使用新算法的剪切型子結構振動臺試驗穩(wěn)定性

傅　博， 蔣歡軍

(1. 同濟大學 土木工程學院，上海 200092； 2. 同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

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使用新算法的剪切型子結構振動臺試驗穩(wěn)定性

傅博1, 2， 蔣歡軍1, 2

(1. 同濟大學 土木工程學院，上海 200092； 2. 同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

提出了使用無條件穩(wěn)定顯式Chen-Ricles(CR)積分新型算法的剪切型子結構振動臺試驗方法，包括子結構劃分以及試驗流程圖.通過推導子結構的運動方程進行子結構方法的數值驗證，考慮了兩種不同量級試驗子結構頻率的情況.結果表明：當試驗子結構頻率較小時，子結構方法可以保證穩(wěn)定性和準確性，反之則不能.最后利用離散控制理論推導出子結構方法方框圖的離散閉環(huán)傳遞函數，通過求解傳遞函數的極點位置判斷離散系統的穩(wěn)定性，進一步論證了數值模擬發(fā)現的結果.

子結構； 振動臺試驗； 穩(wěn)定性； 離散控制理論

傳統的抗震試驗方法包括擬靜力試驗、振動臺試驗和擬動力試驗.振動臺試驗通過直接輸入地震動加速度或位移來驅動振動臺，從而可直接研究試驗對象的抗震性能.由于振動臺臺面尺寸和承載力等限制，超高層建筑結構等大型結構必須以很小的縮尺模型進行試驗，而尺寸效應會嚴重影響振動臺試驗結果的準確性.通過引入子結構技術，擬動力試驗將整體結構中較難準確進行數值模擬的部分或構件進行試驗，為試驗子結構，剩余的部分進行數值模擬，為分析子結構，因此擬動力試驗亦被稱作混合模擬試驗.由于數值積分算法、計算機計算效率、作動器性能以及控制等因素的限制，傳統混合模擬試驗加載速率較慢.近年來，由于越來越多的研究評估帶有速度依賴性阻尼器的結構抗震性能，因此傳統的混合模擬試驗已無法滿足其要求而逐漸發(fā)展為實時混合模擬試驗.

實時混合模擬試驗的“實時”要求分析子結構計算得到的位移或者力實時地加載到試驗子結構上，無疑對積分算法的效率提出了很高的要求.在計算時間上，顯式積分算法由于不用迭代明顯優(yōu)于隱式積分算法.然而，傳統的顯式積分算法皆為條件性穩(wěn)定，意味著系統的最高頻率不能太大，否則需要很小的時間步長方可滿足穩(wěn)定性要求.近年出現的新型積分算法如Chen和Ricles提出的CR算法[1]兼具無條件穩(wěn)定和顯式兩種特性，故具有很高的計算效率，非常適合實時混合模擬試驗[2-4].

與傳統混合模擬試驗類似，絕大部分已有實時混合模擬試驗采用作動器作為加載設備，給試驗子結構施加位移，測出恢復力作為反饋，這要求試驗子結構的慣性力相對較小可以忽略.如果試驗子結構慣性力不能忽略時，子結構振動臺試驗(振動臺加載型實時混合模擬試驗)可以準確地反映試驗子結構的慣性力.這種試驗方法尤其適合上部帶有附屬結構或設備(如調諧質量阻尼器(TMD)[5-6]、調諧液體阻尼器(TLD)[7-8])的主體結構，附屬結構和主體結構分別作為試驗子結構和分析子結構.最近，Mosalam和Günay[9]將子結構振動臺試驗方法推廣至評估高壓電立式斷路隔離開關的抗震性能，下部支撐結構和上部絕緣支柱分別作為分析子結構和試驗子結構.同時，子結構振動臺試驗技術還被用于研究土-結構相互作用問題[10-11]，上部結構和下部土體分別作為試驗子結構和分析子結構.此外還有少量關于振動臺和作動器聯動加載型實時混合模擬試驗的研究[12-14].

大部分子結構振動臺試驗研究中分析子結構的最高頻率較小，即便使用條件性穩(wěn)定積分算法(如中心差分法、顯式Newmark算法和線性加速度法)來求解分析子結構運動方程，也無需很小的時間步長來滿足積分算法的穩(wěn)定，故以往研究者鮮有關心積分算法的穩(wěn)定性問題.然而當分析子結構最高頻率較大時，積分算法的選取顯得格外重要.由于CR算法提出的時間不長，有關該算法在子結構振動臺試驗的適用性的研究非常少.Zhu[15]等人研究了使用CR積分算法子結構振動臺試驗方法的穩(wěn)定性，但是該方法的建立基于求解整體結構的運動方程而非求解分析子結構的運動方程，無疑在原理上與子結構方法相悖.

