分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌及自適應同步*

劉曉君　洪靈

(西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安　710049)

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分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌及自適應同步*

劉曉君洪靈?

(西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安710049)

對具有五次方非線性項的分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌及自適應同步進行了研究.首先分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性, 并發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)滿足出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子的必要條件.然后研究了在階數(shù)相同和不同的兩種情況下的吸引子以及系統(tǒng)隨階數(shù)變化的分岔情況.該系統(tǒng)在兩種情況下存在混沌的最小有效維數(shù)分別為2.784和2.793.基于分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，實現(xiàn)了該分數(shù)階系統(tǒng)的自適應混沌同步.數(shù)值模擬驗證了所設計的自適應控制器和未知參數(shù)的辨識觀測器的有效性.

混沌,同步,分數(shù)階系統(tǒng),分岔,自適應控制

引言

分數(shù)階微積分理論已有300多年的歷史, 早期主要側重于理論研究, 因沒有實際的應用背景而發(fā)展十分的緩慢.1983年Mandelbort指出了自然界及許多科學領域中存在大量的分數(shù)維事實[1], 由此作為分形幾何和分數(shù)維動力學基礎的分數(shù)階微積分取得了極大的進展[2].一直以來, 整數(shù)階微積分都是研究的重點內(nèi)容, 但整數(shù)階微積分僅僅決定于函數(shù)的局部特征, 而分數(shù)階微積分以加權的形式考慮了函數(shù)的整體信息, 在很多方面應用分數(shù)階數(shù)學模型可以更準確地描述實際系統(tǒng)的動態(tài)響應.近幾十年, 研究人員提出了很多的分數(shù)階混沌系統(tǒng), 例如分數(shù)階Chua系統(tǒng)[3-5], 分數(shù)階Duffing振子[6-7], 分數(shù)階Chen系統(tǒng)[8], 分數(shù)階Liu系統(tǒng)[9]等.

1990年, Pecora和Carroll提出完全同步以來[10], 混沌同步由于在保密通信等領域的潛在應用而得到了廣泛的研究并取得了很多成果.常用的同步方法非常的多, 例如驅動響應同步法、自適應同步法、主動同步法以及反步法等[11-15].這些同步法是針對整數(shù)階混沌系統(tǒng), 隨著分數(shù)階系統(tǒng)的發(fā)展, 很多同步方法被應用到了分數(shù)階系統(tǒng).在實際情況中, 分數(shù)階系統(tǒng)較整數(shù)階系統(tǒng)更加具有普遍性, 而且具有更大的密鑰空間, 因而對于分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步研究具有重要的價值.

Genesio-Tesi系統(tǒng)是一個比較典型的混沌系統(tǒng).該系統(tǒng)是由Genesio和Tesi基于諧波平衡法構造的[16], 具有混沌系統(tǒng)的很多特征, 并只包含了一個簡單的平方項.Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌同步問題在文獻[17]中得到了詳細的研究.2005年, Lu提出了分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)[18], 并指出該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的最小有效維數(shù)為2.4.2012年, Faieghi等人通過主動同步法和滑?？刂品▽崿F(xiàn)了該分數(shù)階系統(tǒng)的混沌同步[19].

研究了一個具有五次方非線性項的分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌和同步問題.在等階和不等階的情況下, 分別分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性, 系統(tǒng)隨階數(shù)變化的分岔情況.并得出了兩種情況下, 系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的最小維數(shù)分別為2.784和2.793.最后基于分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,研究帶有未知參數(shù)的分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的自適應同步問題, 通過設計合適的控制器和未知參數(shù)辨識規(guī)則, 實現(xiàn)了該系統(tǒng)的自適應同步.數(shù)值模擬驗證了所設計的控制器和參數(shù)辨識規(guī)則的有效性.

1　系統(tǒng)描述

具有五階非線性項的分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)描述如下：

(1)

其中x,y,z為系統(tǒng)狀態(tài)變量,b1,b2,b3,b4為系統(tǒng)參數(shù),q1,q2,q3為分數(shù)階導數(shù)的階數(shù).

