功能梯度板的振動(dòng)功率流特性分析

張　玲， 朱　翔， 李天勻， 殷學(xué)吉

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢　430074)

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功能梯度板的振動(dòng)功率流特性分析

張玲， 朱翔， 李天勻， 殷學(xué)吉

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢430074)

根據(jù)功能梯度復(fù)合材料矩形板的基本動(dòng)力方程，基于模態(tài)疊加法求出簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷作用下功能梯度板橫向振動(dòng)位移，結(jié)合結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流方程，研究功能梯度材料矩形板的振動(dòng)及輸入和傳播功率流特性。算例中，首先計(jì)算功能梯度板固有頻率，并與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了算法的準(zhǔn)確性。然后研究了功能梯度板輸入功率流特性，討論了不同梯度指數(shù)對(duì)輸入功率流特性的影響。并通過(guò)可視化方法計(jì)算得到了功率流在板中的傳播特性，通過(guò)功率流矢量圖和流線圖描述了功能梯度板。

功能梯度；矩形板；振動(dòng)功率流；模態(tài)疊加

功能梯度材料(FGM)是一種新型復(fù)合材料，在材料的制備過(guò)程中通過(guò)連續(xù)地控制各組分含量的分布, 使材料宏觀特性在空間位置上呈現(xiàn)梯度變化, 從而滿足結(jié)構(gòu)元件不同部位對(duì)材料使用性能的不同要求, 達(dá)到優(yōu)化結(jié)構(gòu)整體使用性能的目的。

功能梯度材料的設(shè)計(jì)理念是日本科學(xué)家于20世紀(jì)80年代末針對(duì)航天技術(shù)中出現(xiàn)的高落差溫度現(xiàn)象提出的。盡管功能梯度材料的研究始于緩和熱應(yīng)力，但鑒于功能梯度材料的特點(diǎn)，這一概念逐漸被應(yīng)用于其他功能材料的構(gòu)思和研究中，在航天、能源、光學(xué)、化學(xué)和生物醫(yī)學(xué)工程等重要領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用與發(fā)展[1]。

大部分有關(guān)功能梯度材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性研究集中在熱應(yīng)力、強(qiáng)度、彎曲、穩(wěn)定性等方面[2-3]，也有許多學(xué)者在功能梯度材料結(jié)構(gòu)單元的振動(dòng)與聲學(xué)特性上開(kāi)展了研究工作。曹志遠(yuǎn)等[4]在平板理論假設(shè)的基礎(chǔ)上，將原始的三維變系數(shù)控制方程轉(zhuǎn)變?yōu)楦飨虍愋远S常系數(shù)方程，得到功能梯度矩形板的基本動(dòng)力方程。徐步青等[5]利用模態(tài)疊加法得出無(wú)限障板中功能梯度材料矩形板的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓近似解析解。姚熊亮等[6]基于經(jīng)典殼體理論研究了熱環(huán)境下流場(chǎng)中功能梯度圓柱殼聲輻射特性。楊智勇等[7]基于三維彈性理論采用插值矩陣法推導(dǎo)功能梯度材料矩形板位移、應(yīng)力場(chǎng)的半解析解。

振動(dòng)功率流是從能量的觀點(diǎn)研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)和噪聲問(wèn)題，它同時(shí)考慮到了傳到結(jié)構(gòu)上的力和速度兩個(gè)量值。PANG等[8]通過(guò)對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果二次開(kāi)發(fā)，以接觸單元模擬呼吸裂紋板研究其諧振激勵(lì)下輸入功率流特性以及超諧共振現(xiàn)象。薛開(kāi)等[9]考慮板的橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，采用改進(jìn)Fourier級(jí)數(shù)方法對(duì)任意彈性邊界條件下的中厚矩形板進(jìn)行振動(dòng)功率流分析。楊念等[10]根據(jù)波函數(shù)法基于間接Trefftz法研究對(duì)薄板結(jié)構(gòu)中頻振動(dòng)功率流問(wèn)題進(jìn)行研究。朱翔等[11]基于有限元法對(duì)裂紋損傷結(jié)構(gòu)的功率流進(jìn)行可視化研究，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)表面能量分布、傳播以及在裂紋位置周?chē)姆植嫉目梢暬?/p>

本文在功能梯度材料矩形板基本動(dòng)力方程基礎(chǔ)上，基于模態(tài)疊加法求得簡(jiǎn)諧激勵(lì)下矩形板的橫向振動(dòng)位移，結(jié)合振動(dòng)功率流公式，得出功能梯度材料矩形板的振動(dòng)功率流特性。

1　功能梯度矩形板基本動(dòng)力方程

功能梯度矩形板的基本動(dòng)力方程為(坐標(biāo)系見(jiàn)圖1)

(1)

圖1　功能梯度板Fig.1 FGM plate

對(duì)于剪切彈性模量，功能梯度板考慮為非均勻各向同性材料，所以滿足方程：

(2)

