導(dǎo)體的電阻效應(yīng)與超導(dǎo)理論

武圓

（北京人文大學(xué)　理工學(xué)院，北京101300）

導(dǎo)體的電阻效應(yīng)與超導(dǎo)理論

武圓

（北京人文大學(xué)理工學(xué)院，北京101300）

通過對導(dǎo)體電阻成因的分析，得到導(dǎo)體超導(dǎo)態(tài)第一轉(zhuǎn)變溫度需滿足的條件是在該溫度下導(dǎo)體中的電子都應(yīng)處于束縛態(tài)。根據(jù)束縛態(tài)電子在電場中的Stark效應(yīng)，解釋超導(dǎo)態(tài)電子的微觀輸運(yùn)圖像，進(jìn)而得出導(dǎo)體超導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變第一溫度的數(shù)學(xué)表達(dá)式。超導(dǎo)體原子的熱振動（聲子）對原子間的軌域相干有破壞作用，即原子的熱振動也是限制超導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變臨界溫度的因素，經(jīng)過分析得到了關(guān)于原子熱振動的超導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變第二溫度，該轉(zhuǎn)變溫度體現(xiàn)的是原子熱振動對超導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變的制約作用。

超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度；相干；聲子；束縛態(tài)

1911年，昂納斯發(fā)現(xiàn)Hg的電阻在4.2 K時(shí)突降到當(dāng)時(shí)的儀器已無法測出的程度，這是人們第一次觀察到超導(dǎo)現(xiàn)象，這一發(fā)現(xiàn)開拓了一個嶄新的物理領(lǐng)域。1957年，Bardeen、Cooper和Schrieffer［1］提出了著名的BCS理論，該理論雖然僅能對40 K以下的超導(dǎo)體做出較好的解釋，但對超導(dǎo)研究仍然起到了很大的促進(jìn)作用；而在近些年的研究中，新的有影響力的理論或模型未見發(fā)表［2］。1987年初，美國的朱經(jīng)武等和中國科學(xué)院物理研究所的趙忠賢分別發(fā)現(xiàn)了超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度Tc超過90 K的Y-Ba-Cu-O超導(dǎo)體［3］，這雖距離超導(dǎo)的實(shí)用又邁進(jìn)了一步，但仍離室溫超導(dǎo)應(yīng)用很遙遠(yuǎn)，且進(jìn)展緩慢。目前，二硼化鎂的制備和摻雜［4－5］，以及超導(dǎo)帶材的制備等應(yīng)用研究［6－8］比較活躍。

雖然超導(dǎo)的臨界轉(zhuǎn)變溫度Tc不斷提高，但目前在高溫超導(dǎo)方面遇到的困難依然是巨大的［9］?？茖W(xué)界針對超導(dǎo)現(xiàn)象提出的幾十種唯象模型雖能解釋一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，但除“BCS電-聲機(jī)制”外，其他各種交換作用的“激子機(jī)制”“雙極化子模型”“共振價(jià)鍵態(tài)機(jī)制（RVB）”以及“電子-負(fù)u中心模型”等，在用來解釋具體的超導(dǎo)體時(shí)，都會遇到許多問題。這說明人們目前對于高溫超導(dǎo)電性的認(rèn)識在理論上還是初步的，需要進(jìn)行深入探討。本文將對導(dǎo)體的電阻與超導(dǎo)態(tài)進(jìn)行理論研究，并對超導(dǎo)現(xiàn)象進(jìn)行分析。

1　導(dǎo)體的電阻效應(yīng)分析

非超導(dǎo)態(tài)的導(dǎo)體導(dǎo)電是導(dǎo)體中自由電子定向移動的結(jié)果，而導(dǎo)體中產(chǎn)生電阻則是自由電子在定向移動的過程中與原子碰撞的結(jié)果。該碰撞過程可以看作是電子從該原子的無窮遠(yuǎn)處的能級向低能級躍遷并輻射能量的過程，而躍遷到低能級的電子可能會在室溫下擺脫原子核的束縛而再次成為自由電子，繼續(xù)參與導(dǎo)電，并繼續(xù)與下一個原子碰撞輻射能量。圖1所示為導(dǎo)體產(chǎn)生電阻的微觀圖像。

圖1　電子與原子碰撞示意圖

假設(shè)某導(dǎo)體在室溫下原子數(shù)密度為n，半徑為r，且每個原子貢獻(xiàn)s個自由電子，即電子數(shù)密度為sn，則該導(dǎo)體單位體積的電子數(shù)為Q=1·sn（以下討論均為單位體積的導(dǎo)體），電子在導(dǎo)體中定向移動的平均速率為u，電子直徑為2d，則由圖1可知，中心在半徑為（r+d）的折圓管內(nèi)的原子均會與該單電子相碰撞，故單電子與導(dǎo)體原子的碰撞頻率為