E1(l1=0.5109,l2,3=-0.4055±1.9365i)

E2,3(l1=-1.5053,l2,3=0.6027±2.2251i)

從特征值可以看出, 平衡點E1是指數(shù)1的鞍點,其它的兩個平衡點為指數(shù)2的鞍點.對于混沌系統(tǒng), 渦卷只能在指數(shù)2的鞍點附近產(chǎn)生.指數(shù)1的平衡點的作用是連接兩個渦卷.所以系統(tǒng)(1)滿足產(chǎn)生雙渦卷的必要條件[20-21].

1.1階數(shù)相等的情況

當系統(tǒng)的階數(shù)相等時, 即q1=q2,q3=q, 系統(tǒng)的參數(shù)取為b1=-2,b2=3.5,b3=0.3,b4=-1, 階數(shù)為q=0.95.系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性可以通過計算其對應的特征根來研究, 平衡點E1的特征方程為:

det(diag([lmqlmqlmq])-J)

=l285+0.3l190+3.5l95-2=0

(2)

det(diag([lmqlmqlmq])-J)

=l285+0.3l190+3.5l95+8=0

(3)

為了更好的研究系統(tǒng)(1)的動力學行為, 以分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)做為控制參數(shù), 通過數(shù)值仿真, 得到當階數(shù)q∈[0.88,0.97]時系統(tǒng)的分岔圖, 如圖2所示.從圖中可以看到, 系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔和內(nèi)部激變, 其中內(nèi)部激變在q=0.953時發(fā)生, 表現(xiàn)為系統(tǒng)的吸引子從單渦卷到雙渦卷的變化, 如圖3所示.同時可得系統(tǒng)在等階情況下, 產(chǎn)生混沌的階數(shù)為q=0.928 , 則系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的最小維數(shù)為2.784.

圖1　系統(tǒng)(1)在三維空間中的混沌吸引子Fig.1　The chaotic attractor of system (1) in 3D phase space

圖2　系統(tǒng)(1)在等階情況下隨階數(shù)q變化的分岔圖Fig.2　Bifurcation diagram of the system (1) with order q

圖3　系統(tǒng)在不同階數(shù)的x-y平面上吸引子Fig.3　The attractors in x-y phase plane for different orders

1.2階數(shù)不相等的情況

在這種情況下, 取q1=0.95,q2=0.97,q3=0.95, 系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性可以通過計算其對應的特征根來研究, 平衡點E1的特征方程為:

det(diag([lmq1lmq2lmq3])-J)

=l287+0.3l192+3.5l95-2=0,

(4)

det(diag([lmq1lmq2lmq3])-J)

=l287+0.3l192+3.5l95+8=0,

為了獲得系統(tǒng)(1)在不等階的情況下產(chǎn)生混沌的最小有效維數(shù), 令q1=q2=1, 數(shù)值仿真得到當q3≥0.822時, 系統(tǒng)為混沌態(tài).同樣可以得到當其中兩個階數(shù)值為1時, 系統(tǒng)產(chǎn)生混沌態(tài)的條件分別為q2≥0.824和q1≥=0.793.因此, 系統(tǒng)的最小有效維數(shù)為2.793.

同樣通過分岔圖來分析系統(tǒng)隨階數(shù)變化的動力學行為, 數(shù)值仿真得到系統(tǒng)隨階數(shù)q3變化的分岔圖,其中變化范圍為q3∈[0.85,0.97],如圖4.從圖中可以看到, 除了在q3∈[0.85,0.874]和q3∈[0.92,0.93]時, 系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔外.系統(tǒng)一直處于混沌狀態(tài), 并且在q3=0.938時, 混沌區(qū)域突然變寬, 即系統(tǒng)發(fā)生了內(nèi)部激變.吸引子為從單渦卷到雙渦卷的變化, 如圖5所示.

圖4　系統(tǒng)(1)在不等階情況下隨階數(shù)q3變化的分岔圖Fig.4　Bifurcation diagram of the system (1) with order q3

圖5　系統(tǒng)在不同階數(shù)的x-y平面上吸引子 Fig.5　The attractors in x-y phase plane for different orders

2　系統(tǒng)(1)的自適應同步

在這一節(jié)中, 利用反步法來研究系統(tǒng)(1)的自適應同步.以系統(tǒng)(1)作為驅動系統(tǒng), 并將其改寫為如下形式:

(6)

其中參數(shù)均為未知的.響應系統(tǒng)為如下形式:

(7)

(8)

定理1當自適應控制器和參數(shù)辨識規(guī)則分別設計為如下形式時, 驅動系統(tǒng)(6)和響應系統(tǒng)(7)達到同步.

