用遞推關(guān)系推導(dǎo)多層介質(zhì)膜中的菲涅爾系數(shù)

孫　堅(jiān)，徐遙先，湯麗麗

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.南京郵電大學(xué) 海外教育學(xué)院，江蘇 南京 210023；3.蘇州科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

用遞推關(guān)系推導(dǎo)多層介質(zhì)膜中的菲涅爾系數(shù)

孫堅(jiān)1，徐遙先2，湯麗麗3

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.南京郵電大學(xué) 海外教育學(xué)院，江蘇 南京 210023；3.蘇州科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

研究多層介質(zhì)膜中菲涅爾系數(shù)的遞推關(guān)系。從理論上對電磁波在多層介質(zhì)膜中傳播時(shí)的菲涅爾系數(shù)（反射系數(shù)和透射系數(shù)）進(jìn)行分析和推導(dǎo)，并將其寫成一個(gè)簡單緊湊的遞推關(guān)系以避免類似在教材中出現(xiàn)繁瑣冗長的多項(xiàng)式。結(jié)果表明，電磁波不管經(jīng)過多少層中間介質(zhì)，菲涅爾系數(shù)都可以統(tǒng)一成一個(gè)簡單的遞推關(guān)系。

菲涅爾系數(shù)；遞推關(guān)系；反射系數(shù)；透射系數(shù)；多層介質(zhì)膜

電磁波在多層介質(zhì)系統(tǒng)傳播時(shí)的菲涅爾系數(shù)（反射系數(shù)和透射系數(shù)）是電磁理論的研究內(nèi)容之一。許多課題譬如分層介質(zhì)中光的傳播特性［1-2］；Goos-H?nchen位移［3］和Imbert-Fedorov位移［4］；多層介質(zhì)膜中的偶極輻射［5-6］、介質(zhì)表面［7］和平面腔［8-9］中的光散射；多層介質(zhì)膜［10-11］、復(fù)合介質(zhì)材料［12-13］之間的Casimir效應(yīng)等都會(huì)直接或間接涉及菲涅爾系數(shù)的計(jì)算。

通常，在計(jì)算少數(shù)幾層介質(zhì)膜的菲涅爾系數(shù)時(shí)，可以用教材介紹的方法直接求解。但是，隨著層數(shù)的增加，這種方法會(huì)因?yàn)槌霈F(xiàn)繁瑣冗長的迭代多項(xiàng)式而變得不實(shí)用［14-15］。因此，如何能簡便的求解更多層復(fù)雜系統(tǒng)的菲涅爾系數(shù)成為了人們的研究課題之一。其中，轉(zhuǎn)移矩陣法［1-4，16］是求解菲涅爾系數(shù)可行的一種方法，但是這種方法對于理論推導(dǎo)、矩陣運(yùn)算和計(jì)算機(jī)編程的要求較高，掌握起來有一定難度。針對這一現(xiàn)狀，筆者從菲涅爾系數(shù)的定義出發(fā)，理論上研究多層介質(zhì)系統(tǒng)的菲涅爾系數(shù)，推導(dǎo)得到一個(gè)簡單緊湊的遞推關(guān)系，并且證明它們的等價(jià)性。結(jié)果表明，電磁波不管經(jīng)過多少層中間介質(zhì)，菲涅爾系數(shù)都可以統(tǒng)一成一個(gè)簡單的遞推關(guān)系。對其進(jìn)行編程，人們可以很方便地計(jì)算得到多層介質(zhì)膜體系任何層的菲涅爾系數(shù)。

1　多層介質(zhì)膜的菲涅爾系數(shù)的理論推導(dǎo)

在真空中，考慮一個(gè)由若干層各項(xiàng)同性、線性介質(zhì)組成的多層介質(zhì)膜系統(tǒng)（0…N≡0/N，最左側(cè)0層和最右側(cè)N層均是真空介質(zhì)），選取其中一部分連續(xù)介質(zhì)層（從左側(cè)J層介質(zhì)和右側(cè)M層介質(zhì)（可簡化為J/M=J…M））作為研究對象，K層表示J和M層之間的某一中間層，如圖1所示。這部分連續(xù)介質(zhì)層的菲涅爾系數(shù)為反射系數(shù)rJ/M和透射系數(shù)tJ/M。設(shè)電磁波沿z方向傳播 （取z方向?yàn)檎较颍?。任一K介質(zhì)層厚度范圍為0≤z≤dK，最外側(cè)層K=0和K=N的坐標(biāo)則分別為-∞≤z≤0和0≤z＜∞。為了強(qiáng)調(diào)中間層的存在，J/M=J…M亦可表示為J/K/M=J…K…M，并且滿足rJ/M=rJ/K/M和tJ/M=tJ/K/M。

