一種多軸高周疲勞損傷演化方程的封閉解

袁　群，李浩然

(1.安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽　淮南　232001；2.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北　秦皇島　066004)

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一種多軸高周疲勞損傷演化方程的封閉解

袁群1，李浩然2

(1.安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽淮南232001；2.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北秦皇島066004)

損傷力學(xué)法應(yīng)用于疲勞損傷分析被公認(rèn)為非常有前途的研究方法，該方法以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和熱力學(xué)為理論框架推演損傷演化方程，具有確定的物理和力學(xué)意義?？紤]多軸非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)的損傷演化方程并結(jié)合損傷度歷程追蹤標(biāo)定累加計(jì)算方法，導(dǎo)出計(jì)及附加強(qiáng)化效應(yīng)的多軸高周疲勞損傷演化方程的封閉解答，應(yīng)用該解答給出傷演方程中的材料參數(shù)識(shí)別方法。以航空工業(yè)常用金屬材料強(qiáng)化鋁合金LY12CZ的多軸高周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)為算例，驗(yàn)證該封閉解的正確性和材料參數(shù)識(shí)別方法的可行性。

多軸非比例；高周疲勞；損傷演化方程；封閉解；參數(shù)識(shí)別

疲勞是指材料在往復(fù)荷載條件下發(fā)生的一種斷裂失效的物理現(xiàn)象。從外載形式分可將疲勞分為多軸疲勞和單軸疲勞，所謂多軸疲勞是指材料在多向荷載工況下發(fā)生的損傷破壞現(xiàn)象[1]。從疲勞壽命角度而言，疲勞亦可分為低周疲勞和高周疲勞，高周疲勞壽命一般高于10000周次，且受載過程中宏觀上一般為彈性響應(yīng)，宏觀塑性應(yīng)變累積微乎其微，但在細(xì)觀尺度上，應(yīng)力只要超出材料的疲勞極限就會(huì)有微塑性應(yīng)變累積[2-3]。

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，在現(xiàn)在工業(yè)領(lǐng)域，約80%的服役構(gòu)件的失效破壞都是由于疲勞損傷引起的[4]，掘進(jìn)機(jī)、刮板輸送機(jī)、采煤機(jī)等礦山機(jī)械無時(shí)無刻都受疲勞失效的威脅。由于現(xiàn)行的服役構(gòu)件一般需滿足長壽命的使用要求以及復(fù)雜多變的荷載環(huán)境，多軸高周疲勞損傷失效成為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)件的主要失效形式之一。此外，高周疲勞破壞模式一般為準(zhǔn)脆性斷裂，斷裂前兆不是十分明顯，一旦裂紋起始，構(gòu)件即會(huì)全尺寸斷裂，后果十分嚴(yán)重。因此，建立預(yù)測(cè)精度較高的多軸高周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型具有深遠(yuǎn)的工程應(yīng)用價(jià)值。

多軸高周疲勞壽命預(yù)測(cè)理論自上世紀(jì)50年代電液伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)的問世取得了較快發(fā)展，涌現(xiàn)了以應(yīng)力不變量法、臨界面法、細(xì)觀積分法以及損傷力學(xué)法[5-11]135-142等為理論核心的壽命預(yù)測(cè)理論?？偨Y(jié)前人的理論成果和不足，損傷力學(xué)法被公認(rèn)為非常有前途的研究方法，具有確定的物理和力學(xué)意義[12]。

由于多軸高周疲勞具有非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)，這將大大縮短材料的疲勞壽命，因此，一種擬合性較好壽命預(yù)測(cè)方法應(yīng)當(dāng)計(jì)及此種效應(yīng)?？紤]附加強(qiáng)化效應(yīng)的損傷演化方程，結(jié)合損傷歷程追蹤標(biāo)定累加法，實(shí)現(xiàn)傷演方程的解耦計(jì)算，從而導(dǎo)出傷演方程的封閉解，依據(jù)此封閉解給出傷演方程的材料參數(shù)識(shí)別方法。最后，以航空工業(yè)常用金屬材料強(qiáng)化鋁合金LY12CZ多軸高周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)為算例，驗(yàn)證本文導(dǎo)出的封閉解的有效性和材料參數(shù)識(shí)別方法的可行性。