2　功能梯度矩形板結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流分析

2.1振動(dòng)功率流概念

所謂功率即是單位時(shí)間內(nèi)所做的功，輸入該結(jié)構(gòu)瞬時(shí)功率用公式表示為

Pi=FiVi

(3)

按時(shí)間的平均功率流要比瞬時(shí)功率重要的多，故有

(4)

還可以表示為：

(5)

式中：F和V均為激勵(lì)和速度響應(yīng)的復(fù)數(shù)表示形式。

能量輸入到板結(jié)構(gòu)后，會(huì)在板中傳播即為傳播功率流。研究實(shí)際振動(dòng)結(jié)構(gòu)時(shí)，往往取一段時(shí)間內(nèi)通過(guò)板的橫截面的平均功率，其較瞬時(shí)功率更能反映結(jié)構(gòu)的能量強(qiáng)度。該時(shí)均功率即為穩(wěn)態(tài)功率流強(qiáng)度：

Ix(t)=-(ω/2)Im(Nxu*+Nxyv*+

(6a)

Iy(t)=-(ω/2)Im(Nyv*+Nyxu*+

(6b)

式中：Nx、Ny、Nxy和Nyx為面內(nèi)的薄膜力，Nxy=Nyx；Qx和Qy為橫向剪力；Mx和My為彎矩；Mxy和Myx為扭矩，Mxy=Myx；u、v和w分別為沿x、y和z軸的位移；θx和θy分別為繞x和y軸的轉(zhuǎn)角。

2.2簡(jiǎn)諧激勵(lì)力下功能梯度板功率流分析

假設(shè)功能梯度板上一點(diǎn)受有集中簡(jiǎn)諧力，則外載為

F(x,y,t)=F0δ(x-x0)δ(y-y0)ejωt

(7)

式中:F0為載荷的幅值，(x0,y0)為載荷作用位置，ω為載荷的激勵(lì)圓頻率，δ為Delta函數(shù)。

由式(1)和(2)不難發(fā)現(xiàn)，D≡Dxy+2Dk。則式(1)可寫(xiě)成

(8)

式(1)的穩(wěn)態(tài)解為

(9)

為簡(jiǎn)單計(jì)算，本文采用四邊簡(jiǎn)支的邊界條件。則式(9)中功能梯度板的位移振型函數(shù)、第(m,n)階廣義質(zhì)量、固有頻率分別為

(10a)

(10b)

(10c)

式中:a、b為功能梯度板的長(zhǎng)、寬，m、n為矩形板彎曲振動(dòng)的振動(dòng)階次。

基于Kirchoff理論，式(6)可化簡(jiǎn)為[10]：

(11a)

(11b)

上式各項(xiàng)為：

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

(12e)

(12f)

(12g)

結(jié)合式(9)、(11)、(12)即可得到功能梯度板中的傳播功率流。得到板中不同位置的功率流后，即可通過(guò)可視化方法，得到功能梯度板中的功率流矢量圖和流線圖[11]。

3　算例分析

3.1功能梯度板模態(tài)分析

功能梯度矩形板考慮板長(zhǎng)a=1 m，寬b=0.8 m，厚h=0.01 m，材料的材料參數(shù)(彈性模量、密度、泊松比等)沿厚度方向以冪律變化，溫度不變。本文考慮陶瓷—金屬功能梯度材料矩形板，其材料參數(shù)按如下規(guī)律變化[2,12]：

(13)

式中：Xm、Xc為金屬和陶瓷的材料參數(shù)，k為梯度指數(shù)?？紤]Al/Al2O3功能梯度材料，則彈性模量Em=70 GPa，Ec=380 GPa，密度分別為ρm=2 707 kg/m3和ρc=3 800 kg/m3，泊松比νm=νc=0.3，結(jié)構(gòu)阻尼η=0.001，k=1(如無(wú)特殊說(shuō)明梯度指數(shù)均取此值)。

表1給出了功能梯度矩形板前十階固有頻率，同時(shí)在ANSYS中采用層合板模型模擬功能梯度板進(jìn)行模態(tài)分析，與本文理論解對(duì)比分析。可以看出，本文理論解與數(shù)值解吻合較好，但是理論解計(jì)算出各階固有頻率大于ANSYS中的數(shù)值解，這是因?yàn)閿?shù)值解采用SHELL181單元考慮了剪切變形，而理論解基于薄板理論做出適當(dāng)簡(jiǎn)化，兩者存在一定誤差，但誤差在可接受范圍。表2給不同梯度指數(shù)下功能梯度材料矩形板的前十階固有頻率。可以看出隨著梯度指數(shù)增大，功能梯度板剛度增大，各階固有頻率增大。

3.2功能梯度板輸入功率流分析

基于式(5)計(jì)算輸入到結(jié)構(gòu)中的功率流，并得到無(wú)量綱化的輸入功率流隨激勵(lì)頻率的變化的曲線。圖2給出了點(diǎn)力作用在板中(0.5 m，0.4 m)處功能梯度材料矩形板振動(dòng)功率流曲線。可見(jiàn)輸入功率流的大小與激勵(lì)頻率緊密相關(guān)，在某些頻率附近出現(xiàn)峰值，這些峰值頻率分別與功能梯度板的固有頻率對(duì)應(yīng)。其中力的幅值為F0=1 N，Lw=10lg(P/P0),P0=1×10-12W。