假設(shè)每一次電子與原子碰撞使原子輻射的能量都為hν，則單自由電子使原子輻射的功率為Pe=Zhν=（r+d）2unhν，導(dǎo)體中所有的自由電子使導(dǎo)體原子輻射的功率P=QPe=（r+d）2usn2hν。可見，影響材料電阻大小的因素僅為u。過大的u將會導(dǎo)致電子向更低能級躍遷，輻射出更高頻率的能量，使導(dǎo)體出現(xiàn)發(fā)光發(fā)熱的現(xiàn)象，而損失大量的電場能。若輻射的能量又被其他原子吸收，則該原子會產(chǎn)生振動，從而使導(dǎo)體產(chǎn)生熱效應(yīng)。

2　導(dǎo)體電阻隨溫度的變化與導(dǎo)體電子的束縛態(tài)

假設(shè)在某導(dǎo)體中，原子價(jià)電子層電子擺脫原子核束縛所需要的最低能量為Eε，即最外層電子的活化自由能為Eε，則每個價(jià)電子擺脫原子核束縛成為自由電子的概率服從Boltzmann分布，即

其中，T為熱力學(xué)溫度，F(xiàn)（T）為電子在T溫度下擺脫原子核束縛而成為自由電子的概率，K為Boltzmann常數(shù)。

由于束縛態(tài)的電子不參與碰撞，即束縛態(tài)電子對導(dǎo)體電阻效應(yīng)沒有貢獻(xiàn)，這樣，根據(jù)以上分析與（2）式可得，在外電場不變的情況下，導(dǎo)體電阻隨溫度的變化關(guān)系，也即P和溫度的關(guān)系為P（T）=P·F（T），即

由以上分析可知，要使導(dǎo)體產(chǎn)生零電阻效應(yīng)（即導(dǎo)體電阻幾乎為零），應(yīng)使導(dǎo)體在某一溫度T范圍內(nèi)有P（T）≈0，而此時(shí)應(yīng)有F（T）≈0，即導(dǎo)體中原子最外層的電子基本都處于束縛狀態(tài)，導(dǎo)體中幾乎無自由電子與原子碰撞輻射能量。也就是說，超導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變的首要條件是導(dǎo)體中原子的最外層電子處于束縛態(tài)。

功率損耗P（T）也可以使導(dǎo)電材料原子的束縛態(tài)電子變?yōu)樽杂呻娮?，產(chǎn)生的自由電子又可在電場作用下與原子碰撞并輻射功率E（T）。結(jié)合以上分析可知，E （T）應(yīng)是P（T）的函數(shù)，即E（T）也是隨溫度變化的?？傊瑢?shí)際導(dǎo)體材料的電阻效應(yīng)Q（T）主要是P（T）與E（T）的和，即

3　超導(dǎo)態(tài)微觀圖像及材料的超導(dǎo)態(tài)第一臨界轉(zhuǎn)變溫度

3.1Stark效應(yīng)與超導(dǎo)微觀圖像

當(dāng)導(dǎo)體處于超導(dǎo)態(tài)時(shí)，對超導(dǎo)體中導(dǎo)電電子的波函數(shù)的計(jì)算不具有一般性，這主要是因?yàn)槟墚a(chǎn)生超導(dǎo)態(tài)的材料多種多樣，包括單質(zhì)、化合物、合金等，每一種超導(dǎo)材料都對應(yīng)一個不同的超導(dǎo)態(tài)電子的波函數(shù)。雖然如此，但是每一種超導(dǎo)材料都遵循和對應(yīng)著相同的超導(dǎo)原理以及一個基本的微觀超導(dǎo)圖像，比如，當(dāng)氫原子處于基態(tài)時(shí)，若沿水平方向上加上均勻電場ξ，則氫原子基態(tài)電子的運(yùn)動規(guī)律（Stark效應(yīng)）是，在無外加電場時(shí)，氫原子基態(tài)波函數(shù)為其中為Bohr半徑，零級能量為，由參考文獻(xiàn)［10］知且視外加電場為微擾，經(jīng)過計(jì)算［10］可得氫原子基態(tài)波函數(shù)的極化率為，即氫原子基態(tài)波函數(shù)在電場中產(chǎn)生了偏離（如圖2）。此效應(yīng)具有一般性，即其他原子也會產(chǎn)生類似的效應(yīng)。