(9)

(10)

證明：將自適應控制器(9)代入誤差系統(tǒng)(8),則可得誤差系統(tǒng)

(11)

結合上式和(10), 可得：

=A(e1,e2,e3,eb1,eb2,eb3,eb4)T

(12)

其中

假定λ為矩陣A的一個特征根,且該特征值所對應的非零的特征向量為

ζ=(ζ1,ζ2,ζ3,ζ4,ζ5,ζ6,ζ7)T

則

Aζ=λζ

(13)

通過對上式兩端進行共軛轉置運算H,可得

(14)

式(13)左乘1/2ζH,同時式(14)右乘1/2ζ,所得結果相加得到

(15)

進一步化簡

(16)

將矩陣A代入上式,得到

(17)

其中

(18)

根據(jù)分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，則誤差動力系統(tǒng)(12)的平衡點漸進穩(wěn)定.因此

(19)

這說明驅動系統(tǒng)(6)和響應系統(tǒng)(7)達到了同步,證畢.

圖6　系統(tǒng)(6)與(7)的同步誤差曲線Fig.6　The curves of the synchronization errors of the systems (6) and (7)

圖7　未知參數(shù)的辨識曲線

取參數(shù)的真實值分別為b1=-2,b2=3.5,b3=0.3,b4=-1, 階數(shù)為q1=q2=q3=0.95.驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的初值分別取為(-0.2,0.5,0.2)和(0.5,1,-1).數(shù)值仿真,得到系統(tǒng)的同步誤差曲線(如圖6)和未知參數(shù)辨識曲線(如圖7),可以看到隨著時間t→200,誤差趨近0,同時未知參數(shù)的估計值趨向其真實值,驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達到了同步,說明所設計的同步控制器和未知參數(shù)辨識規(guī)則是有效的.

3　結論

對具有五次方非線性項的分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌及自適應同步進行了研究.分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性, 并發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)滿足出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子的必要條件.然后研究了在階數(shù)相同和不同的兩種情況下的吸引子以及隨系統(tǒng)階數(shù)變化的分岔情況.并得出了該系統(tǒng)在兩種情況下存在混沌的最小有效維數(shù)分別為2.784和2.793.最后，通過基于分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,實現(xiàn)了該分數(shù)階系統(tǒng)的自適應混沌同步.數(shù)值模擬驗證了所設計的自適應控制器和未知參數(shù)的辨識觀測器的有效性.所得結果為該分數(shù)階系統(tǒng)在保密通信中的應用提供了基礎數(shù)據(jù).

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (11172224)

? Corresponding author E-mail: hongling@mail.xjtu.edu.cn

27 June 2013,revised 28 February 2014.

CHAOS AND ADAPTIVE SYNCHRONIZATION IN FRACTIONAL-ORDER GENESIO-TESI SYSTEMS*

Liu XiaojunHong Ling?

(StateKeyLaboratoryforStrengthandVibrationofMechanicalStructures,Xi′anJiaotongUniversity,Xi′an710049,China)

The chaos and adaptive synchronization for a fractional-order Genesio-Tesi system with fifth order nonlinearity were investigated. The stability of equilibrium points was studied, and the necessary condition for double-scroll attractor existence in the system was satisfied. The bifurcation and an interior crisis from single-scroll to double-scroll attractors were also found with the variation of derivative order. The minimum effective dimension for the system to remain chaos is 2.784 in commensurate-order case and 2.793 in incommensurate-order case. Furthermore, the adaptive synchronization of the system with uncertain parameters via back-stepping approach was realized by designing appropriated controllers. Numerical simulations were carried out to demonstrate the effectiveness and flexibility for the controllers.

chaos,synchronization,fractional-order systems,bifurcation,adaptive control

E-mail: hongling@mail.xjtu.edu.cn

10.6052/1672-6553-2016-09

2013-06-27收到第1稿,2014-02-28收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目(11172224)