基于非線性約束污水處理曝氣池過(guò)程的優(yōu)化*

葛福婷, 張　秀,王家豪,朱家明

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

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基于非線性約束污水處理曝氣池過(guò)程的優(yōu)化*

葛福婷1, 張秀1,王家豪2,朱家明1

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

針對(duì)污水處理曝氣池過(guò)程中關(guān)于COD問(wèn)題的優(yōu)化，通過(guò)定量分析、相關(guān)分析、變量控制等方法，建立了主成分分析、時(shí)間序列分析、非線性預(yù)測(cè)、SQPM非線性約束等模型，得到了活性污染泥濃度和氧化還原位點(diǎn)對(duì)出口COD的時(shí)間延遲影響程度最大,出口COD的最優(yōu)非線性預(yù)測(cè)函數(shù)，為使COD濃度穩(wěn)定在一定水平各指標(biāo)濃度調(diào)節(jié)額等結(jié)論.

污水處理；COD；主成分分析；時(shí)間序列分析；非線性預(yù)測(cè)；SQPM非線性約束

0　引言

近年來(lái)，關(guān)于水污染的話題不斷被提起，2014年9月有媒體曝光內(nèi)蒙古和寧夏交界處的騰格里沙漠存在企業(yè)非法排污現(xiàn)象[1]，已對(duì)周圍環(huán)境造成污染，引起大家對(duì)水污染嚴(yán)重程度的廣泛關(guān)注和民眾環(huán)保意識(shí)的覺(jué)醒.污水處理被廣泛運(yùn)用于建筑、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療等各個(gè)領(lǐng)域，最常用的污水處理方法為活性污泥法，通過(guò)曝氣池處理攪拌混合液使泥、水充分接觸和向微生物供氧.化學(xué)需氧量(COD，Chemical oxygen demand)是污水處理最重要的處理指標(biāo)，用來(lái)表明在出水或純凈水中還有多少殘留的有機(jī)污染，對(duì)污水處理質(zhì)量、資源的合理運(yùn)用等因素有著十分密切的聯(lián)系.根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)污水處理曝氣池過(guò)程進(jìn)行科學(xué)合理的評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)和分析，是一個(gè)很有實(shí)用價(jià)值的問(wèn)題.

1　數(shù)據(jù)來(lái)源與模型假設(shè)

數(shù)據(jù)來(lái)源于2015年安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模模擬題4[2]中2014年1月1日至2014年6月30日某污水處理廠污水處理觀察數(shù)據(jù)共22032組.為了便于解決問(wèn)題，提出以下假設(shè)：1)污水處理曝氣池過(guò)程中有良好的活性污泥和充足的氧氣；2)微生物分解通過(guò)氧化階段，除去了所吸附的大量有機(jī)物后，污泥又重新出現(xiàn)活性，恢復(fù)吸附氧化分解能力[3]；3)不考慮實(shí)際觀察中存在的有機(jī)物濃度增加時(shí)，微生物增長(zhǎng)速率變化的滯后效應(yīng)[4]；4)僅考慮所給的數(shù)據(jù)指標(biāo)對(duì)COD濃度的相關(guān)問(wèn)題的研究；5)各個(gè)鼓風(fēng)機(jī)出口與入口指標(biāo)間處于并列的關(guān)系；6)系統(tǒng)建模過(guò)程中,均不考慮污染組分的積累,即視系統(tǒng)為穩(wěn)定狀態(tài),只考慮系統(tǒng)輸入、輸出項(xiàng)和反應(yīng)項(xiàng),積累項(xiàng)為0[5]；7) 污水處理系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)溫度視為恒定，pH值恒定而且接近中性.

