利用EM算法估計(jì)壽命模型中的參數(shù)

郝玉梅

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710126)

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利用EM算法估計(jì)壽命模型中的參數(shù)

郝玉梅

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710126)

針對壽命模型中未知參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜度較高，計(jì)算量較大這一問題提出了一種EM算法。通過引用了相關(guān)壽命模型，采用混合高斯分布的期望最大化算法(EM)，對壽命中的未知參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并利用仿真數(shù)據(jù)對不同時(shí)間段的壽命預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，證明了利用EM算法估計(jì)參數(shù)可減少計(jì)算量，降低了參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜度。

EM算法；參數(shù)估計(jì)；引用模型

近年來，國內(nèi)外對參數(shù)估計(jì)問題作出了一系列研究，也取得了不容忽視的進(jìn)步，但復(fù)雜度也在逐步提升[1-3]。這就需要對參數(shù)估計(jì)進(jìn)行進(jìn)一步研究，以提高利用效率[4]。張宏東[5]對EM算法及其應(yīng)用給出了詳細(xì)的介紹，其中混合高斯分布的EM算法至關(guān)重要，為本文提供了一定的理論依據(jù)。本文在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上給出了壽命預(yù)測模型。利用該文獻(xiàn)中建立的模型，通過EM算法估計(jì)了模型中的未知參數(shù)，與相關(guān)文獻(xiàn)對比了預(yù)測壽命的結(jié)果，證明了所提方法的有效性。

1　引用模型

設(shè){X(t),t≥0}表示系統(tǒng)的基本退化過程，假定初始值X(0)已知，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中，該系統(tǒng)有兩種可能的狀態(tài):工作狀態(tài)和存儲(chǔ)狀態(tài)[6-7]。在工作狀態(tài)其間，系統(tǒng)會(huì)受到壞境和其他因素的影響[8]。所以，假定系統(tǒng)在工作狀態(tài)的退化率比存儲(chǔ)狀態(tài)的退化率高是合理的。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，設(shè)系統(tǒng)的操作狀態(tài)集合Φ={1,2}，其中1表示工作狀態(tài)，2表示存儲(chǔ)狀態(tài)，設(shè)v:[0,∞]→Φ是確定性分段連續(xù)函數(shù)，所以v(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)的操作狀態(tài)。退化率函數(shù)λ:Φ→R+，故λ(v(t))表示系統(tǒng)在t時(shí)刻的退化率[9-10]。

根據(jù)以上情況描述的退化過程模型如下

(1)

其中，σ是擴(kuò)散參數(shù)；{B(t),t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)過程。

下面估計(jì)和預(yù)測系統(tǒng)的RL主要根據(jù)觀測信息。觀察信息包括兩方面，退化數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)移時(shí)間和轉(zhuǎn)移次數(shù)。設(shè)在離散檢測點(diǎn)0=t0

2　EM算法估計(jì)參數(shù)

設(shè)X={x0,x1,…,xn}為觀察數(shù)據(jù)，為將問題轉(zhuǎn)換為帶有缺失數(shù)據(jù)的問題，引入分量Z={z1,z2,…,zn}，其中，zi表示Xi來自混合成分中的某一個(gè)，Xi|zi=1～f(xi)，Xi|zi=0～g(xi)，且P(Zi=1)=p，其中

(2)

則完全數(shù)據(jù)Y=(X,Z)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是

(3)

E步

(4)

M步：對式(4)兩邊求導(dǎo)

最后獲得如

(5)

3　實(shí)驗(yàn)對比

從圖1中可看出，仿真后的退化數(shù)據(jù)呈上升趨勢。可以發(fā)現(xiàn)，基于歷史退化數(shù)據(jù)是計(jì)算設(shè)備剩余壽命的基礎(chǔ)。圖2和圖3分別是當(dāng)前時(shí)刻為200 h和2 000 h時(shí)，經(jīng)過仿真后得到的剩余壽命分布圖，從圖中可獲得設(shè)備剩余壽命的走向趨勢，還可發(fā)現(xiàn)隨著隨著設(shè)備的剩余壽命的增加，P(Si≤si|X)的值趨于1。圖4是文獻(xiàn)[5]中第100個(gè)檢測點(diǎn)的剩余壽命分布圖。將圖2、圖3與圖4進(jìn)行對照，因?yàn)槲墨I(xiàn)[5]中所使用的檢測數(shù)據(jù)是條件檢測點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而本文所用的數(shù)據(jù)是檢測時(shí)間，所以存在時(shí)間差，但分布圖的總體趨勢一致。當(dāng)前時(shí)刻為2 000 h，圖3和圖4的中位數(shù)相同，這說明本文所用的方法預(yù)測剩余壽命是有效的，且相對文獻(xiàn)[1]的方法簡單易于掌握。

圖1　設(shè)備的檢測數(shù)據(jù)

圖2　當(dāng)前時(shí)刻為200 h設(shè)備的剩余壽命分布

圖3　當(dāng)前時(shí)刻為2 000 h設(shè)備的剩余壽命分布

圖4　文獻(xiàn)中第100個(gè)檢測點(diǎn)的剩余壽命分布

4　結(jié)束語

本文主要討論了EM算法對未知參數(shù)的估計(jì)問題，通過利用混合高斯分布的EM算法估計(jì)壽命模型中的未知參數(shù)，了解了EM算法在不完全數(shù)據(jù)下進(jìn)行參數(shù)極大似然估計(jì)的具體實(shí)施方法和在處理缺失數(shù)據(jù)問題中的優(yōu)勢。其自身也有諸多缺點(diǎn)，比如在有些估計(jì)中計(jì)算E步和M步較為困難，且可能發(fā)生收斂速度慢等問題，但隨著時(shí)代的進(jìn)步，會(huì)對EM算法進(jìn)行更深入的研究，EM算法會(huì)得到進(jìn)一步的改進(jìn)。

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[9]茹正亮,高安力.EM算法在不完全數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用[J].南京工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009(4):9-12.

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Parameters for the Lifetime Estimating Model by EM Algorithm

HAO Yumei

(School of Mathematics and Statistics, Xidian University, Xi’an 710126, China)

A new EM algorithm is proposed to estimate the complexity and the computational complexity of the unknown parameters in the lifetime model. Firstly, the related life model is introduced, and the unknown parameters of the lifetime of the EM are estimated by using the expectation maximization algorithm (EM). Finally, the prediction results are compared with the results of the different time periods.

EM algorithm; parameter estimation; reference model

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.08.020

2015-11-19

郝玉梅(1989-)，女，碩士研究生。研究方向：健康診斷和壽命預(yù)測。

TP301.6

A

1007-7820(2016)08-068-03