1　多軸高周疲勞損傷演化方程

1.1多軸高周疲勞損傷演化方程的N型描述

文獻(xiàn)[10]135-136為刻畫附加強(qiáng)化效應(yīng)，將修改循環(huán)強(qiáng)度系數(shù)法引入微塑性本構(gòu)關(guān)系，從而構(gòu)建了基于Lemaitre一般意義上的損傷演化方程的應(yīng)力增量描述。易見，傷演方程將計(jì)及多軸非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)。然后，基于損傷歷程等效條件將該應(yīng)力增量描述下的傷演方程改寫了N型描述。N型描述下的傷演方程更易損傷累積計(jì)算和壽命預(yù)測(cè)，體現(xiàn)了疲勞損傷的非線性累積。文獻(xiàn)[10]137-138傷演方程的N型描述為

(1)

(2)

式中：D為損傷內(nèi)變量，N為循環(huán)周次，m為折算載荷譜中加載段個(gè)數(shù)，σi，max、σi，min分別為折算載荷譜加載分段中峰谷點(diǎn)應(yīng)力值，應(yīng)力折算模型為

(3)

Rν=2(1+ν)/3+3(1-2ν)(σm/σeq)2

(4)

式中：σ為折算應(yīng)力；σeq為Von Mises等效應(yīng)力；σ1、σ3為第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力；Rν為三軸應(yīng)力比，ν為材料的泊松比，σm為靜水應(yīng)力，h為裂紋閉合因子，Lemaitre建議h=0.2；P、Q、g均為材料參數(shù)；n為循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)，F(xiàn)為旋轉(zhuǎn)因子，此參量予以刻畫潛在滑移系的開啟度，在無平均應(yīng)力保持下的雙軸正弦波加載下該值為

(5)

式中：λσ為扭拉應(yīng)力幅值比，即λσ=τa/σa，σa為軸向加載幅值，MPa；τa為周向加載幅值，MPa；δ為相位差值。

2　傷演方程的封閉解

2.1封閉解的推導(dǎo)

為獲得雙軸扭拉加載工況，一般采用光滑薄壁圓管試件作為試驗(yàn)素材，在軸向和周向分別施載，如圖1所示。

圖1　扭拉光滑薄壁圓管試件

假如采用正弦波施載，那么在軸向和周向的瞬時(shí)應(yīng)力值分別為

(6)

式中：ω為加載頻率，Hz；δ為相位差值，rad；t為加載時(shí)間，s；σx為任意時(shí)刻軸向應(yīng)力值，MPa；τxy為任意時(shí)刻周向應(yīng)力值，MPa。

(7)

在式(6)加載路徑下，考慮到其加載上半段(|σ1|≥|σ3|，ωt∈[0，π])是主控應(yīng)力為拉應(yīng)力保持，因此特征應(yīng)力幅值為

(8)

(9)

(10)

對(duì)于加載下半段(|σ1|<|σ3|，ωt∈[π，2π])是主控應(yīng)力為壓應(yīng)力保持，考慮到拉壓異性，此時(shí)特征應(yīng)力幅值為

(11)

傷演方程(11)采用特征應(yīng)力幅值表述形式為

(12)

特殊的，對(duì)于循環(huán)應(yīng)力比R=-1單軸對(duì)稱拉壓疲勞，由式(12)可知，其損傷演化模型為

(13)

假定試件初始損傷狀態(tài)為理想無損，臨界斷裂判據(jù)為受損微元體截面完全喪失承載能力，那么初邊值條件為D0=0，Dc=1。由式(13)可得單軸對(duì)稱拉壓加載工況條件下的疲勞壽命預(yù)測(cè)封閉解為

(14)

采用損傷歷程標(biāo)定累加計(jì)算方法可得其封閉解答為[13]

(15)

其中，Nf為疲勞壽命預(yù)測(cè)值封閉解?？紤]到對(duì)于某一確定的加載路徑而言，旋轉(zhuǎn)因子F為確定參量，因此可導(dǎo)出基于傷演模型式(12)和單軸對(duì)稱拉壓加載工況條件下的疲勞壽命封閉解答的多軸高周疲勞壽命預(yù)測(cè)值封閉解為