圖2　氫原子概然半徑偏離示意圖

上述模型中的“原子”，不僅可以表示單質(zhì)原子，也可以推廣為組成超導(dǎo)體的符合布洛赫周期勢場的晶體。為了分析方便，以下分析均以“原子”模型為研究對象。

兩個價(jià)電子層軌域相干的原子處在沿水平方向上的均勻電場ξ中又是怎樣的一種物理圖像呢？價(jià)電子波函數(shù)在電場中出現(xiàn)偏離，會使價(jià)電子在原子軌域做定向移動，且無能量損耗，將該圖像推廣至整個導(dǎo)體，便是導(dǎo)體在束縛態(tài)溫度下的超導(dǎo)微觀圖像，如圖3所示。

可見，所謂的超導(dǎo)態(tài)就是電子處在束縛態(tài)并在電場的作用下在價(jià)電子軌域做定向移動的效應(yīng)，且該定向運(yùn)動過程沒有碰撞等能量損耗。

3.2超導(dǎo)材料的第一臨界轉(zhuǎn)變溫度

由2可知，P（T）≈0時(shí)表示材料的自由電子轉(zhuǎn)變?yōu)槭`態(tài)電子，但因?yàn)闈M足P（T）≈0的P的值很多，所以材料的導(dǎo)電電子轉(zhuǎn)變?yōu)槭`態(tài)電子并不一定表示材料轉(zhuǎn)變成了超導(dǎo)體。假設(shè)P（T）的取值PN滿足數(shù)值大小約等于零的條件，即P（T）=PN≈0，但此時(shí)材料可能并沒有進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)。這是因?yàn)?，盡管PN取值很小，但導(dǎo)電材料依然可以產(chǎn)生一定的能量損耗，且這些能量損耗能使該導(dǎo)電材料中的束縛態(tài)電子變?yōu)樽杂呻娮?，該部分自由電子將繼續(xù)在電場作用下與材料原子碰撞并輻射能量E（T），這些能量與P（T）的累加又破壞了其他電子的束縛態(tài)，從而引發(fā)對材料束縛態(tài)電子的“雪崩”式破壞，即該超導(dǎo)材料在PN取值下不能形成穩(wěn)定的超導(dǎo)態(tài)。

圖3　電子超導(dǎo)態(tài)微觀輸運(yùn)圖像（一維）

因此，P（T）的取值必須進(jìn)行嚴(yán)格的限制，假使在允許范圍內(nèi)，P（T）的取值最大不超過PS時(shí)表示材料進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)，且此時(shí)E（T）=0可以忽略不計(jì)，即導(dǎo)電材料產(chǎn)生的能量損耗幾乎不會對該材料的束縛態(tài)電子產(chǎn)生影響，則在超導(dǎo)態(tài)時(shí)，（4）式可變?yōu)?/p>

M為一受PS和具體材料性質(zhì)影響的無量綱數(shù)，且M∈（0，1），因而ln M也為一受具體材料影響的無量綱數(shù)。當(dāng)（8）式取等號時(shí)，T1即為超導(dǎo)材料的第一臨界轉(zhuǎn)變溫度。

在超導(dǎo)體中，處于原子軌域中的束縛態(tài)電子遵守泡利不相容原理，即在電子層軌域的束縛態(tài)電子最多有兩個，且這兩個電子必須是自旋相反的。當(dāng)有外界強(qiáng)電場或磁場破壞其中一個電子的束縛態(tài)，那么另一個電子擺脫束縛態(tài)成為自由電子的概率服從如（2）式的Boltzmann分布。這也是筆者認(rèn)為實(shí)驗(yàn)觀測發(fā)現(xiàn)磁通量子化中電子是“成對”的原因。

3.3電場對超導(dǎo)的影響

當(dāng)導(dǎo)體處于超導(dǎo)態(tài)時(shí)，沿水平方向加均勻電場ξ，當(dāng)電子由價(jià)電子層趨近原子核方向時(shí)，外加電場對電子做正功，使該價(jià)電子的活化自由能增加

而當(dāng)價(jià)電子遠(yuǎn)離原子核時(shí)，外加電場對價(jià)電子做負(fù)功，使該價(jià)電子的活化自由能減少

從（9）式與（10）式可知，電場對超導(dǎo)體電子做功之和ΔE為0，即ΔE=ΔE++ΔE-=0。

電場使價(jià)電子的活化自由能增加，將維護(hù)電子的束縛態(tài)；而電場使該電子的活化自由能減小，將破壞電子的束縛態(tài)，使束縛態(tài)電子轉(zhuǎn)變?yōu)樽杂呻娮樱@將降低超導(dǎo)轉(zhuǎn)變的臨界轉(zhuǎn)變溫度。取θ=0，由（8）式得