表1　功能梯度矩形板板固有頻率

表2　不同梯度指數(shù)功能梯度板固有頻率

圖2　功能梯度板輸入功率流曲線Fig.2 The input power flow of a FG plate

圖3給出不同梯度指數(shù)下功能梯度材料矩形板輸入功率流隨激振頻率變化的曲線。從圖3可知，隨著梯度指數(shù)增加，輸入功率流曲線各峰值向高頻偏移，且隨著頻率增加偏移更大。這是由于梯度指數(shù)的增大使得板的彎曲剛度變大，固有頻率升高，從而使板輸入功率流峰值頻率向高頻移動(dòng)。

圖3　不同梯度指數(shù)功能梯度板輸入功率流曲線Fig.3 The input power flow of FG plates with different gradient indexes

3.3功能梯度板中功率流傳播特性分析

基于式(11)計(jì)算板結(jié)構(gòu)中的傳播功率流，圖4給出了功能梯度板的在486 Hz激勵(lì)下功率流矢量圖和流線圖，可以看出能量在結(jié)構(gòu)中的流動(dòng)特性，并能識(shí)別振源的位置和振動(dòng)能量的傳播路徑。

圖4　下功能梯度板功率流矢量圖和流線圖(理論解)Fig.4 The power flow vector and streamslice plot of a FG plate for theoretical solution

為驗(yàn)證本文理論計(jì)算的準(zhǔn)確性，同時(shí)基于有限元法，在ANSYS中計(jì)算了功能梯度板的功率流，并后處理得到該頻率下功率流矢量圖和流線圖，如圖5所示。分別對(duì)比圖4和圖5中的矢量圖和流線圖，可以看出理論解計(jì)算結(jié)果與有限元解計(jì)算結(jié)果吻合很好，證明了本文理論計(jì)算分析的準(zhǔn)確性。

圖5　功能梯度板功率流矢量圖和流線圖(有限元解)Fig.5 The power flow vector and streamslice plot of a FG plate in by FEM

圖6　不同頻率下功能梯度板功率流流線圖Fig.6 The power flow chat and streamslice plot of a FG plate under frequency 912 Hz

為進(jìn)一步了解功能梯度板振動(dòng)功率流特性，圖6給出不同激勵(lì)頻率下的功率流矢量圖和流線圖，可以看出，由于激勵(lì)頻率變化，在912 Hz激勵(lì)時(shí)，功能梯度材料板中出現(xiàn)了能量漩渦，但是激勵(lì)點(diǎn)的位置仍然可以清晰的辨識(shí)。結(jié)合功率流矢量圖和流線圖，能較好的識(shí)別功能梯度板結(jié)構(gòu)的能量源、能量傳播路徑。

4　結(jié)　論

本文從功能梯度材料矩形板基本動(dòng)力方程出發(fā)，推導(dǎo)得到簡(jiǎn)諧激勵(lì)下四邊簡(jiǎn)支功能梯度矩形板的振動(dòng)穩(wěn)態(tài)解，結(jié)合振動(dòng)功率流表達(dá)式，得到功能梯度矩形板輸入功率流曲線、功率流矢量圖和流線圖。通過(guò)研究功能梯度矩形板功率流特性，得到能量在結(jié)構(gòu)中的傳播特性，為功能梯度材料結(jié)構(gòu)振動(dòng)及噪聲控制、識(shí)別結(jié)構(gòu)聲源及主要結(jié)構(gòu)聲傳遞路徑提供理論依據(jù)。

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Vibration power flow analysis for functionally graded rectangular plates

ZHANG Ling, ZHU Xiang, LI Tianyun, YIN Xueji

(School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

According to the basic dynamic equation of FGM rectangular plates, the transverse vibration response under harmonic excitation force was obtained based on the modal superposition method. Combined with the structural vibration power flow equation, power flow analysis of the FGM rectangular plate was carried out. In the numerical example, the natural frequency of an FGM rectangular plate was firstly calculated, the theoretical solution was then compared with the FEM solution, which shows a good agreement. The input power flow of an FGM rectangular plate was analyzed, and the effect of different gradient indexes on the input power flows was discussed. And the propagation characteristics of the power flow in an FGM plate was analyzed through the visualization method. The FGM plate was described by the power flow vector and flow chart.

functionally graded materials; rectangular plate; vibration power flow; modal superposition

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51479079)；船舶預(yù)研支撐技術(shù)基金項(xiàng)目(13J1.3.2)

2015-07-28修改稿收到日期：2015-08-26

張玲 女，碩士生，1991年2月生

朱翔 男，副教授，碩士生導(dǎo)師，1980年11月生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.030