2　污水處理曝氣池過(guò)程COD時(shí)間延遲相關(guān)分析

2.1研究思路

我們要研究的是，污水處理曝氣池過(guò)程中各類參數(shù)對(duì)出口COD的時(shí)間延遲關(guān)系，并進(jìn)行結(jié)果輸出.對(duì)此可以入、出口COD差值替代COD為因變量，其他各參變量為自變量，結(jié)合污水處理的周期性，進(jìn)行研究.首先，計(jì)算各類參數(shù)對(duì)COD的Pearson相關(guān)系數(shù)，得到時(shí)間延遲分析的作用方向和程度大??；然后著重分析COD與6類參數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，采用主成分分析法計(jì)算出各參數(shù)對(duì)COD的貢獻(xiàn)率大小，以檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)結(jié)果的準(zhǔn)確性；最后，綜合前面的分析結(jié)論，做COD時(shí)間延遲的相關(guān)分析和獨(dú)立分析.建模流程圖如圖1所示.

圖1　COD時(shí)間延遲相關(guān)分析建模流程圖

2.2數(shù)據(jù)處理

2.2.1源數(shù)據(jù)分析

污水處理過(guò)程中存在一定的耗氧量，故可用入、出口COD的差值來(lái)近似替代出口COD；入口COD保持不變的時(shí)候恰是微生物的氧化還原分解反應(yīng)過(guò)程，且每一個(gè)入、出口COD數(shù)值呈周期性變化，每隔12個(gè)檢測(cè)單位(即2小時(shí))基本相同，即下一周期COD數(shù)據(jù)是上一周期氧化還原反應(yīng)結(jié)果的表現(xiàn).

2.2.2剔除周期性波動(dòng)

刪除第一組12個(gè)相同數(shù)值的出口COD的數(shù)據(jù)，依次將其他各時(shí)刻的出口COD數(shù)值向前順延2小時(shí)，得到源時(shí)間序列數(shù)據(jù).

2.2.3數(shù)據(jù)預(yù)處理

在源時(shí)間序列數(shù)據(jù)上，為構(gòu)建合理、完整的評(píng)價(jià)體系，除大部分可直接用于處理的指標(biāo)外，還需再計(jì)算入、出口COD的差值，總出口閥開度和總?cè)肟陂y開度.計(jì)算公式如下：

入出口COD差值：ai-bi；

總出口閥開度：∑ci；

總?cè)肟陂y開度：∑di

其中，ai表示入口COD，bi表示出口COD，ci表示各鼓風(fēng)機(jī)出口閥開度，di表示各鼓風(fēng)機(jī)出口閥開度，i表示各參數(shù)污水處理檢測(cè)的時(shí)刻編碼.

2.2.4Pearson相關(guān)系數(shù)分析

對(duì)可能影響COD數(shù)值的6類參數(shù)(共19個(gè)指標(biāo))無(wú)量綱化，運(yùn)用MATLAB軟件，求解各指標(biāo)對(duì)COD的Pearson相關(guān)系數(shù)P[6]，計(jì)算公式如下，結(jié)果如表1所示.

P用來(lái)衡量COD濃度分別于各個(gè)指標(biāo)間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，其取值范圍為[0,1].其中，m表示COD濃度數(shù)據(jù)序列，n表示其他各影響因素?cái)?shù)據(jù)序列，N為樣本個(gè)數(shù)，P的絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng).

2.2.5主成分分析

為進(jìn)一步定量化描述各指標(biāo)對(duì)COD的時(shí)間延遲影響程度，基于主成分分析法[7]研究思路，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，運(yùn)用MATLAB軟件編程，得到各指標(biāo)對(duì)COD時(shí)間延遲的貢獻(xiàn)率及排名，結(jié)果見表2.

2.2.6研究結(jié)論

結(jié)合Pearson相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)及主成分分析的結(jié)果，綜合各指標(biāo)對(duì)COD時(shí)間延遲結(jié)果的獨(dú)立相關(guān)分析及總體相關(guān)分析，即可得出污水曝氣池處理過(guò)程中各指標(biāo)對(duì)COD時(shí)間延遲影響程度及作用方向.