另外，關(guān)于磁場對超導(dǎo)的影響分析與對超導(dǎo)施加電場的分析類似，不再贅述。

4　超導(dǎo)態(tài)第二臨界轉(zhuǎn)變溫度

由以上論述可知，超導(dǎo)態(tài)中原子之間的軌域相干也是導(dǎo)體轉(zhuǎn)變至超導(dǎo)態(tài)的必要條件，而原子的熱振動會破壞原子間的軌域相干。

4.1溫度對原子之間軌域相干的破壞

設(shè)當(dāng)溫度T無限趨于絕對零度時(shí)，導(dǎo)體中兩原子間的相干度為l（即兩相鄰原子間的最大重合度為l，如圖3所示），原子間恢復(fù)力系數(shù)為β，且原子的熱運(yùn)動符合Maxwell-Boltzmann速率分布律，即

其中，m為原子的質(zhì)量，v為原子的熱運(yùn)動速率。

考慮到熱運(yùn)動速率大的原子也會對原子間相干度有更大的影響和破壞作用，故在考慮原子熱運(yùn)動時(shí)使用原子熱運(yùn)動的均方根速率vrms，即

要保證兩個原子之間的軌域相干，則必須使原子在某一溫度T2時(shí)，原子熱運(yùn)動的最大振幅ΔC不大于軌域相干度的一半，即

由于恢復(fù)力系數(shù)β的存在，原子的熱運(yùn)動可看作是原子在平衡位置的簡諧振動，又考慮到原子的每個振動方向上總相當(dāng)于兩個原子相互為相干態(tài)（如圖3所示），故有

由（16）式和（14）式可得該超導(dǎo)體的超導(dǎo)態(tài)第二溫度

導(dǎo)體材料轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)材料還須滿足（17）式的溫度限制，即必須滿足轉(zhuǎn)變溫度Tc=min（T1，T2）。

4.2外應(yīng)力對超導(dǎo)第二臨界轉(zhuǎn)變溫度的影響

當(dāng)某一超導(dǎo)材料中的價(jià)電子處于束縛態(tài)時(shí)，若對該材料沿水平方向施加一外應(yīng)力F，則該固體原子之間沿水平方向上的相干度將增加δF，即在外應(yīng)力F的作用下，固體原子之間沿水平方向的相干度為lF=l+δF。

在維持材料原子相干態(tài)的情況下，原子熱運(yùn)動的最大振幅ΔC在F的作用下可增加到ΔFC，結(jié)合（14）式可得

這將增加超導(dǎo)體的超導(dǎo)第二臨界轉(zhuǎn)變溫度，根據(jù)（16）式和（18）式可得在F的作用下，超導(dǎo)第二臨界轉(zhuǎn)變溫度為

可見，在導(dǎo)體電子為束縛態(tài)條件下，對超導(dǎo)體施加外應(yīng)力將會顯著提高超導(dǎo)臨界轉(zhuǎn)變溫度［9］，但通過該方法也僅能使超導(dǎo)臨界轉(zhuǎn)變溫度提高到超導(dǎo)材料的第一臨界轉(zhuǎn)變溫度。

5　本文的不同認(rèn)識和理解

5.1導(dǎo)體材料原子的熱振動對電阻效應(yīng)的影響

由4中的分析可知，材料原子（或材料晶胞）振動的幅度Δ一般小于等于其原子間相干度l，而原子間相干度一定遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其原子半徑r，即

材料原子（或材料晶胞）的振動幅度Δ相當(dāng)于增加了電子與原子的有效碰撞半徑，即增加了原子的有效碰撞面積，也即增加了電子與原子的碰撞頻率。由（1）式可得

則

又根據(jù)（20）式知

即

可見，材料原子的熱振動效應(yīng)基本不會對電子與原子的碰撞頻率構(gòu)成影響，即導(dǎo)體材料原子的熱振動對電阻效應(yīng)的影響可以忽略。

使材料原子（或材料晶胞）振動的幅度Δ等于其原子間相干度l的溫度為該材料的固-液相變溫度，在此溫度下，材料原子間的相干度極小，原子在材料中具有流動性。根據(jù)（16）式可知一般凝聚體的固-液相變溫度為

一般導(dǎo)體溫度都會小于其固-液相變點(diǎn)的溫度，即實(shí)際材料原子（或材料晶胞）振動的幅度Δ遠(yuǎn)小于其原子間相干度l。導(dǎo)體材料原子的熱振動對電阻效應(yīng)貢獻(xiàn)是極小的。

