄰2個(gè)導(dǎo)帶之間的窄帶數(shù)量逐漸增多，透射率譜線逐漸變得密集。

（3）隨原胞數(shù)N的增加，各導(dǎo)帶的頻率中心值不變，但是導(dǎo)帶寬度變寬，導(dǎo)帶內(nèi)的透射譜線變得致密。

以上結(jié)果可以用來(lái)指導(dǎo)彈性波波導(dǎo)的設(shè)計(jì)和制造。

〔1〕楊旭，王立勇，杜曉東，等.一維三組元準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體的透射性質(zhì)〔J〕.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版），2010，39（4）：363-366.

〔2〕曹永軍，董純紅，周培勤.一維準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體透射性質(zhì)的研究〔J〕.物理學(xué)報(bào)，2006，55（12）：6470-6474.

〔3〕曹永軍，胡曉穎，周培勤.一維準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙特性的研究〔J〕.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版），2008，37（1）：53-57.

〔4〕劉超.一維聲子晶體桿狀結(jié)構(gòu)縱向振動(dòng)帶隙特性〔J〕.激光雜志，2013，34（5）：47-48.

〔5〕劉啟能.一維聲子晶體中彈性波的全反射貫穿效應(yīng)〔J〕.振動(dòng)與沖擊，2012，31（1）：173-176.

〔6〕曹永軍，楊旭，姜自磊.彈性波通過(guò)一維復(fù)合材料系統(tǒng)的透射性質(zhì)〔J〕.物理學(xué)報(bào)，2009，57（11）：7735-7738．

〔7〕邱學(xué)云，胡家光.一維三組元桿狀結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙研究〔J〕.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，30（2）：102-107.

〔8〕劉啟能.一維聲子晶體的傳輸特性〔J〕.人工晶體學(xué)報(bào)，2008，37（1）：179-182.

〔9〕宋玉敏，高云，王雪文，等.一維聲子晶體的振動(dòng)特性研究〔J〕.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，30（2）：44-48.

〔10〕劉啟能.一維聲子晶體中聲波能帶的解析研究〔J〕.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28（2）：185-188.

〔11〕劉啟能.彈性波斜入射聲子晶體的傳輸特性〔J〕.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（2）：397-401.

〔Abstract〕Choosing a central frequency to calculate the central wavelength of every component，and determining every component's thickness coefficients with ratios of their central wavelength，and defining each component's ratio of thickness coefficient with a certain component's thickness coefficient，and the transmission characteristics of the three components phononic crystal were calculated with transfer matrix method for different thickness coefficient and ratio of thickness coefficient.The results show that the distribution of the conduction band presents very perfect symmetry.With the changing of the thickness coefficient and the thickness coefficient ratio，all of the frequency center of the conduction band and the conduction band width and the center of the adjacent conduction band frequency interval present obvious regularity，but there is nothing to do with the changing of the original cell number.

〔Key words〕phononic crystal；conduct band；central wavelength；thickness coefficient；ratio of thickness coefficient

（責(zé)任編輯袁霞）

Effect of Component Thickness Structure on Layered Phononic Crystal Conduct Band

Tang Qixiang，Qiu Xueyun，Hu Jiaguang
（College of Information Science，Wenshan University，Wenshan，Yunnan 663099，China）

TH113

A

2096-2266（2016）06-0023-04

云南省教育廳科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2014Y474）

2016-03-28

2016-04-08

唐啟祥，副教授，主要從事材料物理研究.