Nf=

(16)

3　傷演方程材料參數(shù)識(shí)別

3.1比例加載路徑下的材料參數(shù)確定

所謂比例加載，是指在任意時(shí)刻周向瞬時(shí)應(yīng)力值與軸向瞬時(shí)應(yīng)力值之比為常量，即比例系數(shù)K=τxy/σx為常量。由于在比例施載時(shí)，材料無附加強(qiáng)化行為，此時(shí)F=0?？紤]到材料的疲勞屬性一般以應(yīng)力比R=-1的載荷路徑(見圖2)的S-N曲線形式給出。因此文獻(xiàn)[10]137-138根據(jù)該載荷工況條件下疲勞壽命封閉解并結(jié)合最小二乘法給出比例荷載條件下的材料參數(shù)識(shí)別模型為

(17)

式中：j表示試驗(yàn)組數(shù)；Nf，i表示各組試驗(yàn)的試件中值疲勞壽命；σa，i表示各組試驗(yàn)施載應(yīng)力幅值。通過模型式(17)可識(shí)別材料參數(shù)P、Q以及微塑性循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)n。

t/s圖2　單軸對(duì)稱拉壓施載路徑

3.2非比例加載路徑下材料參數(shù)確定

當(dāng)雙軸非比例施載時(shí)，相位差值δ不為0，比例系數(shù)K不唯一。特殊的，對(duì)于相位差值為90°的加載路徑而言，如圖3所示。

圖3　雙軸圓形加載路徑

在該加載路徑下，材料的多軸疲勞壽命預(yù)測(cè)值由前述推演可知其封閉解為

Nf，90=

(18)

(19)

式中：Nf，90為圓形加載路徑下材料疲勞壽命封閉解；sign(x)為自定義符號(hào)函數(shù)

(20)

為獲取材料參數(shù)g，可通過多組某一雙軸對(duì)稱圓形加載路徑獲得材料的疲勞中值壽命N90，并假定封閉解答對(duì)該加載路徑下的壽命預(yù)測(cè)無任何擬合誤差，即此時(shí)

N90=Nf，90

(21)

代入式(3-2)即可獲得材料參數(shù)g，即

(22)

其中：gc表示各組疲勞試驗(yàn)獲取的g參數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出的是，對(duì)于光滑薄壁圓管拉壓試件而言，由于存在徑向應(yīng)力遞度，試件的臨界受損單元不一定位于薄壁試件的外表面，需要綜合考慮旋轉(zhuǎn)因子F以及特征應(yīng)力幅值相對(duì)大小。至此本文通過傷演模型式(1)的封閉解獲得了傷演模型中所有材料參數(shù)。這種材料識(shí)別方法是否可行，有待下文繼續(xù)論證。

4　封閉解的有效性驗(yàn)證

4.1鋁合金LY12CZ模型參數(shù)識(shí)別

為驗(yàn)證本文導(dǎo)出的封閉解的有效性以及基于該封閉解提出傷演模型材料參數(shù)識(shí)別方法的可行性，本文選取航空工業(yè)常用金屬材料強(qiáng)化鋁合金LY12CZ的多軸高周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)加以驗(yàn)證。鋁合金LY12CZ基本力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1　鋁合金LY12CZ基本力學(xué)性能參數(shù)表[14]

文獻(xiàn)[10]139-140根據(jù)單軸拉壓疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)并結(jié)合材料參數(shù)識(shí)別模型式(17)將比例施載路徑下的材料參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別，獲得材料參數(shù)如表2所示，根據(jù)該參數(shù)獲得LY12CZ理論S-N曲線如圖4所示。

表2　鋁合金LY12CZ比例施載路徑材料參數(shù)

圖4　LY12CZ鋁合金理論S-N曲線方程

為進(jìn)一步獲得在非比例加載路徑下的材料參數(shù)g，本文選取文獻(xiàn)[10]140-141中LY12CZ在扭拉應(yīng)力比λσ=0.5的圓形加載路徑下的多軸高周疲勞數(shù)據(jù)對(duì)該參量進(jìn)行識(shí)別，其詳細(xì)疲勞壽命統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以及通過封閉解式(16)獲得的g參數(shù)分別如表3所示和表4所示。