另外，導(dǎo)體材料的雜質(zhì)與缺陷也是影響電阻效應(yīng)的重要因素，但考慮到本文所討論的材料為理想純凈材料，即沒有雜質(zhì)與缺陷的材料，該類理想材料的電阻效應(yīng)主要由P（T）與E（T）構(gòu)成，且當(dāng)超導(dǎo)材料處于超導(dǎo)溫度范圍內(nèi)時(shí)，該超導(dǎo)體的電阻效應(yīng)是P（T）貢獻(xiàn)的。因此，在超導(dǎo)轉(zhuǎn)變中，材料的電阻會出現(xiàn)一個“驟然變零”效應(yīng)，即材料在超導(dǎo)轉(zhuǎn)變時(shí)電阻效應(yīng)E（T）突然消失。

目前所制備的超導(dǎo)材料已經(jīng)非常接近該理想導(dǎo)體材料，其雜質(zhì)和缺陷引起的電阻效應(yīng)基本可以忽略。

5.2對具有高超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度陶瓷材料的解釋

以前被稱為絕緣體的陶瓷材料，有很多已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)是超導(dǎo)材料。筆者對此現(xiàn)象的解釋是：這些陶瓷材料在較高溫度下便滿足前文所述的所謂超導(dǎo)第一臨界溫度，即超導(dǎo)陶瓷的電子處于束縛態(tài)，當(dāng)溫度繼續(xù)降低時(shí)，陶瓷材料滿足超導(dǎo)第二臨界溫度，即軌域相干。因?yàn)樘沾深惒牧涎趸镩g的作用力比較小，即所謂原子間相干度l較?。ㄎ锢硖匦员憩F(xiàn)為該類材料的延展性較差等），所以，這類材料的超導(dǎo)第一臨界溫度往往大于其超導(dǎo)第二臨界溫度，一個具體的表現(xiàn)是：在對這類超導(dǎo)材料施加外應(yīng)力時(shí)往往能提高其超導(dǎo)第二臨界溫度?？梢姡`態(tài)是材料超導(dǎo)轉(zhuǎn)變的基本條件之一。

6　結(jié)論

根據(jù)本文中所建立的一般導(dǎo)體材料中電子與原子碰撞的物理模型及材料電子在超導(dǎo)態(tài)下的微觀輸運(yùn)模型可得如下結(jié)論。

（1）導(dǎo)體產(chǎn)生的電阻效應(yīng)是自由電子在做定向移動時(shí)與原子碰撞并損失能量的結(jié)果。若輻射的能量被其他原子吸收，會使該原子產(chǎn)生熱運(yùn)動而導(dǎo)致導(dǎo)體發(fā)熱。

（2）材料向超導(dǎo)體轉(zhuǎn)變的條件之一是其原子的最外層電子處于束縛態(tài)。超導(dǎo)體電子輸運(yùn)是基于原子軌域電子在電場中的Stark效應(yīng)，電場對超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度也有影響。

（3）原子的熱振動對超導(dǎo)態(tài)有破壞作用，即熱振動會對超導(dǎo)體臨界轉(zhuǎn)變溫度產(chǎn)生限制，不過可以通過對超導(dǎo)體施加外應(yīng)力來抑制原子的熱振動對超導(dǎo)態(tài)的破壞，這表現(xiàn)為在對超導(dǎo)體施加外應(yīng)力時(shí)，超導(dǎo)轉(zhuǎn)變臨界溫度顯著提高。

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【責(zé)任編輯梅欣麗】

Resistance Effect of Conductors and the Theory of Superconductivity

WU Yuan
（College of Science and Technology，Beijing Humanities University，Beijing 101300，China）

From the analysis of the origin of conductor resistance，it was known that the first transition temperature of a superconductor was such a temperature at which all the electrons in the conductor should be in a bound state.Microscopic transport images of electrons in superconducting state were described by using the Stark effect of atoms'bound electrons in an electric field，and a mathematical expression was then deduced for the first superconducting state transition temperature.The thermal vibration （phonon）of superconductor atoms had a destructive effect on the inter-atom orbital coherence，in other words，the thermal vibration of atoms was another factor restricting the transitional critical temperature of superconducting state.The second superconducting state transition temperature，which was related to atomic thermal vibration，was found by analysis.This temperature reflected the restrictive effect of atomic thermal vibration on superconducting state transition.

superconducting transition temperature；coherence；phonon；bound state

O511+.2

A

2095-7726（2016）03-0015-05

2015-11-07

武圓（1991-），男，河南永城人，研究方向：理論物理。