表1　各指標(biāo)對(duì)COD的時(shí)間延遲的相關(guān)系數(shù)

表2　各指標(biāo)對(duì)COD的時(shí)間延遲的貢獻(xiàn)率

2.3結(jié)果分析

Pearson相關(guān)關(guān)系分析中：COD的時(shí)間延遲與指標(biāo)溶解氧測(cè)點(diǎn)1、溶解氧測(cè)點(diǎn)4、氧化還原點(diǎn)位1、氧化還原點(diǎn)位5呈負(fù)相關(guān)，即這些指標(biāo)濃度越大，出口COD濃度越小，反之，指標(biāo)濃度越小，出口COD濃度越大，但相關(guān)性很小，可能是在污水處理曝氣池過(guò)程(如圖2)中，這些指標(biāo)擔(dān)當(dāng)了微生物的氧化還原反應(yīng)氧化劑的作用，促進(jìn)供給物氧化分解所需的氧氣；其他指標(biāo)對(duì)COD的時(shí)間延遲均呈正相關(guān)，說(shuō)明這些指標(biāo)直接或間接地參與了污水處理的氧化還原反應(yīng)，促進(jìn)COD的氧化還原分解成微毒或無(wú)毒的物質(zhì).特別地，活性污泥濃度1、活性污泥濃度2和氧化還原點(diǎn)位8與COD的時(shí)間延遲相關(guān)關(guān)系最大，其中活性污泥濃度1的相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.3586.

主成分分析中：兼顧選取指標(biāo)個(gè)數(shù)和累計(jì)貢獻(xiàn)率兩個(gè)方面，選取指標(biāo)使得累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85%以上為止.篩選得氧化還原點(diǎn)1～8、總出口閥開度和總?cè)肟陂y開度共10個(gè)指標(biāo)，建立與COD的時(shí)間延遲相關(guān)關(guān)系函數(shù)如下：

COD=0.0484ω1+0.0526ω2+0.0576ω3+

0.0674ω4+0.0691ω5+0.1043ω6+0.1115ω7+

0.2666ω8+0.0324c+0.0446d

其中，ωk(k=1,2,…，8)分別表示氧化還原點(diǎn)位1～8，c，d分別表示總出口閥開度和總?cè)肟陂y開度.

綜合上述的研究結(jié)論，活性污染泥濃度和氧化還原點(diǎn)位對(duì)COD的時(shí)間延遲影響程度較大，它們對(duì)時(shí)間延遲的作用表現(xiàn)在參與反應(yīng)池中的反應(yīng)，以充當(dāng)還原劑或形成難以反應(yīng)的保護(hù)膜抑制或阻礙氧化反應(yīng)的發(fā)生.特別地，氧化還原點(diǎn)位8對(duì)COD的時(shí)間延遲的影響程度高達(dá)0.2666，可能是由于該指標(biāo)是污水處理的氧化還原反應(yīng)主要的作用點(diǎn)，有更難氧化還原的有害粒子或物質(zhì).

圖2 活性污泥法基本流程

3　非線性規(guī)劃時(shí)間序列水質(zhì)預(yù)測(cè)

3.1研究思路

河流水質(zhì)表達(dá)的本質(zhì)是關(guān)于“污染物量”與“水量”的二元函數(shù)，河流天然“水量”的年際變化影響，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于人類的排放活動(dòng)對(duì)河流水質(zhì)的影響，需要約束的是“污染物量”的排放。

我們要研究的是，聯(lián)系出口COD時(shí)間延遲關(guān)系，建立各參數(shù)對(duì)出口COD的非線性時(shí)間預(yù)測(cè)模型[8].通過(guò)對(duì)入口COD的時(shí)間分析，發(fā)現(xiàn)各指標(biāo)濃度呈顯著的季節(jié)變動(dòng)[9]和長(zhǎng)期趨勢(shì)[10]，考慮到由于季節(jié)變動(dòng)和長(zhǎng)期趨勢(shì)可能造成的系統(tǒng)誤差，我們分別擬合出每個(gè)指標(biāo)與出口COD的非線性時(shí)間序列函數(shù)，判斷各類擬合函數(shù)的可決系數(shù)R2大小，選擇最優(yōu)擬合函數(shù).這樣一方面很好地減少了系統(tǒng)誤差對(duì)周期性波動(dòng)的影響，另一方面也通過(guò)控制變量達(dá)到預(yù)測(cè)出口COD的目的，揭示了出口COD濃度時(shí)間序列變化的規(guī)律性，為經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)提供依據(jù).