根據上述研究背景，本文首先針對兩層剪切型結構提出了采用CR積分算法的子結構振動臺試驗方法，包括子結構的劃分和試驗的流程圖；基于運動方程進行了子結構方法的數值模擬驗證，結果表明不同量級的試驗子結構的頻率會造成子結構方法不同的穩(wěn)定性；最后，利用離散控制理論進一步論證了數值模擬的結果.

1　試驗方法

1.1子結構的定義

圖1　子結構的定義

1.2試驗流程

根據分析子結構的隔離體受力圖可得到其下一時間步的運動方程

(1)

(2)

(3)

式中：Δt為積分時間步長；αa,1和αa,2為積分參數

(4)

根據式(1)可得分析子結構下一時間步的加速度為

(5)

需要注意的是，式(5)只適用于分析子結構為線彈性時，更一般的情形可以用分析子結構的恢復力Ra,i+1替代kaxa,i+1，式(5)進行相應的修改，在此不再贅述.

求解式(5)仍需要下一時間步的界面力fi+1，可通過試驗子結構(圖2)測得.

圖2中u為絕對位移.對于兩層剪切型結構而言，界面處的位移與分析子結構的位移相同；根據位移協調條件，界面處的位移為絕對位移，而非式(3)計算出的相對位移，絕對位移與相對位移的關系如下：

(6)

綜上可得兩層剪切型結構使用CR算法的子結構振動臺試驗流程圖(圖3).本文所提的試驗流程圖很容易推廣至兩層剪切型結構使用其他顯式積分算法的子結構振動臺試驗方法.

圖2　試驗子結構的加載模式

圖3　兩層剪切型結構使用CR算法子結構振動臺試驗流程

2　子結構方法的數值模擬驗證

由上文可知，界面力在整個試驗過程中起到重要的作用.因此，在子結構方法進行數值模擬驗證時，關鍵在于如何得到較精確的界面力.

根據試驗子結構的隔離體受力圖可以得到界面力的表達式

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將上述方法應用到兩個具有不同量級的試驗子結構頻率的例子驗證時，發(fā)現試驗子結構頻率較小時，子結構方法可以得到穩(wěn)定并較為準確的結果；而當試驗子結構頻率較大時，子結構方法無法得到穩(wěn)定的結果.

2.1頻率較小的試驗子結構

本算例的子結構基本參數為：ma=me=300 kg；ωa=ωe=10 rad·s-1；ξa=ξe=0.02；ka=ke=30 000 N·m-1；ca=ce=120 N·s·m-1；時間步長Δt=0.01 s.ω和ξ分別代表圓頻率和阻尼比.

El Centro NS, 1940地震波作為地震動輸入，同時采用整體結構分析和子結構方法進行分析.整體結構分析也使用CR積分算法，所用的參數與子結構方法相同.兩種方法得到的首層結構位移(分析子結構的位移)對比如圖4所示.

圖4　首層結構位移反應對比

使用歸一化均方誤差來量化子結構方法得到的首層結構位移的精度，定義如下：

(12)

式中：E為誤差；n為采樣點，即總的數值積分步數；下標cm和rm分別為計算模型(computing model)和參考模型(reference model).這里的計算模型和參考模型分別對應的是子結構分析方法和整體結構分析.根據式(12)計算出的誤差值為0.71%，說明子結構方法具有較高的精度.

2.2頻率較大的試驗子結構

與上例相比，本算例試驗子結構的頻率增大100倍，即ωe=1 000 rad·s-1，試驗子結構的剛度和阻尼也相應增大，其余結構參數和時間步長均不變.結果發(fā)現使用子結構方法得不到穩(wěn)定的結果.這表明當試驗子結構頻率較大時，CR積分算法將無法保證其無條件穩(wěn)定性.作者將在下文利用離散控制理論分析論證這一結論.

3　子結構方法的穩(wěn)定性分析

3.1閉環(huán)離散傳遞函數

根據離散控制理論[16]，離散時間系統的穩(wěn)定性可通過其閉環(huán)傳遞函數極點(即分母為0時的根)的位置來判斷.若極點都處于單位圓之上或內部，系統穩(wěn)定;反之，系統不穩(wěn)定.

根據前文所述各個物理量的關系，對時間域下的變量進行Z變換[16]，可得到兩層框架子結構方法方框圖(圖5)，從而可得到系統的閉環(huán)離散傳遞函數.表1列出圖5中所有時域信號對應的Z變換變量.表1中Z變換變量下標acc，disp和vel分別代表加速度、位移和速度.