圖1　多層介質(zhì)系統(tǒng)，電磁波從左側(cè)的J層介質(zhì)入射，經(jīng)過多層介質(zhì)的傳遞，最后從右側(cè)M層介質(zhì)射出。K表示第J和M層之間的某一中間層

當(dāng)電磁波斜入射到該系統(tǒng)時(shí)，在中間K層介質(zhì)中的局域電場可以表示為

根據(jù)菲涅爾系數(shù)的定義［6］，兩層連續(xù)介質(zhì)組成的介質(zhì)膜的反射系數(shù)r是僅考慮兩層之間分界面處的反射波與入射波的電場振幅的比值，透射系數(shù)t是僅考慮兩層之間分界面處的透射波與入射波的電場振幅比值。

基于定義，可以直接推導(dǎo)多層介質(zhì)膜中的J層和M層介質(zhì)之間菲涅爾系數(shù)rJ/M和tJ/M的遞推關(guān)系。首先，推導(dǎo)電磁波從左側(cè)J層入射到J/M系統(tǒng)（如圖1所示）時(shí)的反射系數(shù)rJ/M。根據(jù)假設(shè)可知，EM-=0，同時(shí)定義J/M系統(tǒng)的反射系數(shù)

然而，當(dāng)電磁波入射到J層和M層介質(zhì)之間某一中間層K層時(shí)，其中一部分可以反射回J層介質(zhì)，還有一部分會(huì)繼續(xù)透射至M層介質(zhì)。因此，rJ/M也可以通過從K層反射回J層介質(zhì)的部分計(jì)算得到。根據(jù)電場在相關(guān)介質(zhì)層之間的邊界條件，并根據(jù)菲涅爾系數(shù)的定義，可以得到電場振幅的關(guān)聯(lián)方程

同樣地，多層J/M介質(zhì)系統(tǒng)的透射系數(shù)tJ/M可以表示為

當(dāng)電磁波傳播到中間層K層時(shí)，有一部分會(huì)透射至M層介質(zhì)，并且振幅EM+和EJ+與（3）-（5）式相關(guān)，于是（3）可以替換成

不難看出，（6）、（9）兩式的遞推關(guān)系很像教材中菲涅爾系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，但這相對于JK/M≡JK…M系統(tǒng)而言，確實(shí)減少了許多冗長的多項(xiàng)式。通常用這種方法可以求出連續(xù)介質(zhì)膜整體和局部分層的菲涅爾系數(shù)。

在描述電磁波在多層介質(zhì)膜結(jié)構(gòu)中的傳播特性的教材中，關(guān)于在兩種相鄰介質(zhì)（如J層和K層）單界面上的反射系數(shù)rJ/K和透射系數(shù)tJ/K的計(jì)算是研究菲涅爾系數(shù)的重要內(nèi)容。當(dāng)具有波矢平行分量k的電場入射到某一介質(zhì)K層時(shí)，它的單位向量可以描述成［9，11］

在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用電場在J層和K層介質(zhì)分界面上的邊界條件，并根據(jù)上述菲涅爾系數(shù)的定義，可以推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的單界面反射和透射系數(shù)。對s波，其反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為

對p波，其反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為

值得一提的是，由于（6）、（9）兩式不涉及具體的介質(zhì)信息，所以菲涅爾系數(shù)可以不依賴于中間層介質(zhì)的選擇和相關(guān)參數(shù)設(shè)定，具有一定的通用性。由于這種方法在計(jì)算某些多層介質(zhì)結(jié)構(gòu)（如多層周期型結(jié)構(gòu)、含缺陷層結(jié)構(gòu)等）時(shí)特別方便，可以將這些定義關(guān)系用于描述電磁波在局域、非局域、不均勻以及非具體的介質(zhì)層組成的多層膜系統(tǒng)傳播的情況。但是，如果電磁波入射到J層介質(zhì)后經(jīng)過的中間層不是K層，而是介于K層和M層之間的某一中間層L層，那么只有證明在這兩種情況下電磁波從M層介質(zhì)出射后的菲涅爾系數(shù)是一樣時(shí)，才可以說這種遞推關(guān)系具有前后一致性（rJ/K/M=rJ/L/M和tJ/K/M=tJ/L/M），即只要從J層入射和從M層介質(zhì)出射，不管這兩層介質(zhì)之間所含是一層還是多層介質(zhì)，都可得到一樣的菲涅爾系數(shù)（rJ/M=rJ/K/M=rJ/L/M和tJ/M=tJ/K/M= tJ/L/M）。