3.2數(shù)據(jù)處理

運(yùn)用EXCEL軟件，繪制入口COD濃度隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，如圖3所示.

圖3　入口COD變化趨勢(shì)

通過(guò)圖3，不難發(fā)現(xiàn)入口COD濃度呈現(xiàn)周期性的變化，每?jī)蓚€(gè)月入口COD濃度變化幅度相同，為研究方便，可選取某一周期的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，其他各周期變化類似，假使選取3～5月的數(shù)據(jù).

同時(shí)，入口COD、溶解氧測(cè)點(diǎn)和活性污泥濃度存在負(fù)值，與實(shí)際情況不符，剔除該類數(shù)據(jù).此外，有些數(shù)據(jù)的值基本保持不變，如鼓風(fēng)機(jī)風(fēng)管壓力和氧化還原點(diǎn)位6，說(shuō)明其濃度不受其他因素影響，故對(duì)這兩組變量不做分析.

1)3σ準(zhǔn)則剔除異常數(shù)據(jù). 由于數(shù)據(jù)的檢測(cè)可能存在檢查分析和設(shè)備故障導(dǎo)致的誤差，所給各指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)通常存在少數(shù)的異常數(shù)據(jù)，從而對(duì)非線性規(guī)劃水質(zhì)預(yù)測(cè)模型整體性能產(chǎn)生影響.因此，本文首先采用假設(shè)檢驗(yàn)中的3σ準(zhǔn)則對(duì)異常數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，即當(dāng)某一檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差滿足3σ準(zhǔn)則，則視其為異常數(shù)據(jù)，予以剔除.公式如下：

對(duì)COD濃度時(shí)間序列進(jìn)行歸一化處理，歸一化后數(shù)據(jù)的取值在[-1,1]之間，歸一化的公式為

Yn=(Y-Miny)/(Maxy-Miny)

其中，Y為原始COD濃度數(shù)據(jù)，Yn為歸一化后的COD濃度數(shù)據(jù)，Miny為Y的最小值，Maxy為Y的最大值.

3)最大判定系數(shù)R2.

運(yùn)用SPSS軟件，分別擬合出各個(gè)指標(biāo)對(duì)出口COD的時(shí)間序列分析函數(shù)[11]，介于文章篇幅有限，僅給出溶解氧測(cè)點(diǎn)1和氧化還原位點(diǎn)3對(duì)COD的時(shí)間序列分析結(jié)果，見表3和表4.

表3　溶解氧測(cè)點(diǎn)1對(duì)COD的時(shí)間序列分析函數(shù)

表4　氧化還原位點(diǎn)3對(duì)COD的時(shí)間序列分析函數(shù)

在所研究的污水處理周期中，不同擬合函數(shù)下t檢驗(yàn)的p值取值均為0，即均通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)，進(jìn)一步說(shuō)明了數(shù)據(jù)的擬合是合理的.其中，最大判定系數(shù)R2相應(yīng)的函數(shù)即為出口COD時(shí)間序列分析的最優(yōu)函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步篩選分析，即可得出結(jié)論.

3.3結(jié)果分析

剔除不作討論的鼓風(fēng)機(jī)風(fēng)管壓力和氧化還原點(diǎn)位6指標(biāo)，分析篩選得17個(gè)指標(biāo)下的最優(yōu)時(shí)間序列函數(shù)，如表5所示.