表3　LY12CZ鋁合金圓形加載路徑疲勞壽命統(tǒng)計(jì)表

表4　g參數(shù)計(jì)算

根據(jù)表4的計(jì)算結(jié)果以及本文提出的傷演模型材料參數(shù)識(shí)別方法，最終獲得的全部傷演模型材料參數(shù)如表5所示。

表5　LY12CZ鋁合金疲勞傷演模型材料參數(shù)

4.2鋁合金LY12CZ疲勞壽命預(yù)測(cè)效果分析

本文基于文獻(xiàn)[10]136-137中計(jì)及非比例附加強(qiáng)化效應(yīng)的傷演模型并結(jié)合損傷度歷程追蹤標(biāo)定累積法獲得其封閉解析解，為分析該解答應(yīng)用于多軸高周疲勞中的預(yù)測(cè)效果，采用該解答對(duì)鋁合金LY12CZ所有多軸加載路徑進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果如表6所示。

表6　LY12CZ鋁合金理論疲勞壽命與試驗(yàn)值對(duì)比

注：*為疲勞裂紋起始于試件內(nèi)表面

由表6可知，該封閉解對(duì)LY12CZ鋁合金的多軸高周疲勞壽命預(yù)測(cè)效果均在3倍誤差帶以內(nèi)，與試驗(yàn)吻合較好，這種誤差分布與文獻(xiàn)[10]140-141利用數(shù)值解法基本一致，這也說明本文利用損傷度歷程追蹤標(biāo)定累加法對(duì)文獻(xiàn)[10]136-137的傷演模型進(jìn)行解耦計(jì)算是可行的。應(yīng)當(dāng)指出的是，本文導(dǎo)出的封閉解答不考慮高周疲勞裂紋擴(kuò)展壽命，這主要是由于對(duì)于無類裂紋缺陷試件其裂紋萌生壽命占據(jù)全壽命的主要部分，甚至高達(dá)90%以上[15]。

5　結(jié)論

1) 本文利用損傷度歷程追蹤標(biāo)定累加法對(duì)文獻(xiàn)[10]136-137的傷演模型進(jìn)行解耦計(jì)算，導(dǎo)出了該傷演模型的封閉解答的解析解；

2) 基于文獻(xiàn)[10]136-137中的傷演模型封閉解答的解析解，建立了該傷演模型新的模型材料參數(shù)識(shí)別方法；

3) 利用已有的強(qiáng)化鋁合金LY12CZ多軸高周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)模型材料參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別，驗(yàn)證了本文導(dǎo)出的封閉解答的正確性以及材料參數(shù)識(shí)別方法的可行性。

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(責(zé)任編輯：何學(xué)華，吳曉紅)

A Closed Form Solution of Damage Evolution Equation about Multiaxial High Circle Fatigue

YUAN Qun1, LI Hao-ran2

(1.School of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan, Anhui 232001, China；2. School of Mechanical Engineering ,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei 066004, China)

The damage mechanics method applied to the analysis of fatigue damage is recognized as the most promising method of research. The method deduces damage evolution equation based on continuum mechanics and thermodynamics and nd it has a certain physical and mechanical meaning. The accumulated calculation method is demarcated by considering the damage evolution equation of multiaxial nonproportional additional hardening effect and tracing the damage process and the closed form solution of damage evolution equation about multiaxial high circle fatigue of additional hardening effect is exported. Material parameter identification method of damage evolution equation is given by applying the solution. The correctness of the closed form solution and the feasibility of material parameter identification method are verified with the multiaxial high cycle fatigue test data of LY12CZ aluminium alloy used in aviation industry being the example.

multiaxial nonproportional; high circle fatigue; damage evolution equation; closed-form solution; parameter identification

2015-06-28

袁群(1989-)，女，安徽合肥人，在讀碩士，研究方向：機(jī)械工程。

TH115

A

1672-1098(2016)03-0047-06