2　多層介質(zhì)膜的菲涅爾系數(shù)的等價(jià)性證明

下面，從理論上證明這種等價(jià)的合理性。首先，為了證明，將（6）式改寫成下列形式：

由于 L層是介于 K層和 M 層之間的某一中間層，參照（16）式，反射系數(shù)可以表示為 rK/M=rK/L/M=其中aK/L=aL/K=tK/LtL/K-rK/LrL/K）。經(jīng)過重新排列，結(jié)合（16）式，計(jì)算得到反射系數(shù)rJ/L和rL/J，進(jìn)而得到

注意到，這里只要使bJ/L=aJ/L等式成立即可完成等價(jià)性的證明。于是，結(jié)合（9）、（16）兩式，可得

經(jīng)過化簡，得到

綜上所述，反射系數(shù)rJ/M=rJ/K/M=rJ/L/M表達(dá)式成立。

同樣地，可以證明透射系數(shù)的等價(jià)性tJ/M=tJ/K/M=tJ/L/M。結(jié)合和（rL/J－rL/K）（1-rK/LrK/Je2iβKdK），可得

進(jìn)行替換，可得

綜上所述證明，經(jīng)過不同中間介質(zhì)層后的菲涅爾系數(shù)中透射系數(shù)具有等價(jià)性。

由于單界面的透射系數(shù)具有對稱性，如（12）和（14）兩式，這表明多層局域介質(zhì)系統(tǒng)的透射系數(shù)也具有相類似的對稱關(guān)系［2，9］

事實(shí)上，由兩個(gè)單界面（J-K和K-M）透射系數(shù)（tJK和tKM）的對稱性和（9）式可知，三層（J-K-M）介質(zhì)系統(tǒng)的透射系數(shù)也是滿足對稱性的。假設(shè)在（9）式中，菲涅爾系數(shù)（tJ/K和tK/M）具有相同的對稱性，（22）式也是成立的。

通過歸納推導(dǎo)過程可知，這個(gè)方程對于局域分層系統(tǒng)是普遍有效的。需要進(jìn)一步說明，由于電磁波未說明一定要從哪個(gè)方向通過多層介質(zhì)膜，這實(shí)際上就保證了通過該多層介質(zhì)系統(tǒng)的透射系數(shù)是具有等價(jià)性的，因此，（22）式也可以適用的。

以此類推，將這個(gè)遞推關(guān)系推廣到無數(shù)多層的情況，就可以不依賴于具體介質(zhì)信息，求解多層結(jié)構(gòu)介質(zhì)膜的菲涅爾系數(shù)（反射系數(shù)和透射系數(shù)）。

3　結(jié)語

筆者從理論上對電磁波在多層介質(zhì)膜中傳播時(shí)的菲涅爾系數(shù)（反射系數(shù)和透射系數(shù)）進(jìn)行分析和推導(dǎo)，將其寫成一個(gè)簡單緊湊的遞推關(guān)系以避免類似原有教材中出現(xiàn)繁瑣冗長的多項(xiàng)式，并證明電磁波不管經(jīng)過多少層中間介質(zhì)，都可以統(tǒng)一成一個(gè)簡單的遞推關(guān)系。遞推關(guān)系的方法大大簡化了教材中的多項(xiàng)式結(jié)果，也不同于較難理解和掌握的轉(zhuǎn)移矩陣法，是求解在多層介質(zhì)膜中傳播時(shí)的菲涅爾系數(shù)的一種行之有效的方法。

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責(zé)任編輯：李文杰

Derivation of the Fresnel coefficients in multi-layered dielectric film by recursive relations

SUN Jian1，XU Yaoxian2，TANG Lili3
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Oversea Education，Nanjing U-niversity of Posts and Telecommunications，Nanjing 210023，China；3.School of Electronic&Information Engineering，SUST，Suzhou 215009，China）

We have investigated the Fresnel coefficients in multi-layered dielectric film by recursion relations. The Fresnel coefficients（reflection coefficients and transmission coefficients）of the electromagnetic wave propagating in multi-layered dielectric film were theoretically analyzed and deduced.They were written in a simple compact form with recursion relations in order to avoid the tedious and lengthy polynomials shown in the textbooks.The results show that the Fresnel coefficients of the electromagnetic wave propagating through arbitrary multiple layers can be unified to a simple recursive formula.

Fresnel coefficients；recursive relations；reflection coefficients；transmission coefficients；multi-layered dielectric film

O441

A

1672-0687（2016）03-0022-05

2015-09-09

江蘇省青年基金項(xiàng)目（BK20130284）；江蘇省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目（13KJB140017）；蘇州科技學(xué)院自然科研基金項(xiàng)目（XKZ201403）；蘇州科技學(xué)院天平學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2015TJGB-09）；蘇州科技學(xué)院2015年科研啟動(dòng)項(xiàng)目

孫堅(jiān)（1978-），男，江蘇蘇州人，副教授，博士，研究方向：凝聚態(tài)物理。