表5　各指標(biāo)對(duì)出口COD的最優(yōu)時(shí)間序列函數(shù)

通過(guò)SPSS分析的結(jié)果，可以看出整體擬合效果較好，判定系數(shù)R2最低為0.44，最高達(dá)0.89,且總體上以三次函數(shù)擬合效果最佳，絕大多數(shù)函數(shù)的擬合優(yōu)度達(dá)到0.75以上.根據(jù)擬合出的最優(yōu)時(shí)間序列函數(shù)，可用曲線擬合方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行客觀的描述.此法相較于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等在非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[12]，可操作更強(qiáng)、約束條件較少、適用范圍更廣.同時(shí)，可調(diào)整輸入指標(biāo)使COD濃度保持在目標(biāo)值上，即預(yù)測(cè)到COD濃度要偏離目標(biāo)時(shí)便可進(jìn)行必要的控制，這對(duì)穩(wěn)定COD數(shù)值在正常范圍內(nèi)、合理有效監(jiān)控污水處理質(zhì)量尤為重要.

4　不同影響因素對(duì)COD的非線性約束

4.1研究思路

我們要探究的是，在污水處理曝氣池過(guò)程中，為使COD的濃度維持在某一固定的水平，該如何對(duì)各個(gè)指標(biāo)濃度進(jìn)行調(diào)節(jié).參照各指標(biāo)關(guān)于出口COD的最優(yōu)時(shí)間序列函數(shù)，引入對(duì)出口COD濃度的目標(biāo)值約束，結(jié)合SQPM非線性規(guī)劃，反復(fù)迭代求解得各指標(biāo)最低濃度限額；最后，分析目標(biāo)約束下，各個(gè)指標(biāo)濃度所能取的最小值，并結(jié)合實(shí)際情況，從而得到目標(biāo)約束下，各個(gè)指標(biāo)濃度對(duì)COD濃度介穩(wěn)作用的取值范圍.

4.2數(shù)據(jù)處理

依據(jù)《中華人民共和國(guó)水污染防治法》所規(guī)定的污水綜合排放標(biāo)準(zhǔn)中COD濃度的排放標(biāo)準(zhǔn)[13]，假使控制COD的取值在35 mg/L的較理想水平.參照關(guān)于出口COD最優(yōu)時(shí)間序列分析的結(jié)果，基于模型建立的合理性和結(jié)論的最優(yōu)化，選擇了SQPM(Sequential Quadratic Programming Method,序列二次規(guī)劃方法)的非線性規(guī)劃算法[14]，通過(guò)一系列的迭代計(jì)算逼近原帶約束非線性規(guī)劃問(wèn)題,使迭代收斂到極值點(diǎn)的各指標(biāo)的最小濃度值.

對(duì)17個(gè)參變量指標(biāo)賦予變量名x1,x2,x3,…,x17，并對(duì)出口COD-y進(jìn)行約束，建立非線性規(guī)劃規(guī)劃模型：

運(yùn)用MATLAB軟件編程[15]，得各個(gè)指標(biāo)符合限制COD濃度所要求的最小值，見表6.

表6　各指標(biāo)約束COD濃度要求的最小值

參照各指標(biāo)約束COD濃度要求的最小值，并結(jié)合不同條件下，各指標(biāo)實(shí)際取值情況，即得維持COD濃度在目標(biāo)值所需的最低條件.同時(shí)，為詳細(xì)探究各指標(biāo)單獨(dú)控制COD濃度大小的作用機(jī)制，可引用多準(zhǔn)則多目標(biāo)水平(MC2)的非線性規(guī)劃[16]理論及研究方法，鑒于文章篇幅有限，不再贅述.