表1　Z變換

圖5　兩層剪切型結構子結構方法方框圖

從圖5可以看出，該離散系統為單輸入單輸出系統，輸入為地震動加速度，輸出為分析子結構的相對位移.圖5中各個量的關系部分可從公式(1)和(7)得到，其余部分見下面公式：

(13)

(14)

其中，公式(13)和(14)為等效地震力的定義；公式(15)由公式(8)變換順序得到.將式(13)～(15)進行Z變換并聯立，最終可得閉環(huán)離散傳遞函數的表達式：

(16)

式中：Gcl(z)為系統的閉環(huán)離散傳遞函數；G1(z)，G2(z)和G3(z)為由積分算法得到的離散傳遞函數.將公式(1)～(3)進行Z變換并聯立，可以求得傳遞函數G1(z)和G2(z)的表達式；將公式(9)，(10)和(14)進行Z變換并聯立，可以求得傳遞函數G3(z)的表達式

(17)

(18)

(19)

式(17)～(19)分子與分母的系數如下：

將式(17)～(19)帶入公式(16)可得閉環(huán)離散傳遞函數的最終表達式

(20)

式(20)中分子和分母的系數如下：

N3=n1[(me)2n″2-mad″2-med″2]

N2=n0[(me)2n″2-mad″2-med″2]+n1[(me)2n″1-mad″1-med″1]

N1=n0[(me)2n″1-mad″1-med″1]+n1[(me)2n″0-mad″0-med″0]

N0=n0[(me)2n″0-mad″0-med″0]

D4=d2d″2

3.2穩(wěn)定性分析

由公式(20)可看出閉環(huán)離散傳遞函數分母為z的四階表達式，表明系統有4個極點.

當子結構的結構參數及時間步長已知，子結構的積分參數可由公式(4)和(11)求得；從而可求出G1(z)，G2(z)和G3(z)分子和分母的系數；進而可求得閉環(huán)離散傳遞函數最終表達式中分子、分母系數，這樣便可通過極點位置來判斷系統的穩(wěn)定性.

使用第2.1節(jié)的結構參數和時間步長，為進一步論證試驗子結構頻率對離散系統穩(wěn)定性的影響，ωe取10，100和1 000 rad·s-1三個值.圖6顯示離散閉環(huán)傳遞函數極點的位置，可知當ωe取10和100 rad·s-1時，4個極點全都位于單位圓內，表明系統穩(wěn)定；當ωe=1 000 rad·s-1時，極點1位于單位圓外，表明系統不穩(wěn)定.這一結果很好地論證了本文的數值模擬結果.

a ωe=10 rad·s-1

b ωe=100 rad·s-1

c ωe=1 000 rad·s-1

4　結論及展望

(1) 利用離散控制理論可有效地論證本文所提出的子結構方法.

(2) 當試驗子結構頻率相對較小時，使用CR積分算法的子結構振動臺試驗方法能保證其穩(wěn)定性，并且與整體結構分析比較有較高的精度.

(3) 當試驗子結構頻率相對較大時，使用CR積分算法的子結構振動臺試驗方法會失去穩(wěn)定性，仍需要進一步的研究.

(4) 與文獻[2]對比發(fā)現，CR積分算法應用到作動器加載型實時混合模擬試驗和子結構振動臺試驗兩種試驗方法時穩(wěn)定性差異很大.而且后者的穩(wěn)定性分析更加復雜.前者不存在試驗子結構(一般只是結構構件)的頻率大小問題，在沒有時滯時，CR積分算法將會保持其穩(wěn)定性；而對于后者，如果試驗子結構頻率較大時，即便沒有時滯CR算法也會失去穩(wěn)定性.

此外，本文所提出的試驗方法基于一些假定，仍需進一步的試驗驗證.而且試驗成功與否除了取決于積分算法的穩(wěn)定性，還在很大程度上取決于試驗水平和儀器精度等因素.

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Stability of Shear-Type Substructure Shaking Table Testing Using a New Algorithm

FU Bo1, 2, JIANG Huanjun1, 2

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A shear-type substructure shaking table testing (SSTT) method, which includes the substructure partition and the testing flowchart, was proposed using the unconditionally stable explicit Chen-Ricles (CR) new integration algorithm. The substructure method was numerically verified by deducing the equations of motion (EOMs) of the substructures. Two cases with different magnitudes of the frequency for the experimental substructure were considered. The results show that the stability and the accuracy of the substructure method can be guaranteed if the frequency of the experimental substructure is relatively small, and vice versa. Finally, the discrete control theory was applied to deduce the discrete closed-loop transfer function of the block diagram for the substructure method. In addition, the locations of the poles for the transfer function was used to judge the stability of the discrete system so as to further demonstrate the findings from the numerical simulation.

substructure; shaking table testing; stability; discrete control theory

2015-10-30

國家自然科學基金(51478354)

傅博(1990—)，男，博士生，主要研究方向為抗震試驗方法. E-mail:fubo2006_2006@126.com

蔣歡軍(1973—)，男，教授，博士生導師，工學博士，主要研究方向為高層及超高層結構抗震. E-mail:jhj73@#edu.cn

P315.8

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