4.3結(jié)果分析

如表6，為限制COD濃度至多達(dá)到35 mg/L其他影響因素必須同時(shí)達(dá)到的最低濃度，如活性污泥濃度1的濃度至少要達(dá)到5.275756568 mg/L，氧化還原點(diǎn)位2的濃度至少要達(dá)到-97.76912439 mg/L等，這里的負(fù)值表示氧氣的消耗量大小，反映該指標(biāo)在污水處理過(guò)程中充當(dāng)氧化劑作用的強(qiáng)度大小.顯然，某些指標(biāo)往往無(wú)法達(dá)到各自的最低濃度，而是本身就存在一個(gè)限額區(qū)間，即最低濃度區(qū)間.這時(shí)，需要聯(lián)系實(shí)際，選擇各指標(biāo)合理的濃度范圍，以保持COD濃度水平穩(wěn)定在正常范圍，保證水源的質(zhì)量和人們身體健康水平.SQPM的非線性規(guī)劃算法通過(guò)一系列的迭代逼近、使迭代收斂到極限值是該算法的亮點(diǎn)，它能很好地解決單準(zhǔn)則多目標(biāo)非線性規(guī)劃問(wèn)題，有較強(qiáng)的可操作性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，但對(duì)多準(zhǔn)則多目標(biāo)問(wèn)題的解決存在一定局限性.

5　結(jié)語(yǔ)

文章針對(duì)活性污泥法污水處理曝氣池過(guò)程中問(wèn)題的優(yōu)化，運(yùn)用多種方法建立模型，使問(wèn)題得到了更加全面的分析.隨著研究的深入以及數(shù)據(jù)的合理化處理,可以直觀、定量的顯現(xiàn)出各影響因子間的關(guān)系和作用機(jī)理.本文也運(yùn)用多種軟件給出各種相關(guān)圖形，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的處理、模型的分析，使結(jié)果更形象易懂.量化處理的不同影響因素與COD濃度的時(shí)間序列延遲關(guān)系和介穩(wěn)性，巧妙地將不同指標(biāo)與COD間的模糊關(guān)系具體化，也為最大效益化利用資源提供了參考；同時(shí)，也警示大眾在城市化和社會(huì)化不斷加劇的社會(huì)現(xiàn)狀下也要注重對(duì)水資源的合理排放處理和生態(tài)可持續(xù)發(fā)展.在大力提高自己生活質(zhì)量的同時(shí)，也要將合理排放和處理水污染作為一種自覺(jué)的行為.

[1]新華網(wǎng).寧夏一家化工企業(yè)向騰格里沙漠非法排污被關(guān)停[EB/OL].http://news.xinhuanet.com/legal/2014-09/09/c_126965852.htm.

[2]2015年安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模模擬題4[EB/OL]. http://zhujm1973.blog.163.com/blog/static/31551355201591310512845/

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[責(zé)任編輯蘇琴]

[責(zé)任校對(duì)黃招揚(yáng)]

Optimization of Aeration Tank Process based on Nonlinear Constrained Wastewater Treatment

GE Fu-ting1, ZHANG Xiu1, WANG Jia-hao2, ZHU Jia-ming1

(1.SchoolofStatisticsandAppliedMathematics,AnhuiUniversityofFinanceandEconomics,Bengbu233030,China；2.SchoolofFinance,AnhuiUniversityofFinanceandEconomics,Bengbu233030,China)

For sewage aeration pool of COD problem in the process of optimization, through quantitative analysis, correlation analysis, variable control method, establishing the principal component analysis, time series analysis and nonlinear prediction, SQPM nonlinear constraint model, got the active mud pollution concentration and the REDOX sites for COD of the impact of time delay, the biggest export COD nonlinear prediction function, the optimal stability for the COD concentration in a certain level of concentration adjustment amount for each indicator, conclusion.

Sewage treatment; COD; Principal component analysis; Time series analysis; Nonlinear prediction; SQPM nonlinear constraints

2016-01-14.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301001)；安徽省創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目(AH201410378258).

葛福婷(1995-)，女，安徽舒城人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生,研究方向：經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì).

朱家明(1973-),男,安徽泗縣人, 碩士,安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)副教授,數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室主任,研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模.

X523

A

1673-8462(2016)02-0056-07